Esfera e Sólidos Redondos Área da Esfera. Volume da Esfera

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1 Aula n ọ 04 Esfera e Sólidos Redondos Área da Esfera A área de uma esfera é a medida de sua superfície. Podemos dizer que sua área é igual a quatro vezes a área de um círculo máximo, ou seja: eixo R O pólo paralelos 02. Uma doceira vende seu brigadeiro de colher em pequenos potes cilíndricos com 4 centímetros de diâmetro e 2 centímetros de altura de dimensões internas. Usando π =,1, podemos concluir que, para produzir 100 desses potes por dia, ela precisará preparar uma quantidade de brigadeiro aproximadamente igual a a) 1 litro; b) 1 litro e meio; c) 2 litros; d) 2 litros e meio; e) litros. meridiano pólo equador S t = 4πR 2 Volume da Esfera Calcular o volume de uma esfera é obter a medida do espaço ocupado por ela. O volume é dado por v = 4. πr 01. As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 670 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas; b) 20 horas; c) 25 horas; d) 2 horas; e) 6 horas. 0. (PUCPR) Um vaso cilíndrico de 6 cm de diâmetro e 16 cm de altura contém água até de sua altura. 4 Despejando-se no vaso uma quantidade de água equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de diâmetro, de quanto aumentará o nível de água no vaso? a) 4cm b) 5 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 5,... cm 14 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II

2 04. (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, o raio do cilindro. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) (PUC PR) O boiler é um aquecedor constituído de uma parte cilíndrica e de duas semiesferas nas extremidades, conforme a figura. Se o boiler tem as dimensões abaixo, qual o número de litros mais próximo de sua capacidade? a) 200 b) 00 c) 400 d) 500 e) 600 0,0 m 1,00 m 05. Considere um depósito para combustível na forma de um cilindro, como mostra a figura a seguir: A C B A função v(x) = 80 (x sen x), para valores de x no intervalo [0,2 π], permite calcular o volume, em metros cúbicos, do combustível existente no depósito cilíndrico, em razão da amplitude do arco ABC (igual à amplitude do ângulo x mostrado na figura) A x B A capacidade total de um depósito com essas características é, em m, aproximadamente igual a: Atenção: aproxime o resultado para uma casa decimal e use π =,1416 a) 50 b) 496,9 c) 502,5 d) 601 e) 62, C 07. Quer-se mergulhar uma esfera metálica em um tubo em forma de cilindro circular reto que contém óleo até a altura de 5 cm e cujo raio é de 8 cm. Se a altura do cilindro é 7 cm, então, o raio R máximo que a esfera pode ter para que não haja transbordamento de óleo é, em centímetros, tal que: a) R = 1 b) 1 < R < 2 c) 2 < R < d) < R < 4 e) 4 < R < 5 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II 15

3 08. Os três recipientes da figura têm formas diferentes, a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. O principal fato matemático que pode explicar o raciocínio feito por Tales é dado por: a) propriedades de ângulos retos; b) propriedades de triângulos; c) semelhança de triângulos; d) simetria entre os objetos e suas sombras; e) relações trigonométricas nos triângulos. V 1 V 2 V Sendo a altura igual ao diâmetro e representada por V 1,V 2 ev o volume de líquido em cada um dos recipientes tem-se a) V 1 = V 2 = V b) V 1 < V < V 2 c) V 1 =V < V 2 d) V < V 1 < V 2 e) V 1 < V 2 = V 10. Numa reforma, planejou-se substituir por tacos as 162 tábuas corridas do assoalho de três salas. Cada tábua tem m de comprimento por 15 cm de largura, e cada taco, 20 cm por 7,5 cm. Sabendo-se que o número de tacos necessários para reformar cada sala é diretamente proporcional aos números, 4 e 5, quantos tacos serão utilizados na sala maior? a) 1215 b) 1620 c) 2025 d) 2100 e) Um faraó solicitou ao sábio grego Tales de Mileto, em sua visita ao Egito, que calculasse a altura de uma pirâmide. Esse fato ocorreu em torno do ano 600 a.c, quando esse feito ainda não havia sido registrado por ninguém. Tales, próximo da pirâmide em questão, enterrou parcial e verticalmente um bastão no chão. Observando a posição da sombra, colocou o bastão deitado no chão, a partir do ponto em que foi enterrado, e marcou na areia o tamanho do seu comprimento. Feito isso, tornou a colocar o bastão na posição vertical. Quando a sombra do bastão ficou do seu comprimento, Tales mediu a sombra da pirâmide e acrescentou ao resultado a metade da medida do lado da base da pirâmide. Explicou, então, aos matemáticos que o acompanhavam que essa soma era a medida da altura da pirâmide. 16 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II

4 Gabarito 01. c Quito Cingapura 06. c O sólido que representa o boiler pode ser entendido como a junção de um cilindro e uma esfera. Então, V B V CIL + V ESF. Considerando que 1 litro 1 dm, podemos transformar os comprimentos em dm. Assim: Como as cidades são diametralmente opostas, a distância entre elas equivale a meia circunferência. d = 1 2 πr = π. 670 km 2 Supondo π =,1, d km km Logo, tp = 800 km / h 24,68 ou tp 25 horas 02. d Volume de cada pote V CIL = πr 2. H H = 2 V CIL = π = 8π R = 2 Para π =,1 V CIL 24,8 cm Como são 100 potes V T = 100 x 24,8 = 2480 cm Considerando que 1 litro 1000 cm temos Q = ,48 litros ou Q 2,5 litros 07. e V B H = 10 dm R = dm πr 2. H + 4 π R = π π = 126 π Adotando π =,14 V B 126 x,14 = 95,64 dm 400 dm ou V B 400 litros 08. b Supondo que, no recipiente do meio, o líquido preencha uma semiesfera, do enunciado temos a figura: 0. a 04. d R = = R = 8 2 Fusão é sempre volume! Então 4 π R π R 2 = πr 2. H = R =. R 2 R 2 = 576. ou R = 8 cm = 64 R =? H = 12 r... medida do raio da boca de cada recipiente 1 r = 2 r h... medida da altura de cada recipiente. Temos: V 1 = 1. π.(r )2.r V 1 = 1 2. π. 1 2.r.r V 1 = πr (I) 12 V 2 = π. r V 2 = 2 r π (II) 2 V = 1. π. r2. r V = πr (III) Logo, de (I), (II) e (III) podemos concluir que V 1 <V <V b 09. c 10. c MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. II 17

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