COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

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1 COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO ) Uma escada de m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz com a horizontal, qual a distância do topo da escada ao chão? O comprimento da escada é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela parede, distância do topo da escada ao chão e o comprimento da escada. Aplicando a razão do seno, temos: d senº senº d d m ) Num triângulo retângulo θ é um ângulo agudo e cosθ. Calcule senθ e tgθ. Aplicando as relações fundamentais, temos: sen θ cos i) cosθ ii) sen θ senθ cosθ θ sen θ senθ senθ tgθ cosθ. ) Sabendo-se que cos α / e < α< /, determine tgα.

2 sen α cos cosα senα tgα cosα α sen. α sen α senα ) De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é possível energar um balão meteorológico B, sob ângulos de e, conforme é mostrado na figura abaio. Desprezando-se a curvatura da Terra, se m separam X e Y, calcule a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da Terra. Identificando os triângulos retângulos na figura, podemos aplicar as relações: i) h h tg º d h d d h h ii) tgº h d d d Igualando (i) e (ii), temos: d d d( ) ( )( ) d ( ) ( )( ) ( ) ( ) d (,) () (,),m. Logo, h d,m. ) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que

3 RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y. Sabendo que a altura do edifício X é m e que tgα tgβ, calcule a altura h do edifício Y, em metros. Observando os triângulos QPT e QRS, calculamos as tangentes de α e β: QT h QS h tg α e tgβ. PT PT RS PT Como tgα tgβ, temos: h h.. PT PT h h h m ) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura a seguir. Determine a altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento. A altura do pavimento forma um ângulo de º com a escada rolante. No triângulo retângulo formado temos hipotenusa valendo m e cateto com mesma medida da altura. Temos:

4 cat. adj cos º hip cos º H H H H m ) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a metros do edifício e mediu um ângulo de, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a, metros do solo, calcule a altura do edifício. A altura H do prédio será a soma da altura h do triângulo retângulo indicado na figura e a distância da luneta do teodolito ao solo. i) tgoº tgº h cat.op cat.adj h m h h ii) H h, (, ) (,),,m 8) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de º. Aproimando-se metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de º. Determine a altura aproimada da torre, em metros.

5 Observe que foram formados dois triângulos retângulos. Em ambos o cateto oposto aos ângulos de º e º é a altura da torre. Repare que na posição o triângulo é isósceles, logo h d. Aplicando a razão trigonométrica da tangente posição, temos: h tgº d h d h,h (,) h h h h,,, h ) Nas figuras abaio, calcule o valor da medida. (Considere.) a) º º O ângulo oposto ao lado de vale 8º - (º º) º. Aplicando a Lei dos Senos, temos: b) sen. º senº ( )..(,). Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:

6 ( ) 8cos 8cos ()()cos 8cos cos º. 8 ) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB m, BC m e a medida do ângulo ABC seja de. a) Calcule a medida do lado AC do triângulo. b) Calcule o raio dessa circunferência. i) O ângulo ABC está oposto ao lado AC. Aplicando a Lei dos Cossenos, temos: AC () () ()()cosº. AC ii) Se o triângulo está inscrito na circunferência, então pela Lei dos Senos a razão entre cada lado e o respectivo seno do ângulo oposto vale o diâmetro. Isto é, R. Logo, AC sen º R R R. R. ) Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são cidades do país Matematiquistão, localizadas conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância aproimada de Geometrópolis a Algebrópolis. Considere,. Encontrando o terceiro ângulo, aplica-se a Lei dos senos:

7 senº senº. (,) m ) A figura abaio mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma rampa reta, AC, que servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de m, de B a C é de m e o ângulo ABC mede º. Qual deve ser o valor do comprimento da rampa em metros? Aplicação da Lei dos cossenos. ()()cosº. m.

8 ) Complete a tabela abaio: ARCO ª DETERMINAÇÃO -º QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE Utilizando as técnicas para encontrar a ª determinação, temos: i) - º º -, resto - º ii) ) Determine tg sabendo que e sen. O intervalo indicado é do º quadrante, onde o seno é negativo, cosseno positivo e tangente negativa. Temos: sen cos cos cos cos sen sen tg cos ) Obtenha os valores reais de m para que se possa ter cos m. Considerando que cos, é necessário verificar as condições de m para as duas situações e informar a interseção dos intervalos: m m m m m m IR. m m m m m ) Sabendo que sen cos, < <, obtenha sen e cos. O intervalo indicado corresponde ao º quadrante, onde sen > e cos <. Epressando sen em função de cos e aplicando a relação fundamental, temos:

9 cos sen cos sen sen cos cos i)cos cos cos < cos ii)sen cos. cos cos > cos cos ) Se, calcule o valor da epressão cos sen tg y. tg sen cos Substituindo o valor do argumento nas funções da epressão, temos: cos sen tg y tg sen cos y. tg 8 sen cos ( ) ( ) ( ) 8) Sabendo que tg e < <, calcule o valor da epressão sec.cos sec y. cot g O intervalo aberto indicado é o º quadrante. Escrevendo a epressão em termos de senos e cossenos e substituindo o valor informado, vem: y y. sec.cos sec cos sen cot g cos sen. ( tg ). ( ).( ) cos. sen cos sen sen. cos. sen cos. cos.sec ) Determine o valor das epressões: a) sec º cossec( ) E cot g 8º

10 Encontrando os valores para os arcos côngruos, temos: i) º º º sec º sec º cos º ii) cos sec cos sec sen iii) 8º º () º cot g8º cot gº tgº sec º cos sec iv) cot g8º b) E Encontrando os valores para os arcos côngruos, temos: i) º º º secº secº 8 ii) iii) º º ( ) º cos sec( º ) cos sec( º ) cos sec(º ) secº cot g iv) cos sec( º ) cot g cot g cosº tg senº senα tgα ) Se cos α e / < α <, calcule E. cot gα O arco é do º quadrante onde senα <, tgα < e cotgα <. Utilizando as relações trigonométricas, temos:

11 sen α cos i) cos α senα ii) tgα cosα iii) cot iv) E gα tg α sen α. α senα tgα cot gα sen α. senα 8 ) Se e, calcule os valores de, e. O arco pertence ao º quadrante onde a cotg < ; sec < e cossec >. Utilizando as relações trigonométricas, temos: cossec i) sen sen cos ii) sen sec iii) cot g cos cos sen sen cossec cos. cos. cos ) Resolva as equações abaio: a) cos Analisando as soluções da equação, temos: cos cos cos ou ; Z

12 Logo, S Z IR ; / b) sen sen Essa é uma equação do º grau. Substituindo y sen, temos: < ou sen indefinido y y y y y sen sen 8 () ) ()(. Logo, S Z IR ; /. c) cos cos cos d) 8sen ou IR / S.. sen 8 sen 8sen 8sen

13 e) cos() Z ; ou IR / S ou cos() f) cos cos com. > > >, S Fora iii) Fora ii) Fora i) cos cos cos cos () ()() cos cos cos g).(cos).(cos), com < <. Resolvendo a equação do º grau, temos:

14 > >, Solução : Fora ou Fora cos ii) cos Fora cos () ) ()( cos i)