2, 5 2,0 1,5 3,75 2,5 6,25 5,0 AF 2,5 0,8 2,5 SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO. Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

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1 SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe os triângulos ABC e AEF. 6, 3,7,,0 1,,0 Esses triângulos têm em comum o ângulo Â. Os ângulos que: C ˆ e F ˆ são congruentes. Em relação as medidas de seus lados observa-se AC 6, CB 3,7 AB,0,,, AF, EF 1, AE,0 Conhecendo as medidas dos ângulos e sabendo que os lados correspondentes apresentam a mesma razão, conclui-se que esses triângulos são semelhantes. Além disso, podemos ainda fazer as seguintes observações: FE 1, CB 3,7 0,6 0, 6 AF, AC 6, AE AB,0 0,8 0,8 AF, AC 6,

2 FE AE 1, CB 3,7 0,7 0,7,0 AB,0 Considerando que os triângulos ABC e AEF são retângulos, vimos que dado o ângulo Â, temos: cateto oposto ao ângulo  hipotenusa K 1 cateto adjacente ao ângulo  hipotenusa K cateto oposto ao ângulo  cateto adjacente ao ângulo  K 3 Analisando as razões, concluímos que dado um ângulo fio, os valores de cada uma dessas razões não se alteram, ou seja, cada uma dessas três razões terá seus valores alterados somente quando a medida do ângulo for alterada. Essas razões, podem ser identificadas da seguinte forma: Seno Denomina-se seno de um ângulo agudo a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa do triângulo. No caso dos triângulos ABC e AEF, em relação ao ângulo Â, temos: CB sen  = AC FE sen  = AF Cosseno Denomina-se cosseno de um ângulo agudo a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa do triângulo. No caso dos triângulos ABC e AEF, em relação ao ângulo Â, temos: AE cos  = AF AB cos  = AC

3 Tangente Denomina-se tangente de um ângulo agudo a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e o cateto oposto ao ângulo. No caso dos triângulos ABC e AEF, em relação ao ângulo Â, temos: FE tg  = AE CB tg  = AB Tabela das razões trigonométricas Nas razões observadas vimos que para cada ângulo agudo está associado um único valor para o seno, um único valor para o cosseno e um único valor para a tangente. Desta forma, é possível elaborar uma tabela que relaciona os valores dessas razões com o valor do ângulo correspondente. Acompanhe: Tabela de razões trigonométricas Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg 1 0,017 1,000 0, ,309 0,91 0,3 3 0,74 0,819 0,700 0,03 0,999 0, ,36 0,946 0, ,88 0,809 0,77 3 0,0 0,999 0,0 0 0,34 0,94 0, ,60 0,799 0,74 4 0,070 0,998 0, ,38 0,934 0, ,616 0,788 0,781 0,087 0,996 0,087 0,37 0,97 0, ,69 0,777 0, ,10 0,99 0,10 3 0,390 0,91 0, ,643 0,766 0, ,1 0,993 0,13 4 0,407 0,914 0, ,66 0,7 0, ,139 0,990 0,141 0,43 0,906 0, ,669 0,743 0, ,16 0,988 0,18 6 0,438 0,899 0, ,68 0,731 0, ,174 0,98 0, ,44 0,891 0, ,69 0,719 0, ,191 0,98 0, ,469 0,883 0,3 4 0,707 0,707 1, ,08 0,978 0,13 9 0,48 0,87 0,4 46 0,719 0,69 1, , 0,974 0, ,00 0,866 0, ,731 0,68 1, ,4 0,970 0, ,1 0,87 0, ,743 0,669 1, ,9 0,966 0,68 3 0,30 0,848 0,6 49 0,7 0,66 1, ,76 0,961 0, ,4 0,839 0, ,766 0,643 1, ,9 0,96 0, ,9 0,89 0,67 1 0,777 0,69 1,3

4 Tabela de razões trigonométricas Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg 0,788 0,616 1, ,934 0,38, ,998 0,070 14, ,799 0,60 1, ,940 0,34, ,999 0,0 19, ,809 0,88 1, ,946 0,36, ,999 0,03 8,636 0,819 0,74 1,48 7 0,91 0,309 3, ,999 0,017 7,90 6 0,89 0,9 1, ,96 0,9 3,71 7 0,839 0,4 1, ,961 0,76 3, ,848 0,30 1, ,966 0,9 3,73 9 0,87 0,1 1, ,970 0,4 4, ,866 0,00 1, ,974 0, 4, ,87 0,48 1, ,978 0,08 4,70 6 0,883 0,469 1, ,98 0,191, ,891 0,44 1, ,98 0,174, ,899 0,438, ,988 0,16 6, ,906 0,43,14 8 0,990 0,139 7, ,914 0,407, ,993 0,1 8, ,91 0,391, ,99 0,10 9, ,97 0,37,47 8 0,996 0,087 11,430 Seno, cosseno e tangente de 30, 4 e 60 Os ângulos de 30, 4 e 60 são conhecidos como ângulos notáveis. Essa identificação é dada devido esses ângulos serem classificados como alguns dos principais ângulos. Veja a seguir a tabela que apresenta, na forma não decimal, os valores desses ângulos. Ângulo sen cos tg

5 Observe que o valor referente ao seno 30, por eemplo, não difere entre as duas tabelas. Ocorre apenas que eles estão apresentados por meio de diferentes registros. A mesma situação é válida para os demais ângulos que estão nas duas tabelas. Na resolução de alguns problemas, é mais conveniente utilizar o valor dos ângulos conforme apresentado na última tabela. Vejamos alguns eemplos da utilização das razões trigonométricas: 1º - Dado o triângulo retângulo ADB, vamos determinar qual é a medida do cateto AD. Para que seja possível utilizar as razões trigonométricas, o primeiro passo é identificar qual delas se aplica (seno, cosseno ou tangente), para solucionar o problema dado. No eemplo, deseja-se saber a medida do cateto que fica oposto ao ângulo de 4º. Além disso, observamos que a medida da hipotenusa desse triângulo é conhecida, logo pode-se aplicar a razão referente ao seno. seno 4 = AD Consultando a tabela, vemos que seno 4º é igual a 0,707. Logo, temos: 0,707 = AD 0,707. = AD AD = 3,3 Portanto, a medida do cateto AD é igual a 3,3 unidades de medida. º - Utilizando o mesmo triângulo, vamos agora calcular a medida do cateto BD. Novamente vamos observar qual é a razão trigonométrica que se aplica para solucionar o problema dado. Analisando o triângulo é possível identificar que o cateto BD é o cateto

6 adjacente ao ângulo de 4º, assim, pode-se calcular sua medida utilizando a razão trigonométrica relacionada ao cosseno. cos 4 = BD Consultando a tabela temos o valor de 0,707 para o cos 4. Logo, temos: 0,707 = BD 0,707. = BD BD = 3,3 Portanto, a medida do cateto BD é igual a 3,3 unidades de medida. Neste caso, podemos observar que o triângulo ABD trata-se de um triângulo isósceles. ATIVIDADES 1. Dado o triângulo ABC, qual é a razão que determina: a) o seno do ângulo Ĉ. b) o cosseno do ângulo Ĉ. c) a tangente do ângulo Ĉ. Um triângulo retângulo possui ângulo agudo igual a 30. A hipotenusa desse triângulo mede cm. Qual é aproimadamente a medido do cateto oposto ao ângulo de 30?

7 3. Dado o triângulo DEF, consulte as tabelas das razões trigonométricas e determine: a) a medida aproimada do cateto oposto ao ângulo Ê. b) a medida aproimada do cateto adjacente ao ângulo Ê 4.(ENEM 013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 1 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom eemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando 0,6 como valor aproimado para a tangente de 1 e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

8 a) menor que 100 m². b) entre 100 m² e 300 m². c) entre 300 m² e 00 m². d) entre 00 m² e 700 m². e) maior que 700 m².. Um atleta que pratica corrida de rua, está realizando alguns eercícios que visam trabalhar a sua resistência em disputar corridas onde o percurso apresente subidas íngremes. Para tanto, o atleta fez duas rampas e está treinando, em dias alternados, em cada uma delas. Rampa 1 Rampa Se em trechos íngremes, o alteta consegue percorrer m a cada segundo, comparando o o tempo de deslocamento de cada rampa, em qual rampa ele levará mais tempo para percorrê-la, e qual será a diferença de tempo entre as duas rampas? Obs.: Neste caso, para os senos considere os seguintes valores: seno 1º = 0, seno 30 =0,

9 6. Ao atender uma ocorrência, uma equipe do corpo de bombeiros teve que improvisar e fazer uma emenda entre duas escadas pequenas, isso porque a escada de maior medida, no momento da ocorrência, não estava funcionando. Veja a seguir, a imagem que permite visualizar o comprimento atingindo ao fazer a emenda das escadas. m Figura 1- Escada de Bombeiro Fonte: Wikipedia De acordo com as medidas apresentadas na imagem, após a medida paliativa, qual foi aproimadamente o comprimento final da escada? INDICAÇÕES Assista os vídeos indicados nos links a seguir e estude um pouco mais sobre as razões trigonométricas Trigonometria Básica Disponível em: nometria_basica

10 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Disponível em: Resolvendo eercícios sobre razões trigonométricas Disponível em: Leia também o material A trigonometria no triângulo retângulo. Disponível em: Nele você encontrará uma abordagem sobre o conteúdo e a proposta de alguns eercícios REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, José Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 01. p IEZZI, Gelson. MACHADO, Antonio. básicos. 1ª ed. São Paulo: Atual, 008. DOCE, Osvaldo. Geometria Plana. Conceitos INEP. ENEM 013. Prova Amarela. Disponível em:< m_amarelo.pdf>. Acesso em: 10 jun h SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < no>. Acesso em: 18 jan h. WIKIPEDIA. Escada de Bombeiros. Disponível em:< Acesso em:10 jun h.

11 GABARITO AB 1. a) sen Ĉ = CB CA b) cos Ĉ = CB AB c) tg Ĉ = CA. Deseja-se saber qual é a medida do cateto oposto ao ângulo dado. E a hipotenusa tem valor conhecido. Neste caso, pode-se obter a medida do cateto da seguinte forma: seno 30 = De acordo com a tabela de razões trigonométricas, seno 30º é igual a 0,. Assim, temos: 0, = 0,. = =, Portanto, o cateto oposto ao ângulo dado mede, cm. 3. a) Para calcular a medida do cateto oposto, utilizaremos a razão trigonométrica seno. DF seno 60 = 11,4 Consultando a tabela temos para seno 60 o decimal 0,866. DF 0,866 = 11,4 0,866.11,4 = DF Portanto, a medida do cateto DF é de aproimadamente 9,99 m b) Para calcular a medida do cateto adjacente, utilizaremos a razão trigonométricas relacionada ao cos 60. EF cos 60 = 11,4 Consultando a tabela temos para seno 60 o decimal 0,00. EF 0,00 = 11,4 0,00. 11,4 = EF EF =,77 Portanto, a medida do cateto EF é igual a,77.

12 4. A alternativa correta é a letra E. Observando a torre, pode-se identificar o ponto B como um dos vértices de sua base. Assim, pode-se traçar um triângulo retângulo que tem como ângulo reto o ângulo Bˆ. Além disso, o ângulo  (1º) será um dos ângulos agudos desse triângulo. Calculando a base desse triângulo, que é o cateto oposto ao ângulo Â, é possível determinar a área da base da torre. Conforme mencionado no eercício, o segmento AB mede 114 m, e no triângulo traçado ele representa um dos catetos. Temos então um triângulo retângulo em que o valor de um ângulo é conhecido, e o valor do cateto adjacente a esse triângulo também é conhecido. Deseja-se saber qual é a medida do cateto oposto a esse ângulo, logo, pode-se aplicar a razão trigonométrica relacionada a tangente. Identificando o cateto oposto como, temos: tg 1 = 114 0,6 = 114 0,6.114 = = 9,6 Se a base é quadrada e tem medida de comprimento igual a 9,6 m, sua área é de 878, m². Ou seja, maior que 700 m².. Para saber quantos metros ele percorrerá, é necessário conhecer o comprimento de cada rampa. Neste caso, as rampas formam um triângulo retângulo em que são conhecidos um dos ângulos e o lado oposto a esse ângulo. Logo a rampa, representa a hipotenusa desse triângulo, assim temos: Para rampa 1: 10 seno 1º =

13 10 0, = 0,. = 10 = 10 0, = 40 m Portanto, a rampa 1 tem comprimento igual a 40 m. Se o atleta percorre m a cada segundo, para subir a rampa ele levará 8 segundos. Para rampa : 10 seno 30º = 10 0, = 0,. = 10 = 10 0, = 0 Portanto, a rampa tem comprimento igual a 0 m. Se o atleta percorre m a cada segundo, para subir a rampa ele levará 4 segundos. Se ele pecorrerá a rampa 1 em 8 segundos e a rampa em 4 segundos, ele se deslocará por tempo maior na rampa 1, sendo 4 segundos a mais que na rampa. 6. Para saber qual foi o comprimento final da escada, aplicaremos a razão trigonométrica cosseno. cos 70 = Consultando a tabela trigonométrica encontra-se como cos 70º o valor 0,34. 0,34 = 0,34. = = 0,34 = 14,61 Portanto, após realizada a emenda, a escada ficou com o comprimento aproimado de 14,61 m.