Lista para estudos. 1) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno, seno e tangente do ângulo BÂC é?

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1 Professor: Carlos Eduardo Guariglia Seno, Cosseno e Tangente Lista para estudos Nota: Em alguns exercícios não seriam necessários os desenhos, pois são simples, porém acredito que dando alguns exemplos de desenho favoreço a vocês aprenderem a desenharem as leituras interpretadas em questões sem imagens. 1) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno, seno e tangente do ângulo BÂC é? 2) (G1 1996) O valor de a e c no triângulo ABC é: 3) (Pucmg 2007) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30. Então, depois que tiver percorrido 500 m, conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, em metros, será igual a:

2 4) (Uel 1997) Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km. Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada? (Se necessitar, use 2 1,41; 3 1,73; 6 2,45.) a) 463,4 m b) 535,8 m c) 755,4 m d) 916,9 m e) 1071,6 m 5) Milena, diante da configuração representada a seguir, pede ajuda a você para calcular o comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o senα= 0,6. Calcule o comprimento da sombra x.

3 6) As medidas dos lados dos triângulos a seguir são dadas em cm. O valor de x + y vale? 7) Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão representados na figura. O degrau mais baixo equidista do chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apoia-se no plano superior do pedestal. Sabendo que a escada faz um ângulo Ɵ com o chão e sabe-se que: sen Ɵ = 4 5 cos Ɵ = 3 5 tg Ɵ = 4 3 a) A escada é composta por quantos degraus? b) Calcule a altura h do pedestal. 8) (cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º, conforme a figura. A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km, vale?

4 9) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo. Desprezando a espessura das barras de madeira, e supondo que α = 15º, podemos dizer que: a) v = w cos(15º) e u = w sen(15º)/4. b) v = w sen(15º) e u = w/[4tg(15º)]. c) v = w/[2cos(345º)] e u = w tg(195º)/4. d) v = w/[2cos(345º)] e u = w sen(165º)/4. 10) (Enem 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: Acesso em: 02 maio Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60 ; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km 11) Em um setor circular de raio r foram traçados os triângulos ADO e BEO, conforme figura a seguir.

5 A soma dos segmentos AD,DB,BE, e CE é igual a a) r 2 b) r c) 2r 3 d) 2r 12) Os triângulos a seguir possuem o mesmo ângulo α, com tg α = k. A medida da maior hipotenusa vale b e a dos segmentos AB e BC vale a. O valor de b em função de a e k é a) ak 2 b) 2ak 2 c) a (1 + k 2 ) d) 2a (1 + k 2 ) 13) (Unicamp 2010) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.

6 b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais. 14) Uma empresa cultiva eucaliptos para a produção de celulose. Com o objetivo de proteger sua plantação contra incêndios, esta empresa tem um sistema de segurança que envolve mais de 500 funcionários treinados para identificar e combater focos de queimadas, e mais de 20 torres de vigilância que se espalham pelas plantações. Outra medida tomada é a criação de aceiros (valas que separam as áreas de eucaliptos e florestas nativas). A figura 1 a seguir ilustra a situação descrita. Seno 52 = 0,79 Seno 62 = 0,88 Seno 72 = 0,94 Seno 82 = 0,99 Cosseno 52 = 0,62 Cosseno 62 = 0,47 Cosseno 72 = 0,31 Cosseno 82 = 0,14 Tangente 52 = 1,3 Tangente 62 = 1,9 Tangente 72 = 3,0 Tangente 82 = 7,1 a) Determine a distância x (da torre de observação até o início do aceiro). b) Calcule o ângulo β. Considere as aproximações. c) Qual o ângulo de visão α de um observador que estiver no alto da torre? 15) (Ufg 2007) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob

7 um ângulo de 60, conforme a figura a seguir. Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo. a) 250 b) 300 c) 400 d) ) (Ufpb 2007) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura a seguir. A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento, vale? 17) (Ufla 2006) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada á, conforme o esquema da figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2. Sendo l 1 = 30 cm e l 2 = 20 cm, calcule a altura da árvore.

8 18) Observando-se a figura e sabendo-se que y - x = 4 3, o valor da soma x + y será a) 2 3 b) 6 3 c) 8 3 d) ) (Uem 2004) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos á = 30 e â = 60 e a medida do segmento BC = 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre, em metros, vale? 20) (Ufpr 2004) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa para para ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus com a horizontal. Após caminhar 49 m, para uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada andar do edifício tenha 3 m de altura. Utilize 3 1,7. Nessa situação, é correto afirmar (some os valores das verdadeiras): 01) O edifício tem menos de 30 andares. 02) No momento em que a pessoa para pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do edifício.

9 04) Quando a pessoa para pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é igual à altura do edifício. 08) Se, depois da segunda vez em que para, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 60 graus com a horizontal. 21) (Ufc 2003) Sejam α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Se sen α = sen β e se a medida da hipotenusa é 4 cm, a área desse triângulo (em cm 2 ) é: 22) (Uerj 2003) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir. No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 com a direção AB. Após a embarcação percorrer m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: 23) (Ufrn 2002) Na representação a seguir, EF é diâmetro da circunferência; EG e FG são catetos do triângulo retângulo FGE, inscrito na circunferência trigonométrica; e FG é perpendicular a OX para qualquer á. O raio da circunferência é unitário. Nessas condições, podemos afirmar que, para qualquer á (0 < á < 90 ), a) FG EG = 2tg á

10 b) sen 2 á + cos 2 á = EF c) OH = cos (90 - á) d) FG = 2 sen á 24) (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir. a) Sendo o ângulo A ˆB C=â, determine a área do triângulo ABC, em função de â e r. b) Esta área é máxima para qual valor de â. 25) Determine x no caso a seguir: 26) (Unirio 1996) Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador? Considere as afirmativas: l - a distância d é conhecida; ll - a medida do ângulo á e a tg do mesmo ângulo são conhecidas.

11 Então, tem-se que: a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a ll, sozinha, não. b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a l, sozinha, não. c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é. d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta. e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados. 27) (Ufpr 2001) Um instrumento para medir o diâmetro de pequenos cilindros consiste em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em V contendo uma escala, conforme ilustração a seguir. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que na escala corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento AB. Ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um certo ponto de AB. Sendo x a distância deste ponto ao ponto A, é correto afirmar: 2 01) x é igual a cm. θ tg ) x é igual a cm. tgθ 2 04) Se a medida de è for 90, então x será igual a 2cm. 08) Quanto menor for o ângulo θ, maior será a distância x.