LISTA de RECUPERAÇÃO MATEMÁTICA

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1 LISTA de RECUPERAÇÃO Professor: ARGENTINO Recuperação: O ANO DATA: 0 / 06 / 015 MATEMÁTICA 1. A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'. Considere os dados: - ABCD e A'B'C'D' são retângulos. - B', A' e E estão alinhados. - C, D e E estão alinhados. - º A'D e º B'C são arcos de circunferência de centro E. Sabendo que AB = 10 m, BC = 98 m, ED = 0 m, ED' = 4 m e α = 7, calcule o comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais =.. Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relógio marca exatamente 5 horas e 0 minutos, é a) 0. b) 0. c) 10. d) 00. e) 90.. Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4+ b) 4+ c) 6 d) 4+ 5 e) ( + ) 1

2 4. Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 670 km, e as coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 48 0 Oeste. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distância D, em km. a) D = b) D = ( 670) 18 c) D = d) D= e) D = Se o relógio da figura marca 8 h e 5 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é a) 1 0. b) 90. c) d) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a),9. b),. c),16. d),50. e) 4, Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 0. A medida da diagonal menor do losango é a). b) +.

3 c) 4. d) +. e) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) b) c) 80 6 d) e) O valor de cos ( 80 ) é 1 a). b) 1. c) d).. e). 10. O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 0 minutos é: a) 1 b) 6

4 c) 6 d) 18 e) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 m b) 80 m c) 16 m d) 8 m e) m 1. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 4 km, e entre A e B é de 6 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) b) c) 1. d) e) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão sen x + cos x 5 envolve estas funções e, para < x <, seu valor de é: a) 7 b) 4

5 c) 1 d) 5 e) Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ ) = / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 15. Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. Visada ^ ACB ^ BCD ^ ABC Ângulo 6 6 a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D. 16. a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 5 = 15 ; 6 = 196 ; 7 =

6 b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6cm, 8cm, e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 17. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação á, tal que cos(á) = 0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais. 18. Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em função do ângulo,ט mostrado na figura, pela expressão: f ( θ) 1 senθ = a) Determine o ângulo θ, em graus, para o qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = km.) b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com ângulo θ = 15o, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as aproximações = 1,4 e 6 =,4.) 19. Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância AB, são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na margem oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 0, POA = 0, APB = 45 e OP = ( + )km, calcule AB em hectômetros. 6

7 0. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir. A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 7

8 Gabarito: Resposta da questão 1: Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo comprimento, então FB = B'C º A º 'D = (40 0) 5 1 m. Resposta da questão : [B] O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 0 minutos corresponde a 0 = 10. Desse modo, o menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas e 0 minutos, é igual a = 40. Em consequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é igual a = 0. Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se 90 < α < 180. Resposta da questão : [B] Como EF = FA = AQ = QC = 1dm, basta calcularmos CE. Sabendo que CDE µ = 10 e CD = DE = 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos CE = CD + DE CD DE coscde µ 1 = =. Portanto, CE = dm e o resultado pedido é EF + FA + AQ + QC + CE = (4 + )dm. Resposta da questão 4: [A] O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é 1 0' 1 0' = 0 rad 180 = rad. 9 Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.70 km, vem D = 670km. 9 Resposta da questão 5: [C] 8

9 O deslocamento do ponteiro das horas, em 5 minutos, é igual a 5 = 1 0'. Logo, como o ângulo entre as posições 5 e 8 mede 0 = 90, segue que x = ' = 10 0'. Resposta da questão 6: [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos: BC = AC + AB AC AB cosbac µ = (0,8) + 1 0,8 1 cos150 = 0, ,8 1,64 + 0,8 1,7. Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1+ 0,8+ 1,7 =,5. Resposta da questão 7: [C] Considere a figura. Como AB = AD = 4 u.c. e BAD µ = 0, pela Lei dos Cossenos, obtemos BD = AB + AD AB AD cosbad µ Portanto, = = BD = 4 u.c. Resposta da questão 8: [B] Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. 9

10 Sabendo que SPC $ = 60 e CPG $ = 90, vem SPG $ = 150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos SG = SP + PG SP PG cosspg $ = cos150 = = 6400 (5 + ) Portanto, SG = km. Resposta da questão 9: [A] 80 = Logo, cos ( 80 ) = cos 10 = Resposta da questão 10: [E] Considere a figura. 1. A cada 5 minutos corresponde um ângulo de 60 = 0. Logo, θ+ α = 0, sendo α o resultado pedido. 1 Por outro lado, como o ângulo θ corresponde ao deslocamento do ponteiro das horas, em 0 minutos, segue que 0min 0 θ = = min Desse modo, 10 + α = 0 α = 0 = rad. 9 Resposta da questão 11: [B] Pela Lei dos Senos, segue que: AB = R R = R = = m. sen60 Resposta da questão 1: [B] 10

11 Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos BC = AB + AC AB AC cosbac µ 1 BC = BC = BC = 76 = 1 19 km. Resposta da questão 1: [B] sen x + cos x - 5 =.(sen x + cos x) 5 =.1 5 = - Resposta da questão 14: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cosα = = α = 60 R+ R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: R = = km. b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d = R + (R).R.R.cosθ d = 5R 4.R.(/4) d =.R d = R d = km 11

12 Resposta da questão 15: a) No triângulo ABC assinalado, temos: 15 = x + x x x cos = x x 5 = x x = 75 x = 5 m b) No triângulo BDC, temos: 1

13 y = cos60 y = y = 175 y = 5 7m Resposta da questão 16: a) Calculando a medida x do lado que falta temos: x = cos60 x = 5 x = 1 x ;,6 (de acordo com as aproximações dadas) x ; 7, Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = , = 1,. b) Não, pois 16 > (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). Resposta da questão 17: 100 passos = 100.,15 = 15m a) Na figura 1 sen α = 1 cos α sen α = 1 - sen α = 0,01 sen α = 1/100 0,99 1 h logo = h = 1,5 m b) na figura aplicando o teorema dos cossenos. = b + b b.b. b b = + =. 1 +.( + ) b = + cm 1

14 Resposta da questão 18: a) Como θ é agudo, segue que: 1 1 senθ 1 = senθ= θ= 0. 4 Do triângulo NAC, vem: R 6400 senθ= sen0 = d = = 6.400km. R+ d d 1 sen15 b) Para θ= 15, segue que f(15 ) =. Mas sen15 = sen(45 0 ) = sen45 cos0 sen0 cos45 1 = 6 = 4,4 1,4 = 4 1 =. 4 Portanto, f(15 ) = =. 8 Resposta da questão 19: De acordo com os dados do problema temos a figura. 14

15 + y +.y = = y = + 1 o o sen10 sen0 O triângulo POB é isósceles logo, OB = + Portanto, AB = x = + ( + 1) = km = 0hm. Resposta da questão 0: Como AQ = AR = AS = AT = AP = RS = ST = TP = PQ, segue que os triângulos ARS, AST, ATP e APQ são equiláteros. Logo, RAS ˆ + SAT ˆ + TAP ˆ + PAQ ˆ = 40 implica em: QAR ˆ = = 10. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos: QR = AQ + AR AQ AR cosqar ˆ = AQ AQ AQ = ( AQ) = 000 AQ = = 1000 m. Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é: 1000 m. 15