Circunferência e Círculos

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1 Circunferência e Círculos 1. (Unifor 2014) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente à circunferência do pneu, formando um ângulo α com a 2. reta s que liga os dois centros. Pode-se concluir que cos α a) 2 b) 2 2 c) 2 d) 2 2 e) 2. (G1 - cftmg 2014) Maria Campos, a mocinha do Mercado Central, caminha pela Praça Raul Soares sobre o arco ABC e, depois, segue em linha reta até o ponto D. Um esquema simplificado da praça está desenhado a seguir, onde se apresentam duas circunferências de centro O, de raios 5 m e 42 m. Sabe-se que os pontos A, R, S e T são vértices de um quadrado. Considere π. O percurso realizado por Maria, em metros, encontra-se no intervalo a) [55, 60[. b) [60, 65[. c) [65, 70[. d) [70, 75[. Página 1 de 20

2 . (Uerj 2014) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o esquema: Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 75 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: a) 2,5 b),0 c),5 d) 4,0 4. (Uece 2014) Uma bicicleta, cuja medida do raio da circunferência de cada pneu é 5 cm, percorreu uma distância de 100 m, em linha reta, sem deslizamento de pneu ao longo do percurso. O número inteiro que indica, de forma mais aproximada, a quantidade de giros completos de cada pneu da bicicleta, ao longo do trajeto realizado, é Observação: Use,14 para o valor de π. a) 42. b) 45. c) 50. d) (Pucrj 2014) A roda de um carro tem 0 cm de raio. Depois de a roda completar uma volta, o carro terá se deslocado aproximadamente: Usando,14 π a) 60 cm b) 120 cm c) 180 cm d) 188 cm e) 198 cm Página 2 de 20

3 6. (Ufg 201) Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum. Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores. 7. (Enem 201) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura: Considere que 7 AC BD e que é a medida de um dos lados da base da bandeja. 5 Qual deve ser o menor valor da razão BD para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez? a) 2 b) 14 5 c) 4 d) 24 5 e) Página de 20

4 8. (G1 - ifsp 201) Uma pista de atletismo é formada por duas raias cujo percurso é formado por duas partes retas intercaladas com duas semicircunferências, conforme a figura. Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II, quando pararam para descansar. O atleta da raia II disse que dera 10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia é maior; já, o outro atleta discordou, pois ele acreditava ter dado mais voltas. Se a semicircunferência tracejada da raia I tem raio igual a 10 metros, a da raia II tem raio de 12 metros, e as partes retas têm 100 metros de comprimento, então o número mínimo de voltas que o atleta da raia I deve completar para correr mais que o outro é a) 11. b) 12. c) 1. d) 14. e) (Fgv 2012) Uma bobina cilíndrica de papel possui raio interno igual a 4 cm e raio externo igual a 8 cm. A espessura do papel é 0,2 mm. Adotando nos cálculos, π o papel da bobina, quando completamente desenrolado, corresponde a um retângulo cuja maior dimensão, em metros, é aproximadamente igual a a) 20. b) 0. c) 50. d) 70. e) Página 4 de 20

5 10. (Uespi 2012) Uma circunferência de raio R é tangente externamente a duas circunferências de raio r, com r < R. As três circunferências são tangentes a uma mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância entre os centros das circunferências de raio r? a) 4 Rr b) Rr c) 2 Rr d) Rr e) Rr /2 11. (G1 - utfpr 2012) Uma bicicleta tem uma roda de 0 centímetros de raio e outra de 40 centímetros de raio. Sabendo-se que a roda menor dá 16 voltas para certo percurso, determine quantas voltas dará a roda maior para fazer o mesmo percurso. a) 102. b) 108. c) 126. d) 120. e) (Unioeste 2012) Sabe-se que uma das raízes da equação x 7x 44 0 corresponde, em cm, ao comprimento do raio de uma circunferência. Qual o comprimento desta circunferência, considerando π,14? a) 69,08 cm. b) 69,01 cm. c) 69,80 cm. d) 59,08 cm. e) 58,09 cm. 2 Página 5 de 20

6 1. (Uerj 2012) A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência. Considere os seguintes dados Segmentos Medida (cm) AB 1,6 ED 2,0 EC 4,5 O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a: a),1 b), c),5 d),6 14. (G1 - cftmg 2012) Uma partícula descreve um arco de 1080 sobre uma circunferência de 15 cm de raio. A distância percorrida por essa partícula, em cm, é igual a a) 90 π. b) 120 π. c) 140 π. d) 160 π. 15. (Feevale 2012) Um grupo de amigos resolveu abraçar uma árvore centenária com 4 metros de diâmetro. Considere que cada um deles consegue abraçar 0,4π metros da árvore. Nessas condições, quantos amigos foram necessários para conseguir fechar o abraço na árvore? a) 16 amigos b) 10 amigos c) 6 amigos d) 4 amigos e) amigos 16. (G1 - utfpr 2012) A London Eye também conhecida como Millennium Wheel (Roda do Milênio), é uma roda-gigante de observação com 15 metros de diâmetro e está situada na cidade de Londres, capital do Reino Unido. Quanto aproximadamente percorrerá uma pessoa nesta roda-gigante em 6 voltas, considerando π,14? a) 67,5 m. b) 15 m. c) 42,9 m. d) 254,4 m. e) 8589,75 m. Página 6 de 20

7 17. (G1 - ifsp 2012) Uma mangueira de jardim enrolada forma uma pilha circular medindo cerca de 100 cm de um lado a outro. Se há seis voltas completas, o comprimento da mangueira é de, aproximadamente a) 9 m. b) 15 m. c) 19 m. d) 5 m. e) 9 m. 18. (Ufrgs 2012) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada na direção positiva, corno representado na figura abaixo. Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem, a coordenada de P, após 10 voltas completas, estará entre a) 60 e 62. b) 62 e 64. c) 64 e 66. d) 66 e 68. e) 68 e (Uerj 2011) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso. Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N 1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N 2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação. N1 A razão é igual a: N2 a) 1 b) 2 c) d) 4 Página 7 de 20

8 20. (Uel 2011) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme a figura a seguir: Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m. Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna? Dado: π =, 14 a) 10,00 m b) 25,12 m c) 2,46 m d) 50,24 m e) 100,48 m 21. (G1 - ifal 2011) A estrada que liga duas cidades tem 4.96 m de extensão. Quantas voltas completas dará uma das rodas da bicicleta que vai percorrer essa estrada se o raio da roda é 0,5 m? Considere π,14. a) voltas. b) voltas. c) voltas. d) voltas. e) voltas. 22. (Uesc 2011) No processo inicial de criação de um logotipo para uma empresa, um designer esboçou várias composições de formas geométricas, na tentativa de encontrar algo simples e representativo. Em uma dessas composições, um círculo de raio r 6cm foi sobreposto a um triângulo equilátero de lado L 18cm, de acordo com a figura. Sabendo-se que as duas figuras têm centros no mesmo ponto, pode-se afirmar que o perímetro do logotipo é, em cm, igual a a) 66 π b) 69 π c) 66 π d) 9 2π e) 9 2 π Página 8 de 20

9 2. (Uftm 2011) O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em (O Estado de S.Paulo. Adaptado.) O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede 4,5 m. Considerando,1, a distância que a extremidade desse ponteiro percorre durante 20 minutos é, aproximadamente, a) 10 m. b) 9 m. c) 8 m. d) 7 m. e) 6 m. 24. (Epcar (Afa) 2011) Na figura abaixo, têm-se quatro círculos congruentes de centros O 1, O 2, O e O 4 e de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N, P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna. Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a 2 π 40 a) b) 5 π 16 c) 20 π 4 d) 5 π 8 Página 9 de 20

10 25. (Enem 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) (Ufrgs 2010) O perímetro do triângulo equilátero circunscrito a um círculo de raio é a) 18. b) 20. c) 6. d) e) (G1 - cp2 2010) Para fazer um trabalho de Artes, Daniela está recortando círculos de uma folha de cartolina, conforme o modelo de corte da figura abaixo. A cartolina tem dimensões 60 cm x 54 cm e todos os círculos têm o mesmo raio. a) Quanto mede o raio de cada círculo recortado? b) Qual a medida da área desperdiçada de cartolina, representada pelo sombreado na figura acima? (Considere,14 ) Página 10 de 20

11 28. (G1 - utfpr 2010) Observe a figura. Note que as duas circunferências menores se tangenciam no centro da circunferência maior e, também tangenciam a circunferência maior. Sabendo que o comprimento da circunferência maior é de 12ð cm, pode-se afirmar que o valor da área da parte hachurada é, em cm 2 : a) 6π b) 8π c) 9π d) 18π e) 6π 29. (Enem 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y = R. b) y = 2R. c) y = πr. d) y = 2πR. e) y = 4πR. 0. (Pucrj 2010) A figura a seguir é uma janela com formato de um semicírculo sobre um retângulo. Sabemos que a altura da parte retangular da janela é 1 m e a altura total da janela é 1,5 m. A largura da parte retangular, expressa em metros, deve ser: a) 0,5 b) 1 c) 2 d) π e) 2 π Página 11 de 20

12 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Gabarito Oficial: [E] Gabarito SuperPro : [D] Considere a figura. Sabendo que AP R e AB R, do Teorema de Pitágoras, vem AP AB PB (R) R PB PB 2 2R. Em consequência, temos PB 2 2R cosα cosα AP R 2 2 cos α. Resposta da questão 2: [C] O comprimento do percurso realizado por Maria é dado por 1 1 2π OC OC OD ,5 7 68,5 m. Portanto, segue que 68,5 [65, 70[. Página 12 de 20

13 Resposta da questão : [B] Sejam n A e n B, respectivamente, o número de voltas da engrenagem maior e o número de voltas da engrenagem menor. Desse modo, se r A e r B são os raios dessas engrenagens, então n 2π r n 2π r 75 r 1000 r A A B B A B Portanto, B 8 ra r B. 8 ra rb 11 rb rb 11 r cm. Resposta da questão 4: [B] Perímetro do pneu: 2 π 5cm 70,14 219,8cm Distância percorrida: 100m = cm Número de voltas: : 219,8 = 45. Resposta da questão 5: [D] O perímetro da roda corresponde a 2π 0 2, cm, que é o resultado desejado. Resposta da questão 6: Na figura abaixo, H 1, H 2 e H são os pontos em que os círculos de centros A,B e C tangenciam a reta. Seja O o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC. É fácil ver que BH AH 2 BH AM, com M sendo o ponto médio do lado BC. Logo, pela propriedade da mediana, obtemos Página 1 de 20

14 2 4 OA AM BH 1, ou seja, o raio do círculo maior é igual a 4 do raio dos círculos menores. Resposta da questão 7: [D] Considere a figura, em que BD x e AC y. Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter (x y) 2 x x x. 5 5 Portanto, o resultado pedido é dado por 24 x BD x 5 Resposta da questão 8: [A] Comprimento da raia I = π.10 Comprimento da raia II = π ,8 m 275,6 m De acordo com o problema, o atleta da raia II deu 10 voltas e chamaremos de v o número de voltas dadas pelo atleta da raia I. Logo: v 262, ,6 275,6 v 262,8 V 10,4779 Resposta: O atleta da raia I deve completar 11 voltas para correr mais que o outro. Página 14 de 20

15 Resposta da questão 9: [D] Sabendo que a espessura do papel é 0,2 mm, temos que todo o papel enrolado corresponde a 40 mm 200 circunferências concêntricas, de tal modo que os raios dessas circunferências 0,2 mm crescem, de dentro para fora, segundo uma progressão aritmética de razão 0,2 mm. Portanto, a maior dimensão do retângulo é dada pela soma dos comprimentos das circunferências, ou seja, 40, π (40,2 40,4 80) Resposta da questão 10: [A] Considere a figura mm 70 m. Sabendo que AC R r e BC R r, pelo Teorema de Pitágoras, vem AC AB BC (R r) AB (R r) 2 AB 4Rr AB 2 Rr. Portanto, como AD 2 AB, segue que o resultado pedido é 2 2 Rr 4 Rr. Página 15 de 20

16 Resposta da questão 11: [A] A distância percorrida pela roda maior é igual à distância percorrida pela roda menor. C = comprimento da roda maior. c = comprimento da roda menor. x = número de voltas da roda maior c C 16.2 π.0 x.2 π x 40 x 102 Resposta da questão 12: [A] 2 Determinando as raízes da equação x 7x 44 0, temos x = - 4 ou x = 11. Logo, o raio da circunferência é x = 11. Portanto, o comprimento da circunferência será dado por: C 2 π r 2, ,08 Resposta da questão 1: [B] Considere a figura abaixo. Queremos calcular 2 OB. Sabemos que ED 2cm e EC 4,5cm. Logo, DC EC ED 4,5 2 2,5cm. DC 2,5 Sendo M o ponto médio do segmento DC, vem que DM 1,25cm. 2 2 Por outro lado, como EF AB, temos FD ED EF ED AB 2 1,6 0,4cm. Portanto, 2 OB 2 (FD DM) 2 (0,4 1,25),cm. Resposta da questão 14: [A] Número de voltas: 1080 :60 =. Distância total percorrida: 2 π π cm. Página 16 de 20

17 Resposta da questão 15: [B] Perímetro do tronco: 2 π.2 4π Número de amigos = 4π 10 0,4π Portanto, foram necessários 10 amigos. Resposta da questão 16: [D] Comprimento de uma volta: C = 2.,14.(15/2) = 42,9 m. Comprimento de seis voltas: 6.42,9 = 254,4 m. Resposta da questão 17: [C] Raio de cada volta: 0,5 m. Comprimento aproximado de cada volta: 2 π 0,5,14 cm. Comprimento aproximado da mangueira toda: 6,14 18,84 m 19 m. Resposta da questão 18: [B] Perímetro da circunferência: C 2πR C 2 (,14) 1 6,28. Após 10 voltas completas, estaremos em 62,8; portanto, entre 62 e 64. Resposta da questão 19: [A] Sejam OP R 1 e OQ R 2, respectivamente, os raios das trajetórias das rodas traseira e dianteira. Do triângulo OPQ obtemos R1 sen0 R2 2R 1. R 2 Página 17 de 20

18 Logo, as distâncias percorridas pelas rodas traseira e dianteira para executar uma volta completa são dadas por S 2 R e 1 1 S2 2 R2 4 R 1. Sejam r 1 e r, 2 respectivamente, os raios das rodas traseira e dianteira da bicicleta. Do enunciado, sabemos que r 2r. Assim, os comprimentos das rodas são iguais a C 2 r e C 2 r 4 r Portanto, a razão pedida é: S1 2 R1 N1 C1 2 r1 1. N S2 4 R 2 1 C 4 r 2 1 Resposta da questão 20: [E] 2 1 Comprimento da pista maior = 2.,14.6, ,76 = 450,24 m 450, = 50,24 m Resposta da questão 21: [B] N.º de voltas = π 0,5 6,28 0,5 Página 18 de 20

19 Resposta da questão 22: [C] Considere a figura. Como MBNO é losango, segue que o perímetro pedido é dado por 6 MB OM 6 (6 ). Resposta da questão 2: [B] 20 minutos correspondem a 1/ da circunferência descrita pelo ponteiro. Logo, a distância percorrida por sua extremidade será de Aproximadamente 9 m. 2. π.r 2.,1.4,5 8,99m Resposta da questão 24: [C] Resposta da questão 25: [A] Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das semicircunferências são menores. Página 19 de 20

20 Resposta da questão 26: [A] x é a medida do lado do triângulo, logo: 1. x x 6 2 log o P x 18 Resposta da questão 27: a) 6.R = 60 R = 10 cm b) A = = 728 cm 2 Resposta da questão 28: [D] R = r aio maior e r = raio menor 2.R = 12 R = 6cm e r = cm A = = 18 cm 2 Resposta da questão 29: [E] Deslocamento do rolo em relação ao solo: 2. R. Deslocamento do bloco em relação ao rolo: 2. R. Deslocamento do bloco em relação ao solo: 4. R. Resposta da questão 0: [B] Raio do círculo: R = 1,5 1 = 0,5m Logo 2R = 1m Portanto a largura do retângulo é: x = 2R x = 1m Página 20 de 20