LISTA DE RECUPERAÇÃO. Matem[atica

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1 LISTA DE RECUPERAÇÃO Professor: ARGENTINO RECUPERAÇÃO: O ANO DATA: 01 / 05 / 016 Matem[atica 1. Em uma aula prática, um professor do curso técnico de edificações do campus Florianópolis do IFSC, pede para que seus alunos determinem a altura de um poste que fica nas instalações da instituição, porém há uma impossibilidade para se chegar tanto ao topo do poste, bem como sua base. Para realizar tal medida, são disponibilizados para os alunos uma trena (fita métrica) e um teodolito. É realizado o seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca no ponto A a x metros da base do poste e mede-se o ângulo formado entre o topo do poste e o solo, que é de 60 (sessenta graus); em seguida, afastando-se 10m (dez metros) em linha reta do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto B, mede-se novamente o ângulo entre o topo do poste e o solo, que é de 0 (trinta graus). A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, é CORRETO afirmar que a altura do poste é de aproximadamente: Dados: sen0 = 0,5; cos 0 = 0,86; tg0 = 0,58 sen60 = 0, 86; cos 60 = 0,5; tg60 = 1,7 a) 8, 65 m b) 5m c) 6, 65 m d) 7, 65 m e) 4m. A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB = 1,5 m e PA = 1, m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB µ igual 60. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.

2 Nas condições descritas e adotando 1,7, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a),4. b),08. c),8. d),00. e),56.. Uma raposa avista um cacho de uvas em uma parreira sob um ângulo de 0 formado com a horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda m em direção à base da parreira e olha para as uvas sob um ângulo de 60, como mostra a figura abaixo. Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em metros, é a) 1, 0 b) 1, 5 c) 1, 7 d), 4 4. Cerca de 4,% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmhg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo por 8π P(t) = 100 0cos t onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco. Analise as afirmativas: I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto. II. A pressão em t = segundos é de 110mmHg. III. A amplitude da função P(t) é de 0mmHg. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 5. Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente à circunferência do pneu, formando um ângulo α com a reta s que liga os dois centros.

3 Pode-se concluir que cos α a) b) c) d) e) 6. Uma rampa retangular, medindo 10 m, faz um ângulo de 5 em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura. Considerando que cos 5 0,9, a área A tem aproximadamente: a) b) c) d) e) m 4m 6m 8m 9m 7. Uma formiga sai do ponto A e segue por uma trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto B, como mostra a figura.

4 A distância, em metros, percorrida pela formiga é a) 1+. b) +. c) 5+. d) Uma pessoa está a 80 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 0, como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede o ângulo está a 1, 6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: a) 80, b) 81,6 c) 8,0 d) 8,5 e) 8, 9. Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.c. na Índia, encontramos uma tabela meias-cordas, representado na figura abaixo. Essas meias-cordas representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 165), que utilizou um círculo de raio 60. Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 008.

5 Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de θ = 45 é: a) 0. b) 15. c) 15. d). e) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de π rad para o ângulo ˆ ACB. Qual foi a largura do rio que ele encontrou? a) 9 metros b) metros c) 9 metros d) metros e) 4,5 metros 11. A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical. Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 5m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80. Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10 = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a a) 50 b) 5 c) 54 d) 56 e) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos. Usando a aproximação, π = a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente

6 a). b) 1. c) 4. d) 9. e) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram πt π representados pela função periódica T(t) = 4 + cos +, 6 em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura (em C) no instante t. O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente: a) 6h, 5,5 C e 10h. b) 1h, 7 C e 10h. c) 1h, 7 C e 15h. d) 6h, 5,5 C e 15h. 14. Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em C, possa ser expressa, em função do tempo t, em π(t 105) dias decorridos desde o início do ano, por T(t) = sen. 64 Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de a) julho. b) setembro. c) junho. d) dezembro. e) março. 15. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45 em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105 em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) km. 16. As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando 0,6 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m. b) entre 100m e 00m. c) entre 00m e 500m. d) entre 500m e 700m. e) maior que 700m.

7 17. Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4+ b) 4+ c) 6 d) 4+ 5 e) ( + ) 18. O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C. Dados: α sen α 1/ / / cos α / / 1/ tg α / 1 Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por a) 1 AC. b) 1 AC. c) AC. d) AC. 19. Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15. A,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

8 Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a),8 tan (15 ) km. b),8 sen (15 ) km. c),8 cos (15 ) km. d),8 sec (15 ) km. 0. Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 0 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? a) 75. b) 60. c) 45. d) 0. e) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1, m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 0 é, em metros, de: 1 (Considere: sen 0 =, cos 0 = e tg 0 = ) a) 0,8. b),4. c) 1,. d) 0,6. e) 0,6.. Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por: ( ) sen αh a) R = 1 sen α

9 hsenα b) R = 1 sen α hsen c) R α = sen α 1 1 senα d) R = hsen α 1+ senα e) R = hsen α. As cidades de Goiânia e Curitiba têm, aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma latitude de 16 40', enquanto a latitude de Curitiba é de 5 5'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica, com a linha do equador medindo, aproximadamente, km, a distância entre as duas cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano, a) é menor que 700. b) fica entre 700 e 800. c) fica entre 800 e 900. d) fica entre 900 e e) é maior que Se o relógio da figura marca 8 h e 5 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é a) 1 0. b) 90. c) d) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 670 km, e as coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 48 0 Oeste. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distância D, em km. π a) D = π b) D = ( 670) 18 π c) D = π d) D= π e) D = Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 0. A medida da diagonal menor do losango é a). b) +.

10 c) 4. d) +. e) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a),9. b),. c),16. d),50. e) 4, Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) b) c) 80 6 d) e) 80 7

11 Gabarito: 1. A] O triângulo ABC é isósceles, logo AD = 10m. No triângulo ACD, temos: H sen60 = H = 10 sen60 = 10 0,86 = 8,60cm 100 Portanto, a alternativa correta é [A].. A] Vamos supor que PTB µ DTC. µ Assim, do triângulo BPT, vem µ BP 1,5 tgptb = BT m. BT 1, 7 Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos µ CD,7 tgctd = CT. CT 1,7 Em consequência, segue que o resultado pedido é 4, BT + CT,4 m. 1, 7.B]

12 No triângulo ADB, temos x+ 0 = 60 x = 0 DB = m h No triângulo BDC sen60 = h = sen60 h = = 1,5m Resposta: 1,5m. 4. B] [I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos: π = =, em minutos basta P () = cos π multiplicar por 60, o que resulta em 80 batimentos por π 4 8π minuto. [II] Verdadeira. Pois 8π P() = cos = 16π = cos = 4π = cos π + = 1 = = = 110mmHg. [III] Falsa. A amplitude da função é de 0mmHg. 5. [D] Considere a figura. Sabendo que AP = R e AB = R, do Teorema de Pitágoras, vem AP = AB + PB (R) = R + PB Em consequência, temos PB = R. PB R cosα = cosα = AP R cos α =.

13 6. [E] Tem-se que x y = 10m. Logo, como z= y cos5 e A = x z, segue-se que A = x y cos5 10 0,9 = 9m. 7. [D] Calculando x e y nos triângulos assinalados. o 1 sen0 = = x = 4 x x o 1 1 tg0 = = y = y y Logo, a distância percorrida pela formiga é: + x+ 1+ y+ = = (7+ )m 8. [B] Seja h a altura do prédio. Logo, segue que h 1,6 tg0 = h 1,6 = h = 81,6m. 9. [A] Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa igual a 60, ou seja,

14 x sen45 = x = 60 = [A] x tg60 = x = 9 tg60 = 9 m [A] o tg10 = x = x = 50m. x 0, [B] Cada minuto do relógio corresponde a 6 o, portanto, α = = 66. Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 0, temos: 60min 0 54min β Logo, β = 7, portanto o arco pedido mede = 9. Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 9, temos:

15 9 π 0 = 1 cm (considerando, π = ) [C] O período da função é dado por π 1 h. π = 6 πt π A temperatura máxima ocorre quando cos + 6 atinge seu valor máximo, ou seja, quando πt π cos + = 1. 6 Logo, tem-se que o resultado é Tmáx = 4+ 1= 7 C. Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem πt π cos + = 1. 6 Assim, πt π πt π cos + 1 cos cos0 6 = + 6 = πt π + = 0+ kπ 6 t = 1k,k. Tomando k = 1, segue-se que t = 10h e, portanto, o horário em que ocorreu essa temperatura máxima foi às 5+ 10= 15h. 14. [A] A temperatura média máxima ocorre quando π(t 105) π(t 105) π sen 1 sen sen 64 = 64 = π(t 105) π = + kπ 64 t 105 = k t = k,k. Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho. 15. [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N 1 ) terá percorrido 16 km e o navio (N ) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura:

16 Sendo d a distância entre os navios, temos: o d = cos 60 1 d = d = 196 d = 14km 16. [E] Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. Do triângulo ABC, obtemos µ BC BC tgb A C = tg15 = AB 114 BC 114 0,6 BC 9,64 m. Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a BC = (9,64) 878,5 m. 17. [B] Como EF = FA = AQ = QC = 1dm, basta calcularmos CE.

17 Sabendo que CDE µ = 10 e CD = DE = 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos CE = CD + DE CD DE coscde µ 1 = =. Portanto, CE = dm e o resultado pedido é EF + FA + AQ + QC + CE = (4 + )dm. 18. [C] No triângulo ABC, assinalado na figura, temos: AB AC sen60 = AB = AC sen60 AB = AC 19. [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro. h tan 15 = h =,8 tg 15,8 0. [D] 5 senα = α = 0 10

18 1. [B] No triângulo assinalado, temos: o 1, 1 1, sen0 = = x =,4 x x. [B] Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura. Como AB é tangente à esfera, segue que OB OB R senα = senα = AO h + R R = hsenα + Rsenα. [D] R Rsenα = hsenα R(1 sen α) = hsenα hsenα R =. 1 senα AB. Além disso, AO = h + R e OB = R. Portanto, do triângulo AOB, obtemos α = 5 5' 16 40' = 8 45' = 8,75

19 km 8,75 x Resolvendo a proporção, temos: x. [C] = 97,km. O deslocamento do ponteiro das horas, em 5 minutos, é igual a 5 = 1 0'. Logo, como o ângulo entre as posições 5 e 8 mede 0 = 90, segue que x = ' = 10 0'. 5. [A] O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é π 1 0' 1 0' = 0 rad 180 π = rad. 9 Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.70 km, vem π D = 670km [C] Considere a figura. Como AB = AD = 4 u.c. e BAD µ = 0, pela Lei dos Cossenos, obtemos BD = AB + AD AB AD cosbad µ Portanto, = = BD = 4 u.c.

20 7. [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos: BC = AC + AB AC AB cosbac µ = (0,8) + 1 0,8 1 cos150 = 0, ,8 1,64 + 0,8 1,7. Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1+ 0,8+ 1,7 =,5. 8. [B] Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC $ = 60 e CPG $ = 90, vem SPG $ = 150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos SG = SP + PG SP PG cosspg $ = cos150 = = 6400 (5 + ) Portanto, SG = km.