TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Transcrição

1 . (Unesp 05) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB =, 5 m e PA =, m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D. Nas condições descritas e adotando, 7, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a),4. b),08. c),8. d),00. e),56.. (Unifor 04) Uma rampa retangular, medindo 0 m, faz um ângulo de 5 em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura. Considerando que cos 5 0,9, a área A tem aproximadamente: a) m b) 4m c) 6m d) 8m e) 9m Página de

2 . (Unifor 04) Um corredor A está sobre uma linha reta e corre sobre ela no sentido AX com velocidade constante igual à metade do corredor B que se desloca no sentido BX. Sendo a partida simultânea e considerando que a reta BA faz um ângulo reto com a reta AX, o ângulo α que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que seja possível o encontro é de: a) 0 b) 5 c) 40 d) 45 e) (Uepa 04) Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.c. na Índia, encontramos uma tabela meias-cordas, representado na figura abaixo. Essas meias-cordas representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 65), que utilizou um círculo de raio 60. Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 008. Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de θ = 45 é: a) 0. b) 5. c) 5. d). e) (Unifor 04) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e descer. Página de

3 A altura y que a cama varia em função de θ é de: a) y = senθ b) y = senθ + c) y = tgθ + d) y = cosθ e) y = cosθ + 6. (Upe 04) A figura a seguir representa o campo de jogo da Arena Pernambuco. O ponto A situa-se exatamente no meio do campo, e o ponto B, exatamente no meio da linha do gol. Nivelada a partir de medições a laser, a fundação tem inclinações muito suaves que evitam o acúmulo de água nas zonas centrais, conforme o esquema a seguir: Considerando essas inclinações do campo, qual a diferença de altura entre os pontos A e B, representados no desenho do campo? a) 5,90 cm b) 6,50 cm c) 9,00 cm d) 4,00 cm e) 5,00 cm 7. (Unifor 04) Sobre uma rampa de m de comprimento e inclinação de 0 com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 0cm. Página de

4 Quantos degraus devem ser construídos? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8. (Unifor 04) Uma pessoa está a 80 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 0, como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede o ângulo está a, 6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: a) 80, b) 8, 6 c) 8,0 d) 8,5 e) 8, 9. (Enem 0) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 5 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 4 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Página 4 de

5 Utilizando 0,6 como valor aproximado para tangente de 5º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 00m. b) entre 00m e 00m. c) entre 00m e 500m. d) entre 500m e 700m. e) maior que 700m. 0. (Insper 0) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado em um dos cantos do campo (ponto P). O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida α do ângulo BPQ. ˆ Em seguida, transforma essas informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das expressões a) x = senα e y = cos α. r r b) x = r cosα e y = r sen α. c) x = r senα e y = r cos α. d) x = r cosα e y = r sen α. e) x = senα e y = cos α. r r. (Pucrj 0) Se tgθ = eθ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a: Página 5 de

6 a) 0 b) c) d) e). (Espcex (Aman) 0) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por: ( ) sen α h a) R = sen α hsenα b) R = sen α hsen c) R α = sen α senα d) R = hsenα + senα e) R = hsenα. (Ufrn 0) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 4 cm de comprimento por cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir. Página 6 de

7 Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal a) estava entre 0 e 45. b) era menor que 0. c) foi exatamente 45. d) era maior que (Uepb 0) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento cm e os ângulos congruentes medem 0. O perímetro deste triângulo em cm é a) + b) + c) 8 d) + e) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 5. (Pucrs 0) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 00 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60, conforme a figura abaixo. Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é Página 7 de

8 a) 00 b) 00 c) 00 d) 50 e) (Ufjf 0) Considere um triângulo ABC retângulo em C e α o ângulo BAC. ˆ Sendo AC = e sen( α ) =, quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? a) b) c) 0 d) 4 e) 7. (Pucrj 00) O valor de cos45 sen0 + é: cos60 a) + b) c) 4 d) + e) 0 Página 8 de

9 Gabarito: Resposta da questão : [A] Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo BPT, vem BP, 5 tgptb = BT m. BT, 7 Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos CD,7 tgctd = CT. CT, 7 Em consequência, segue que o resultado pedido é 4, BT + CT,4 m., 7 Resposta da questão : [E] Tem-se que x y = 0 m. Logo, como z = y cos5 e A = x z, segue-se que A = x y cos5 0 0,9 = 9 m. Resposta da questão : [A] Sejam va = v e B v = v, respectivamente, as velocidades dos atletas A e B. O encontro ocorrerá se A e B levarem o mesmo tempo para percorrer as distâncias da ou seja, se da db AX BX = = va vb v v AX =. BX Portanto, sendo α um ângulo agudo, devemos ter AX senα= senα= BX α= 0. Resposta da questão 4: [A] = AX e d B Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa igual a 60, ou seja, = BX, Página 9 de

10 x sen45 = x = 60 = Resposta da questão 5: [D] Considere a figura. Supondo DAB = 90, temos α = 90 θ. Além disso, do triângulo retângulo ABC, vem BC senα = y = sen α. AB Mas senα = sen(90 θ) = cosθ e, portanto, y = cos θ. Resposta da questão 6: [B] Se a diferença de altura entre A e B é de 0,5%, então o resultado pedido é dado por 0,005 5 = 0,65 m = 6,5cm. Resposta da questão 7: [B] Seja h a altura da rampa. Logo, tem-se que h sen0 = h = 50cm. 00 Portanto, devem ser construídos = degraus. Resposta da questão 8: [B] Seja h a altura do prédio. Logo, segue que h, 6 tg0 = h,6 = h = 8, 6 m. Resposta da questão 9: [E] Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. Página 0 de

11 Do triângulo ABC, obtemos BC BC tgb A C = tg5 = AB 4 BC 4 0,6 BC 9,64 m. Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a BC = (9,64) 878,5 m. Resposta da questão 0: [D] Considere a figura. É imediato que x cos α= x = r cos α r e y senα= y = r sen α. r Resposta da questão : [C] Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg θ =, temos que θ = 45. Portanto, cosθ = cos45 =. Página de

12 Resposta da questão : [B] Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura. Como AB é tangente à esfera, segue que OB AB. Além disso, AO = h + R e OB = R. Portanto, do triângulo AOB, obtemos OB R senα = senα = AO h + R R = hsenα + Rsenα R Rsenα = hsenα R( sen α) = h senα hsenα R =. senα Resposta da questão : [B] Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo. O ângulo α é tal que tgα= = 0,50. 4 Desse modo, como a função tangente é crescente e α < 0. tg0 = 0,58 > 0,50, segue que Resposta da questão 4: [A] Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB = AC = cm e ABC ACB = 0. Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem BC MC cos ACB = cos0 = AC BC = cm. Portanto, o resultado é Página de

13 AB + AC + BC = + + = ( + )cm. Resposta da questão 5: [C] O resultado pedido é dado por y tg60 = y = 00 m. 00 Resposta da questão 6: [D] Sabendo que AC = e sen α=, vem BC BC AB senα= = BC =. AB AB Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: AB AB = AC + BC AB = Resposta da questão 7: [A] 8 AB = 9 AB = =. 4 + = ( + ) = + Página de