PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA

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1 PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA Curitiba 2014

2 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA Ângulos classificação: Ângulo reto: mede 90. Med(AôB) = 90 Ângulo agudo: a sua medida é MENOR que a do ângulo reto. Med(AôB) < 90 Ângulo obtuso: a sua medida é MAIOR que a do ângulo reto. Med(<AOB) > 90 Ângulos complementares: Dois ângulos são complementares quando as suas medidas somam 90. Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares quando suas medidas somam

3 180. TRIÂNGULOS Indicação: ABC; Lados: AB, BC e AC (ou a, b e c); Vértices: A,B,C. CLASSIFICAÇÃO DE TRIÂNGULOS QUANTO AOS LADOS Triângulo Equilátero: os três lados são congruentes (iguais) e os três ângulos internos são congruentes. Triângulo Isósceles: dois lados são congruentes e dois ângulos da base são congruentes.

4 Triângulo Escaleno: possui uma medida diferente para cada lado e para cada ângulo. CLASSIFICAÇÃO DE TRIÂNGULOS QUANTO AOS ÂNGULOS Triângulo Acutângulo: todos os ângulos internos são agudos. <a, <b e <c são agudos med(<a) < 90º, med(<b) < 90º e med(<c) < 90º. Triângulo Obtusângulo: possui umum ângulo interno obtuso. med(<a) > 90º ou med(<b) > 90º ou med(<c) > 90º. Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto. med(<a) = 90º ou med(<b) = 90º ou med(<c) = 90º.

5 A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º. med(<a) + med(<b) + med(<c) = 180º. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto (90 ) e dois ângulos agudos (menores que 90 ) complementares. Obs: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 180. Lados: Formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. Altura: A altura de um triângulo retângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto a esse vértice. Existe três alturas no triângulo retângulo, sendo duas delas os catetos a outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa. Como mostra a figura: Ainda em relação a altura do triângulo retângulo, temos: - o segmento AD, chamado de h que representa a altura relativa a hipotenusa CB,

6 indicada por a. - o segmento BD, chamado de m, representa o lado oposto ao cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. - o segmento DC, chamado de n, representa o lado oposto ao cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a. Funções Trigonométricas Básicas: Exemplo: - para encontrar sen α de um triângulo retângulo temos que fazer b (cateto oposto ao ângulo alfa (α)) sobre h (hipotenusa desse ângulo). - para encontrar cos α, faremos a (cateto adjacente ao ângulo α) sobre h (hipotenusa desse ângulo). - para encontrar tg α, basta calcular b (cateto oposto ao ângulo α) sobre a (cateto adjacenteà esse ângulo). Como mostra a figura acima. Ângulos Notáveis:

7 DEMONSTRAÇÃO DE RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO DE 45 0 O objetivo desta sequência é a construção das relações trigonométricas do ângulo de Para tanto, primeiramente vamos considerar o seguinte quadrado de lado : Observe que a diagonal divide o quadrado ao meio em dois triângulos isósceles de lado e ângulos da base de Problema 1: Utilizando o teorema de Pitágoras encontre o valor da diagonal AC em função do lado : Problema 2: A relação seno no triângulo retângulo é definida por. Considerando o triângulo abaixo encontre sen Não esqueça de indicar o valor da diagonal AC encontrado no problema 1: Problema 3: A relação cosseno no triângulo retângulo é definida por. Considerando o triângulo abaixo encontre cos 45 0 :

8 Problema 5: A relação tangente no triângulo retângulo é definida por. Considerando o triângulo abaixo encontre tg 45 0 : TEOREMA DE PITÁGORAS O teorema de Pitágoras se aplica ao triângulo retângulo e é representado por h 2 = a 2 + b 2, significa dizer que, a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos catetos ao quadrado. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: TRIÂNGULOS QUAISQUER Já fizemos o estudo da trigonometria no triangulo retângulo. Entretanto este é umcaso particular de triangulo. Nesta parte da Trigonometria, abordaremos o estudo de todos os triângulos, quaisquer que eles sejam. Este estudo se dará através de duas leis: Lei do Senos e Lei dos Cossenos. LEI DOS SENOS Em qualquer triangulo as medidas dos lados são proporcionais aos valores dos senos dos ângulos opostos a estes lados e a constante de proporcionalidade é o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triangulo.

9 LEI DOS COSSENOS Em um triangulo qualquer o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo que está entre eles. Utilizamos a Lei dos Cossenos quando temos três lados e um ângulo. Casocontrario, ou seja, se tivermos quantidades iguais de lados e ângulos ou quando possuímos um lado, um ângulo e um raio da circunferência circunscrita ao triangulo (inclui-se, nestes casos, a variável) aplicamos a Lei dos Senos. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Em meados do século XVI, François Viète, advogado francês dedicado à pesquisa matemática, destacou-se por recorrer sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a Trigonometria na resolução de problemas algébricos, contribuindo, assim, com o desenvolvimento da Matemática. Todo esse processo culmina com a introdução do

10 conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, feita por Leonhard Euler ( século XVIII), quando ele passa a considerar a circunferência trigonométrica de raio unitário. A representação das relações trigonométricas na circunferência de raio unitário levou os matemáticos a estudarem seu comportamento, esboçando-as graficamente. FUNÇÃO SENO Associando cada numero real x a um arco da circunferência trigonométrica, com origem no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m(ap) = x rad, dizemos que seno do arco x é a ordenada OP, do ponto P sen x = OP Chamamos de função seno a função f:r desse numero: R que, a cada numero real x, associa o seno f:r R, f(x) = sen x O domínio dessa função é R e a imagem é [-1,1] visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário e, pela definição de seno, -1 senx 1, ou seja D (sen x) = R e Im(sen x) = [-1,1] SINAL DA FUNÇÃO Como sen x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x é positiva no 1º e 2º quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3º e 4º quadrantes (ordenada negativa) FUNÇÃO COSSENO

11 Associando cada numero real x a um arco da circunferência trigonométrica, com origem no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m(ap) = x rad, dizemos que cosseno do arco x é a abcissa O do ponto P cos x = OP Chamamos de função cosseno a função f:r cosseno desse numero: R que, a cada numero real x, associa o f:r R, f(x) = cos x O domínio dessa função é R e a imagem é [-1,1] visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário e, pela definição de seno, -1 cos x 1, ou seja D (cos x) = R e Im(cos x) = [-1,1] SINAL DA FUNÇÃO Como cos x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1º e 4º quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 2º e 4º quadrantes (abscissa negativa)

12 EXERCÍCIOS 1- Um avião levanta voo em um ângulo de 30 em relação à pista. Qual será a altura do avião quando estiver percorrendo m em linha reta? 2- Dado um triângulo equilátero de lado 20 cm, calcule a medida da altura desse triângulo. 3- Um avião levanta voo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de: a) 2 km b) 3 km c) 4 km d) 5 km 4- (UF PI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer metros, qual a altura atingida pelo avião? a) 300m b) 400m c) 500m d) 600m e) 700m 5- Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km do aeroporto, e com altura igual a 150m. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode colidir com a torre. 5-Determine o valor de sen α, cos α e tg α no triangulo retângulo a seguir: 6-Sabendo que tg α = ¾, calcule o valor da expressão sen α+ cos α. 7-Calcule o cosseno de α do triangulo abaixo:

13 8- (UFPR-LITORAL) Um triângulo retângulo possui um cateto medindo 6cm e área de 9 cm².quanto mede a hipotenusa desse triângulo?(área do triângulo = base x altura/2 ) 9- Observe a figura a seguir e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25m e sen ϴ= 0, Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada? 11- Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6m do poste onde a pipa engalhou. Renata notou que o ângulo formado entre a linha da pipa e a rua era de 60º. Calcule a altura do poste. 12- (Cefet PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4000m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?

14 13- No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14)