Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial
|
|
- Leonardo Guimarães Ribeiro
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Prismas Geometria Métrica Espacial Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Chama-se prisma a reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a XY que têm uma extremidade num ponto qualquer do polígono e que estão situados num mesmo semi-espaço determinado por α. 4 Geometria Métrica Espacial 1.1. Elementos do prisma 1.Prismas.Pirâmides 3.Cilindros 4.Cones 5.Esfera Vértices: São os pontos A, B, C,, A, B, Bases: São os polígonos ABCDEF e A B C D E F. As bases são congruentes e estão contidas em planos paralelos. Altura: É a distância dos planos que contêm as bases do prisma Prismas 1.1. Elementos do prisma Considere um polígono qualquer contido num plano α e seja r uma reta qualquer, secante a α em um ponto X. Em r, considere também um ponto Y distinto de X. 3 Arestas das bases: São os lados das bases. Ou seja, AB, BC, A B, BC, Arestas laterais: São os segmentos que unem os vértices correspondentes das bases. Isto é, AA, BB, CC. 6 1
2 1.1. Elementos do prisma 1.3. Classificação prisma reto prisma oblíquo Faces laterais: São os paralelogramos ABB A, BCC B, CDD C, Genericamente, tanto as faces laterais como as bases são denominadas faces do prisma. Diagonal: É qualquer segmento que une dois vértices não pertencentes a uma mesma face. 7 Um prisma é denominado reto se suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Caso contrário, o prisma é denominado oblíquo. Note que as faces laterais de um prisma reto são retângulos Nomenclatura 1.3. Classificação prisma triangular prisma pentagonal Paralelepípedo reto retângulo Conforme as bases de um prisma sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos o prisma é denominado triangular, quadrangular, pentagonal,, respectivamente. 8 Dentre os prismas retos convém destacar o paralelepípedo reto retângulo, no qual todas as faces, incluindo as bases, são retângulos Nomenclatura 1.4. Prisma regular paralelepípedo Dentre os prismas quadrangulares convém destacar os paralelepípedos. São aqueles cujas bases são paralelogramos. Um prisma reto cuja base é um polígono regular é denominado prisma regular. 9 1
3 1.4. Prisma regular 1.5. Área lateral e área total Exercício 1: Calcular o comprimento de uma diagonal de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo que as arestas de base medem 4 cm e 3 cm e que sua altura é igual a cm. Um prisma reto cuja base é um polígono regular é denominado prisma regular Prisma regular 1.5. Área lateral e área total Exercício : Calcular a área total de um prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 4 m e cuja altura é igual a 6 m. Dentre os prismas regulares devemos destacar o cubo ou hexaedro regular. No cubo, as 6 faces são quadrados Área lateral e área total 1.5. Área lateral e área total Chama-se área lateral de um prisma a soma das áreas de todas as suas faces laterais. A área lateral será denominadapor S l. A área total de um prisma é a soma de sua área lateral com as áreas de suas bases. A área de uma base e a área total de um prisma serão denotadaspor S B e S t, respectivamente. Assim sendo: Exercício 3: De um cubo de aresta a, calcule: a) a área total e b) a diagonal. S = S + S t l B
4 1.5. Área lateral e área total 1.5. Área lateral e área total Exercício 4: A área total de um cubo é igual a 54 cm. Qual é a medida de sua diagonal? Exercício 7: A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular. Calcule: a) a área lateral; b) a área de uma base; c) a área total e d) a diagonald Área lateral e área total 1.6. Volume do prisma Exercício 5: As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são a, b e c. Calcule a área total e a diagonal,ambos em função de a, b e c. O volume de um paralelepípedo reto retângulo é o produto de suas três dimensões. V = a b c Área lateral e área total 1.6. Volume do prisma Exercício 6: Num prisma triangular reto as arestas da base medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, e uma aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área total desse prisma. 1 Se a e b são as dimensões da base do paralelepípedo e c é sua altura, observe que o produto a. b é a área da base desse sólido. Assim, V = S H B O volume de um paralelepípedo reto retângulo é igual ao produto da área da base pela 4 altura. 4
5 1.7. Secção transversal 1.8. Princípio de Cavalieri Chama-se secção transversal de um prisma a intersecção, não-vazia, desse prisma com qualquer plano, paralelo às suas bases. 5 Considere dois sólidos e um plano α. Suponha que todo plano paralelo a α, que intercepte um dos sólidos, intercepte também o outro e determine secções transversais de áreas iguais. Nessas condições os dois sólidos têm volumes iguais Secção transversal 1.9. Volume do prisma Note que, num prisma qualquer, todas as secções transversais são congruentes às bases. 6 Vamos considerar um prisma qualquer e um paralelepípedo reto retângulo, ambos com altura H, cujas bases têm a mesma área S B. Como já vimos, o volume do paralelepípedo é dado por: V = SB H Secção transversal 1.9. Volume do prisma O conceito de secção transversal se estende a outros tipos de sólidos. O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base pela sua altura. V = SB H
6 1.9. Volume do prisma 1.9. Volume do prisma Exercício 10: Calcule a área total e a diagonal de um cubo cujo volume é igual a 15 cm 3. Por outro lado, as secções transversais desses dois sólidos também têm áreas iguais, pois essas secções são congruentes às respectivas bases dos sólidos. Então, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm volumes iguais. Logo, o volume do prisma é dado por: 31 V = S H B Volume do prisma 1.9. Volume do prisma Exercício 8: Uma certa peça tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e é transpassada por um furo triangular, conforme mostra a figura abaixo. Qual é o volume dessa peça? Exercício 11: Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e contém água até uma certa altura. As medidas internas da base do aquário são 40 cm por 5 cm. Uma pedra é colocada dentro do aquário, ficando totalmente submersa e fazendo com que o nível da água suba 0,8 cm. Calcule o volume dessa pedra Volume do prisma 1.9. Volume do prisma Exercício 9: Qual é o volume de um cubo de aresta a? Exercício 1: Calcule o volume de um prisma hexagonal regular sabendo que o perímetro de sua base é igual a 4 cm e que sua altura é igual a 8 cm
7 1.9. Volume do prisma.1. Elementos da pirâmide Exercício 13: A base de um prisma reto é um losango cujo lado mede 13 cm e cuja diagonal mede 4 cm. Se a área lateral desse prisma é igual a 104 cm, determineo seu volume. Arestas laterais: São os segmentos que unem P a cada vértice da base. Ou seja, PA, PB, PC, Faces laterais: São os triângulos PAB, PBC, PCD, Pirâmides.. Nomenclatura Considere um polígono qualquer contido num plano α e um ponto P, também qualquer, fora desse plano. Chama-se pirâmide a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. 38 Uma pirâmide é denominada triangular, quadrangular, pentagonal, etc, conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc As pirâmides triangulares são também denominadas tetraedros(4 faces) Elementos da pirâmide.3. Área lateral e área total Área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de todas as suas faces laterais. Área total é a soma da área lateral com a área da base. Vértice da pirâmide:é o ponto P. Base: É o polígono ABCDEF. Altura: É a distância de P ao plano da base. Arestas da base: São os lados do polígono de base. 39 St = Sl + SB 4 7
8 .4. Pirâmide regular.5. Apótema Uma pirâmide é regular se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Note que, por ser a mediana relativa à base de um triângulo isósceles, o apótema é também a altura relativa à base desse triângulo Pirâmide regular.5. Apótema É de imediata verificação que as arestas laterais de uma pirâmide regular são congruentes entre si. Consequentemente, todas as suas faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Além do apótema da pirâmide há também o apótema da base. Esse último é o segmento que une o centro de um polígono regular ao ponto médio de qualquer um de seus lados Apótema.5. Apótema Altura Apótema da pirâmide Apótema da base Chama-se apótema de uma pirâmide regular o segmento que une o vértice da pirâmide ao ponto médio de qualquer um dos lados do polígono da base. 45 a = a + h p b ab = r r = raio do círculo inscrito 48 8
9 .5. Apótema.5. Apótema Altura Aresta lateral Exercício 14: Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta a. Raio do círculo circunscrito a = h + R l Apótema.5. Apótema Aresta lateral Apótema da pirâmide Exercício 15: Numa pirâmide quadrangular regular todas as arestas (da base e laterais) são congruentes entre si e medem m cada uma. Calcule: (a) a altura; (b) o apótema da base; (c) o apótema; (d) a área lateral e (e) a área total. l/ a l = a + l p Apótema.5. Apótema Exercício 16: A figura seguinte mostra um tetraedro triretângulo em O. Isto é, OA, OB e OC são perpendiculares dois a dois. Calcule a área total dessa pirâmide sabendo que OA = OB = OC = a. Dentre as pirâmide regulares convém destacar o tetraedo regular. Nele, as 6 arestas são congruentes e, consequentemente, todas as faces, incluindo a base, são triângulos equiláteros congruentes
10 .5. Apótema.6. Secção transversal Exercício 17: A figura seguinte mostra uma pirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta a. O vértice da pirâmide é o centro da face ABCD. Calcule: (a) a aresta lateral e (b) a área lateral. 55 Assim, com relação à figura, tem-se: A B C ABC A B BC AC h = = = AB BC AC H Secção transversal.6. Secção transversal Secção transversal de uma pirâmide é a intersecção dessa pirâmide com qualquer plano paralelo à sua base. 56 Como o plano que gera a secção transversal é paralelo ao plano da base, é de imediata verificação que os lados do triângulo A B C são paralelos aos correspondentes lados do triângulo ABC. Logo, Secção transversal.6. Secção transversal A B // AB PA B PAB A B PA PB = = (1) AB PA PB Toda secção transversal de uma pirâmide triangular é um triângulo semelhante ao triângulo da base. Além disso, se a altura da pirâmide é H e a distância de seu vértice ao plano da secção transversal é igual a h, então a razão de semelhança desses triângulos é: h k = H 57 B C // BC PB C PBC BC PB = () BC PB AC // AC PAC PAC AC PA = (3) AC PA 60 10
11 .6. Secção transversal.6. Secção transversal De (1), () e (3), conclui-se que: Então é imediato que PA D R PAD. Logo, A B BC AC = = AB BC AC 61 PA A B A B h = = PA AB AB H Secção transversal.6. Secção transversal Logo, pelo critério L.L.L. de semelhança de triângulos, temos: A B C ABC 6 Porém, de (1) sabemos que PA PD PA h = = PA PD PA H Secção transversal.6. Secção transversal Para demonstrar que a razão de semelhança é igual a h/h, por P traçamos a reta perpendicular aos planos dos triângulos A B C e ABC, a qual intercepta essses planos nos pontos D e D. 63 Esse teorema pode ser facilmente estendido para pirâmides de bases quaisquer. Daqui em diante vamos admitir que ele é válido para qualquer tipo de pirâmide. Assim, supondo que A B C D E seja uma secção transversal da pirâmide acima, temos: 66 11
12 .6. Secção transversal.5. Apótema Exercício 19: A uma distância x do vértice de uma pirâmide, um plano paralelo à base determina uma secção transversal cuja área é igual a 1/9 da área da base. Calcule x em função da altura H dessa pirâmide. PA PB A B B C h = = = = = = PA PB AB BC H Secção transversal.5. Apótema Exercício 0: Na figura, a área da secção transversal é igual a 75 cm. Qual é a área da base da pirâmide? Além disso, como a razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, se S b e S B representam a área da secção transversal e a área da base, temos: S S b B h = H Apótema.7. Volume da pirâmide Exercício 18: A área da base de uma pirâmide é igual a 100 cm e sua altura é H. Calcule H, sabendo que uma secção transversal dessa pirâmide, feita a 9 cm do vértice, tem área igual a 36 cm. 69 Suponha que as duas pirâmides da figura acima tenham a mesma altura H e que suas bases tenham a mesma área S B. Sejam S b e S b as áreas das secções transversais determinadas por um plano situado a uma distância h dos vértices das pirâmides. 7 1
13 .7. Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide Então, da pirâmide 1, temos: e da pirâmide, temos: S S b B S S h = (1) H h = () H b B 73 O volume de uma pirâmide triangular qualquer é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura. 1 V = S H 3 B Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide De (1) e () conclui-se que S S b B S b = Sb = S S B b 74 Inicialmente vamos considerar um prisma triangular que tenha a mesma base e a mesma altura da pirâmide. Agora, vamos decompor esse prisma em três pirâmides (1, e 3), conforme a figura seguinte, e provar que essas três pirâmides têm volumes iguais Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide A última igualdade mostra que as secções transversais, determinadas por um mesmo plano paralelo às bases, têm áreas iguais. Logo, pelo princípio de Cavalieri, as duas pirâmides têm volumes iguais. A partir dessa propriedade é possível estabelecer a fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide
14 .7. Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide As pirâmides 1 e têm volumes iguais, pois as suas bases ABC e DEF têm áreas iguais (elas são congruentes) e ambas as pirâmides possuem a mesma altura (a própria altura do prisma). Logo, V1 = V (1) 79 De (1) e (), vem: V1 = V = V Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide Agora, observe as pirâmides e 3. Considere como bases os triângulos FEC e BCE. A área de cada um desses triângulos é a metade da área da face BCFE do prisma. Logo, essas bases têm áreas iguais. 80 Logo, o volume de cada uma dessas pirâmides é um terço do volume do prisma. Particularmente, como a pirâmide 1 tem a mesma base e a mesma altura do prisma, conclui-se que 1 V = SB H Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide Além disso, as pirâmides e 3 têm a mesma altura (distância do vértice D ao plano da face BCFE do prisma). Então, V = V3 () 81 Essa fórmula pode ser facilmente generalizada para pirâmides com quaisquer tipos de bases. Para tanto, suponha que, na figura acima, a pirâmide qualquer e a pirâmide triangular tenham a mesma altura H e que suas bases tenham a mesma área S B
15 .7. Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide Exercício 1: Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta a. Ver slide 67. Aula: Geometria Plana I Nessas condições, conforme já demonstramos, as duas pirâmides têm volumes iguais. V = V Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide Exercício : Numa pirâmide quadrangular regular, a área lateral é igual a 60 cm e a aresta da base mede 10 cm. Qual é o volume dessa pirâmide? Porém, já sabemos que o volume da pirâmide triangular é 1 V = S H 1 3 B Volume da pirâmide.7. Volume da pirâmide Exercício 3: As arestas da base de uma pirâmide triangular medem 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule a altura dessa pirâmide sabendo que ela é equivalente (isto é, tem o mesmo volume) a um cubo de aresta a = 6 cm. Logo, 1 V = V V = S H 1 3 B
16 .7. Volume da pirâmide 3.1. Elementos do cilindro Exercício 4: A figura mostra uma pirâmide que, seccionada por um plano paralelo à base, fica decomposta em duas partes; uma pirâmide menor e um sólido denominado tronco de pirâmide. Se a área da base da pirâmide primitiva é igual a 54 cm, calcule o volume: (a) da nova pirâmide e (b) do tronco de pirâmide. Bases: São os dois círculos considerados na definição. Eixo: É a reta e, que passa pelos centros das bases Cilindros 3.1. Elementos do cilindro Considere dois círculos de mesmo raio r contidos em planos paralelos e seja e a reta que passa pelo seus centros. 9 Geratriz: É qualquer segmento paralelo ao eixo, cujas extremidades pertencem às circunferências das bases. Em todo cilindro, as geratrizes são congruentes entre si. Altura: É a distância dos planos que contêm as bases Cilindros 3.. Secções do cilindro Chama-se cilindro circular, ou simplesmente cilindro, a reunião de todos os segmentos paralelos à reta e, cujas extremidades pertencem cada uma a um dos círculos considerados. 93 A intersecção, não-vazia, de um cilindro com qualquer plano que seja paralelo às bases é uma secção transversal do cilindro. A intersecção de um cilindro com qualquer plano que contém seu eixo é chamada secção meridiana do cilindro
17 3.. Secções do cilindro 3.3. Classificação dos cilindros Verifica-se que qualquer secção transversal de um cilindro é um círculo congruente às bases, enquanto toda secção meridiana é um paralelogramo. 97 Todo cilindro reto pode ser definido como sendo o sólido gerado pela rotação completa de um retângulo em torno de um de seus lados. Por isso, o cilindro reto também é chamado cilindro de revolução Classificação dos cilindros 3.4. Área lateral e área total Um cilindro é denominado reto se o seu eixo é perpendicular aos planos das bases. Um cilindro não-reto é denominado oblíquo. 98 Imagine que a superfície lateral de um cilindro circular reto seja feita de papel. Cortando-se essa superfície segundo uma geratriz, podemos planificá-la, obtendo um retângulo, cuja base tem o comprimento da circunferência da base do cilindro e cuja altura é a própria altura do cilindro Classificação dos cilindros 3.4. Área lateral e área total Dentre os cilindros retos devemos destacar o cilindro equilátero, no qual as geratrizes são congruentes aos diâmetros das bases. A área desse retângulo é a própria área da superfície lateral do cilindro reto. Logo, Sl = π r H
18 3.4. Área lateral e área total 3.5. Volume do cilindro Para obter a área total do cilindro reto, basta somar as áreas das duas bases com a área lateral. S = S + S t l B S = π r H + π r t ( ) S = π r H + r t V = S H B V = πr H Volume do cilindro 3.5. Volume do cilindro Exercício 5: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação completa do retângulo abaixo em torno do eixo e. V Cilindro = V Prisma Tal como o volume do prisma, o volume do cilindro é dado pelo produto da área de sua base pela sua altura Volume do cilindro 3.5. Volume do cilindro Exercício 6: Um cano de drenagem é um tubo cilíndrico com,0 m de comprimento. Os diâmetros externo e interno são respectivamente iguais a 5 cm e 46 cm. Calcule o volume de argila, em litros, necessário para fabricar um tubo. Utilize π = 3,14. Com o auxílio do princípio de Cavalieri, podemos facilmente constatar que um cilindro e um prisma, cujas alturas são iguais e cujas bases têm a mesma área, têm volumes iguais
19 3.5. Volume do cilindro 4.1. Elementos do cone Exercício 7: A embalagem de um certo produto era uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 1 cm de diâmetro de base. O fabricante substituiu essa embalagem por uma outra lata cilíndrica do mesmo material e com o mesmo volume da antiga. Se o diâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm, calcule: (a) a sua altura e (b) o percentual de economia de material na fabricação da nova embalagem. 109 Geratriz: É qualquer segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto qualquer da circunferência da base. Altura: É a distância do vértice ao plano que contém a base Cones 4.. Secção transversal, secção meridiana e classificação Considere um círculo contido num plano e um ponto P fora desse plano. Chama-se cone circular, ou simplesmente cone, a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do círculo. 110 Os conceitos de secção transversal e secção meridiana e a classificação dos cones são estabelecidos de modo análogo aos sólidos já estudados Elementos do cone 4.. Secção transversal, secção meridiana e classificação Altura Geratriz Raio Vértice: É o ponto P da figura. Base: É o círculo considerado na definição. Eixo: É a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. 111 g = h + r
20 4.. Secção transversal, secção meridiana e classificação 4.4. Área lateral e área total Verifica-se que qualquer secção transversal de um cone circular é um círculo. Para essa secção, vale a propriedade análoga à que demonstramos para as pirâmides. Sb h = S H B 115 Se l é o comprimento do arco AB da figura, então a medida θ, em radianos, do ângulo central AOB é: l θ = R comprimento do arco θ = raio Observações 4.4. Área lateral e área total No cone reto todas as geratrizes são congruentes entre si. Cone equilátero é todo cone reto em que as geratrizes são congruentes ao diâmetro da base. g = r 116 A área do setor circular AOB, para θ em radianos, é dada por: R = θ π = θ π Sset R Sset Observações 4.4. Área lateral e área total Todo cone reto pode ser definido como sendo o sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Assim, o cone reto é também chamado cone de revolução. 117 Agora, considere um cone circular reto de geratriz g e cujo raio da base é r. Planificando-se a superfície lateral desse cone, obtém-se um setor circular de raio g e cujo arco correspondente tem comprimento igual a πr (comprimento da circunferência da base do cone). A área desse setor é a área lateral do cone. 10 0
21 4.4. Área lateral e área total 4.5. Volume do cone Para θ em radianos, temos: π r θ = g π r g S = set g g Sset = θ 11 Empregando-se o princípio de Cavalieri, verifica-se que um cone e uma pirâmide, cujas alturas são iguais e cujas bases têm áreas iguais, têm volumes iguais. V cone = V pirâmide Área lateral e área total 4.5. Volume do cone Efetuando as simplificações, obtemos: Sset Assim, a área da superfície lateral do cone reto é dada por: Sl = πrg = πrg 1 Desse modo, podemos concluir que o volume de um cone qualquer é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura Área lateral e área total 4.5. Volume do cone Para calcular a área total do cone reto, basta somar a sua área lateral com a área da base. S = S + S t l B S = π rg + πr t S = π r( g + r ) t V = SB H V = ( π r ) H V = πr H
22 4.5. Volume do cone 4.5. Volume do cone Exercício 8: Com um cartão em forma de setor circular, cujo ângulo central mede 16 o e cujo raio mede 15 cm, constrói-se um cone circular. Qual é o volume desse cone? Exercício 31: No exercício abaixo, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo indicado Volume do cone 5. Esfera Exercício 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação completa do tiângulo isósceles ABC, em torno do lado AB. 18 Dados um ponto O e uma distância R, chamase esfera o conjunto de todos os pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. raio. O ponto O é o centro da esfera e R é o seu Volume do cone 5. Esfera Exercício 30: Num cone reto, de altura H = 8 cm, a área de uma secção meridiana é igual a 48 cm. Calcule: (a) a área lateral; (b) a área total e (c) o volume. Além da esfera, definimos também a superfície esférica como sendo o conjunto de todos os pontos do espaço situados a uma mesma distância R de um ponto fixo O
23 5. Esfera 5.1. Área de uma secção esférica Os conceitos de esfera e de superfície esférica podem também ser formulados por meio de rotações de figuras. A esfera é gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. 133 Observe que, sendo S a área da secção, temos: S = πr Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras, obtemos: r + d = R r = R d Esfera 5.1. Área de uma secção esférica A superfície esférica é gerada pela rotação de um semicircunferência em torno de seu diâmetro. Logo, S = π r S = π ( R d ) Área de uma secção esférica 5.1. Área de uma secção esférica Um plano e uma esfera que têm um único ponto comum são denominados tangentes. Nesse caso, o raio que tem uma extremidade no ponto de tangência é perpendicular ao plano. 135 Esse resultado, que expressa a área da secção em função do raio R da esfera e da distância d, será de grande valia para determinar o volume da esfera. Desde já, é importante você observar que S = π( R d ) 138 3
24 5.1. Área de uma secção esférica 5.. Volume da esfera é também a área de uma coroa circular de raios R e d. S = π R d coroa ( ) Nesse sólido, vamos considerar uma secção transversal determinada por um plano situado a uma distância d do vértice dos cones Volume da esfera 5.. Volume da esfera O volume da esfera será obtido com o auxílio do princípio de Cavalieri. Para tanto, vamos utilizar o seguinte sólido conhecido como anticlepsidra. 140 Essa secção é uma coroa circular. Nela, é imediato que o raio da circunferência menor é igual à distância d. O raio da circunferência maior é o próprio raio R da base do cilindro. Assim, a área da secção é: S = π R d ( ) Volume da esfera 5.. Volume da esfera Trata-se de um cilindro equilátero, do qual foram eliminados dois cones retos cujas bases são as próprias bases do cilindro e cujas alturas são iguais à metade da altura do cilindro. O centro do cilindro é o vértice dos dois cones. 141 Então, o princípio de Cavalieri nos permite concluir que o volume da anticlepsidra é igual ao volume de uma esfera de raio R
25 5.. Volume da esfera 5.. Volume da esfera Exercício 33: Uma pequena bola de borracha, de 3,5 cm de raio, é colocada dentro de um vaso cônico. A abertura do vaso tem 7 cm de raio e sua profundidade é de 4 cm. Calcular a distância da bola ao fundo do vaso. Por outro lado, o volume da anticlepsidra é fácil de ser determinado. Para isso, basta subtrair os volumes dos dois cones do volume do cilindro equilátero Volume da esfera 5.. Volume da esfera Exercício 34: Calcule o volume de uma esfera inscrita num cubo de 6 cm de aresta. π 1 π 3 V = R R R R V = π R πr V = πr Volume da esfera 5.. Volume da esfera Exercício 3: Calcular o volume da esfera circunscrita a um cubo de aresta a = cm. Exercício 35: Uma esfera, cujo volume é igual a 56π/3 cm 3, está inscrita num cilindro equilátero, conforme mostra a figura. Calcule, do cilindro: (a) a área lateral e (b) o volume
26 5.. Volume da esfera 5.3. Área da superfície esférica Exercício 36: Calcule o volume da esfera inscrita num cone equilátero, cujo raio da base é Essa igualdade é válida para qualquer x > 0. Agora, imagine que x diminua assumindo valores positivos infinitamente pequenos. Conforme x tende a zero, o prisma tende a tornar-se uma superfície, cuja área continua sendo dada por V x Volume da esfera 5.3. Área da superfície esférica Exercício 37: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo e. V S = x Desde que x seja suficientemente pequeno, esse raciocínio pode também ser aplicado para figuras não-planas. Assim, ele será utilizado para determinar a área da superfície esférica Área da superfície esférica 5.3. Área da superfície esférica Considere um prisma cuja altura x seja bastante pequena. Se S é a área da base desse prisma, então seu volume é: V = S x e, portanto, V S x = 153 Para tanto, considere duas esferas concêntricas:uma de raio R e outra de raio R + x. A região do espaço compreendida entre as duas superfícies esféricas é chamada concha esférica
27 5.3. Área da superfície esférica 5.3. Área da superfície esférica Se V é o volume da concha e S a área da superfície esférica de raio R, então V/x é aproximadamente igual a S. V S x ( R + 3 R x + 3 Rx + x R ) 4 V = π V = π 3R x + 3Rx + x 3 4 V = π x 3R + 3Rx + x 3 ( ) ( ) Área da superfície esférica 5.3. Área da superfície esférica Quanto menor for o valor de x, mais a expressão V/x se aproxima de S, isto é, se x tender a zero, V/x tende a S. Vamos calcular o volume V da concha e analisar o que ocorre com a expressão V/x quando x V 4 Logo, = π ( 3R + 3Rx + x ) x 3 Quando x tende a zero, os termos 3Rx e x também se aproximam de zero. Desse modo, Área da superfície esférica 5.3. Área da superfície esférica O volume da concha é a diferença dos volumes das esferas. Isto é, 4 4 V = π ( R + x) πr V = π ( R + x) R V 4 π x 3 V 4π R x ( 3R ) 16 7
28 5.3. Área da superfície esférica 5.3. Área da superfície esférica Exercício 40: No exercício abaixo, calcule a área total do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo e. E já que V/x tende a S, conclui-se que S = 4π R Área da superfície esférica Exercício 38: Calcule a área da superfície de uma esfera cujo volume é 36π cm Área da superfície esférica Exercício 39: A figura mostra um cone reto, cuja base tem área igual a 144π cm, inscrito numa esfera cuja superfície tem área igual a 900π cm. Calcule o volume do cone
Geometria Métrica Espacial
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Métrica Espacial
Leia maisColégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750
Lista de exercícios de Geometria Espacial PRISMAS 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm, 8 cm e 6 cm 10 2 cm 2) Determine a capacidade em dm 3 de um paralelepípedo
Leia maisEscola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio
Escola da Imaculada Estudo da Pirâmide Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Estudo da Pirâmide 1- Definição As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais
Leia maisMATEMÁTICA PARA CONCURSOS II
1 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II Fonte: http://www.migmeg.com.br/ MÓDULO II Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue uma
Leia maisGeometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano
Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo
Leia maisRelação de Euler nos prismas V= número de vértices A= número de arestas F= número de faces
Prismas A reunião dos infinitos segmentos, paralelos a s, que têm um de seus extremos no polígono ABCDEF contido em e outro extremo pertencente ao plano, constitui um sólido geométrico chamado prisma.
Leia maisO mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem.
TRIDIMENSIONALIDADE O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. As formas tridimensionais são aquelas que têm
Leia maisRESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 16/06/12 PROFESSOR: MALTEZ
RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 6/06/ PROFESSOR: MALTEZ Uma pirâmide quadrangular regular possui área da base igual a 6 e altura igual a. A área total da pirâmide é igual
Leia maisCOLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II. Notas de aula de Matemática. 3º ano/ensino Médio. Prof.
COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II Notas de aula de Matemática 3º ano/ensino Médio Prof. Andrezinho NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL Notas de aula de Matemática Prof. André
Leia maisUnidade 9 - Prisma. Introdução Definição de um prisma. Denominação de um prisma. Prisma regular Área de um prisma. Volume de um prisma
Unidade 9 - Prisma Introdução Definição de um prisma Denominação de um prisma Prisma regular Área de um prisma Volume de um prisma Introdução Após a abordagem genérica de poliedros, destacaremos alguns
Leia maisGEOMETRIA BÁSICA 2011-2 GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011
GEOMETRIA BÁSICA 2011-2 GGM00161-TURMA M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011 Definição : Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano
Leia maisAula 12 Áreas de Superfícies Planas
MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número
Leia maisOs Sólidos de Platão. Colégio Santa Maria Matemática III Geometria Espacial Sólidos Geométricos Prof.º Wladimir
Sólidos Geométricos As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros.
Leia maisTRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO
TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO OBSERVAÇÕES: 1) AS QUESTÕES OBRIGATORIAMENTE DEVEM SER ENTREGUES EM UMA FOLHA A PARTE COM
Leia maisITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.
Leia maisProblemas de volumes
Problemas de volumes A UUL AL A Nesta aula, vamos resolver problemas de volumes. Com isso, teremos oportunidade de recordar os principais sólidos: o prisma, o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera. Introdução
Leia mais94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)
Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton
Leia maisESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA ESFERAS E SUAS PARTES PROF. CARLINHOS NOME: N O :
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA ESFERAS E SUAS PARTES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 ESFERAS Consideramos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r o conjunto
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana
Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Métrica Plana p. 0 Na figura a seguir tem-se r // s // t e y. diferença y é igual a: a) c) 6 e) b) d) 0 8 ( I) y 6 y (II) plicando a propriedade
Leia maisPOLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS
http://apostilas.netsaber.com.br/ver_apostila.php?c=622 ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA 97003133 - BM3 01-011 POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA
Leia maisSÓLIDOS GEOMÉTRICOS. da - 2. Sólidos de. geométricos. Rodrigo. Roberto. Tetraedro (4) Hexaedro (6) Octaedro (8) Dudecaedro (12) Icosaedro (20)
Sólidos Geométricos Poliedros Sólidos de Revolução SÓLIOS GEOMÉTRICOS Regulares Irregulares Cone Cilindro Tetraedro (4) Hexaedro (6) Octaedro (8) udecaedro (12) Icosaedro (20) Prisma Pirâmide Reto Oblíquo
Leia maisAula 10 Triângulo Retângulo
Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,
Leia maisOS PRISMAS. 1) Definição e Elementos :
1 OS PRISMAS 1) Definição e Elementos : Dados dois planos paralelos α e β, um polígono contido em um desses planos e um reta r, que intercepta esses planos, chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos
Leia maisCIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES
B3 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma distância de um ponto fixo (centro). Corda é um segmento de recta cujos extremos
Leia mais1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA
Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL I 1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Só relembrando a primeira aula de Geometria Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para abordagem geral de uma questão de geometria:
Leia maisGEOMETRIA MÉTRICA. As bases são polígonos congruentes. Os prismas são designados de acordo com o número de lados dos polígonos das bases.
GEOMETRIA MÉTRICA 1- I- PRISMA 1- ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO Considere o prisma: As bases são polígonos congruentes. Os prismas são designados de acordo com o número de lados dos polígonos das bases. BASES
Leia maisConstruções Fundamentais. r P r
1 Construções Fundamentais 1. De um ponto traçar a reta paralela à reta dada. + r 2. De um ponto traçar a perpendicular à reta r, sabendo que o ponto é exterior a essa reta; e de um ponto P traçar a perpendicular
Leia maisRETÂNGULO ÁREAS DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO. Exemplo: Calcule a área de um terreno retangular cuja basemede 3meaaltura 45m.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS RETÂNGULO PARALELOGRAMO Exemplo: Calcule a área de um paralelogramo que tem,4 cmdebasee1,3cmdealtura. Resposta: A= B h A=,4x1,3 A=3,1 cm² 01. Calcule a área do paralelogramo, sabendo-se
Leia maisQUADRILÁTEROS. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada,
QUADRILÁTEROS Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada, A B C Lados: AB BC CD AD Vértices: A B C D Diagonais: AC BD D Algumas
Leia mais(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4
TEOREMA DE TALES. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (D) 80 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 0 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B)
Leia maisEXAME NACIONAL DE QUALIFICAÇÃO 2013-2 GABARITO. Questão 1.
EXAME NACIONAL DE QUALIFICAÇÃO 0 - Questão. GABARITO Considere um triângulo equilátero de lado e seja A sua área. Ao ligar os pontos médios de cada lado, obtemos um segundo triângulo equilátero de área
Leia maisREVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura.
NOME: ANO: º Nº: POFESSO(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Áreas: Quadrado: EVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência A, onde representa o lado etângulo: A b h, onde b representa a
Leia maisO B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe
GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:
Leia maisMatemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.
Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique
Leia maisMatemática Régis Cortes GEOMETRIA ESPACIAL
GEOMETRIA ESPACIAL 1 GEOMETRIA ESPACIAL PIRÂMIDE g g = apótema da pirâmide ; a p = apótema da base h g 2 = h 2 + a p 2 a p Al = p. g At = Al + Ab V = Ab. h 3 triangular quadrangular pentagonal hexagonal
Leia mais5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA
40 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância constante r de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r. Notação: Circunf(O,r). Sempre
Leia maisO quadrado ABCD, inscrito no círculo de raio r é formado por 4 triângulos retângulos (AOB, BOC, COD e DOA),
0 - (UERN) A AVALIAÇÃO UNIDADE I -05 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete e y sabores de cobertura.
Leia maisSoluções das Questões de Matemática da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ
Soluções das Questões de Matemática da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ 1º Exame de Qualificação 011 Questão 6 Vestibular 011 Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre
Leia maisAvaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso
Leia maisGEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL
GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL .. PARALELEPÍPEDOS RETÂNGULOS Um paralelepípedo retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos. AB CD A' B' C' D' a BC AD B' C' A' D' b COMPRIMENTO LARGURA AA' BB' CC'
Leia maisPRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são paralelogramos.
GEOMETRIA ESPACIAL Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões são: largura, comprimento e profundidade). Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou
Leia maisPROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010
PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas
Leia maisTIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C
Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento
Leia maisAPOSTILA 2015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2015 1
APOSTILA 015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO - 015 1 Sumário 1.Geometria Espacial...4 1.1 Definições básicas da Geometria Espacial...4 1. Posições de
Leia maisDesenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 SUPERFÍCIE E ÁREA Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade. O resultado da comparação é um número positivo, ao
Leia maisRelações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos
Relações Métricas nos Dimas Crescencio Triângulos Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias; - Origem
Leia maisRaio é o segmento de recta que une um ponto da circunferência com o seu centro.
Catarina Ribeiro 1 Vamos Recordar: Circunferência de centro C e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que estão à mesma distância r de um ponto fixo C. Círculo de centro C e raio r é
Leia maisAV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x
Questão 1. figura abaixo mostra uma sequência de circunferências de centros 1,,..., n com raios r 1, r,..., r n, respectivamente, todas tangentes às retas s e t, e cada circunferência, a partir da segunda,
Leia maisObjetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 *
Objetivas 01 1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/ B) /3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b
Leia maisSólidos geométricos (Revisões)
Curso de Educação e Formação Assistente Administrativo DISCIPLINA: Matemática Aplicada FICHA DE TRABALHO Nº 15 MÓDULO: 8 TURMA: A1/A2 DATA: 2006/2007 Sólidos geométricos (Revisões) Já conhecemos os nomes
Leia maisRESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA
RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_007_ A FASE RESOLUÇÃO PELA PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia Se Maria
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisa = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36
MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade
Leia maisAula 5 Quadriláteros Notáveis
Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:
Leia maisGeometria Euclidiana Plana Parte I
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Geometria Euclidiana Plana Parte I Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção Lucas Araújo dos Santos - Engenharia de Produção O que veremos
Leia maisSoluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN
Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que
Leia maisRESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Q ) Um apostador ganhou um premio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor
Leia maisVolumes parte 02. Isabelle Araujo
olumes parte 02 Isabelle Araujo olume da pirâmide O princípio de Cavalieri afirma que: Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma altura têm volumes iguais. A fórmula para determinar o volume de
Leia maisMatemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.
9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel
Leia maisÁreas e Aplicações em Geometria
1. Introdução Áreas e Aplicações em Geometria Davi Lopes Olimpíada Brasileira de Matemática 18ª Semana Olímpica São José do Rio Preto, SP Nesse breve material, veremos uma rápida revisão sobre áreas das
Leia maisObjetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Leia maisVOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
1 Nomenclatura: VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS P Perímetro da ase a Apótema da ase A FL Área de uma face lateral At Área total l Aresta ou lado da ase 1. Prisma quadrangular regular É o sólido em que:
Leia maisGeometria Área de Quadriláteros
ENEM Geometria Área de Quadriláteros Wallace Alves da Silva DICAS MATEMÁTICAS [Escolha a data] Áreas de quadriláteros Olá Galera, 1 QUADRILÁTEROS Quadrilátero é um polígono com quatro lados. A soma dos
Leia maisDesenho Técnico. Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica
Desenho Técnico Assunto: Aula 3 - Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Professor: Emerson Gonçalves Coelho Aluno(A): Data: / / Turma: Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Quando olhamos para
Leia maisMatemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos
Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais Triângulo e região triangular O conceito de região poligonal
Leia maisC Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos
Leia maisUnidade didáctica: circunferência e polígonos. Matemática 9º ano
Unidade didáctica: circunferência e polígonos Matemática 9º ano POLÍGONOS. Ângulos de um polígono DEFINIÇÃO: Um polígono é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Em qualquer polígono
Leia maisQuarta lista de exercícios.
MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2015 Quarta lista de exercícios. Circunferência e círculo. Teorema de Tales. Semelhança de triângulos. 1. (Dolce/Pompeo) Um ponto P dista 7 cm do centro
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisAULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A
AULA - ÁREAS Área de um Triângulo - A área de um triângulo pode ser calculada a partir de dois lados consecutivos e o ângulo entre eles. h sen a h a sen b h a b sen A - A área de um triângulo eqüilátero
Leia maisNesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.
Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).
Leia maisFUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.
FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia Q0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0 Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8
Leia maisPlanificação de Matemática -6ºAno
DGEstE - Direção-Geral de Estabelecimentos Escolares Direção de Serviços Região Alentejo Agrupamento de Escolas de Moura código n.º 135471 Escola Básica nº 1 de Moura (EB23) código n.º 342294 Planificação
Leia maisFiguras geométricas. Se olhar ao seu redor, você verá que os objetos. Nossa aula. Figuras geométricas elementares
A UU L AL A Figuras geométricas Se olhar ao seu redor, você verá que os objetos têm forma, tamanho e outras características próprias. As figuras geométricas foram criadas a partir da observação das formas
Leia mais1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra
GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos
Leia maisESCALAS. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado. d/d = 1/Q
ESCLS Importância da escala: O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos. Escala
Leia maisVestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos
Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos Cerca de 600 A.C. nas colônias gregas da Jônia, na costa oeste da Turquia, surgem dois dos principais matemáticos gregos: Tales de Mileto e Pitágoras de
Leia maisProf. Jorge. Estudo de Polígonos
Estudo de Polígonos Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem
Leia maisProva Final de Matemática
PROVA FINAL DO 3.º CICLO do Ensino BÁSICO Decreto-Lei n.º 139/01, de 5 de julho Prova Final de Matemática 3.º Ciclo do Ensino Básico Prova 9/1.ª Chamada 8 Páginas Duração da Prova: 90 minutos. Tolerância:
Leia maisEsfera e Sólidos Redondos Área da Esfera. Volume da Esfera
Aula n ọ 04 Esfera e Sólidos Redondos Área da Esfera A área de uma esfera é a medida de sua superfície. Podemos dizer que sua área é igual a quatro vezes a área de um círculo máximo, ou seja: eixo R O
Leia maisUNESP DESENHO TÉCNICO: Fundamentos Teóricos e Introdução ao CAD. Parte 2/5: Prof. Víctor O. Gamarra Rosado
UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ DESENHO TÉCNICO: Fundamentos Teóricos e Introdução ao CAD Parte 2/5: 6. Figuras geométricas 7. Sólidos geométricos Prof.
Leia maisQUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.
Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados
Leia maisLISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI
01.: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m.
Leia maisApostila de Matemática II 3º bimestre/2016. Professora : Cristiane Fernandes
Apostila de Matemática II 3º bimestre/2016 Professora : Cristiane Fernandes Pirâmide A pirâmide é uma figura geométrica espacial, um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular,
Leia maisGEOMETRIA ESPACIAL. Rio de Janeiro / 2007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA GEOMETRIA ESPACIAL Rio de Janeiro / 2007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO UNIVERSIDADE
Leia maisPRISMAS E PIRÂMIDES 1. DEFINIÇÕES (PRISMAS) MATEMÁTICA. Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
PRISMAS E PIRÂMIDES. DEFINIÇÕES (PRISMAS) Chama-se prisma todo poliedro convexo composto por duas faces (bases) que são polígonos congruentes contidos em planos paralelos e as demais faces (faces laterais)
Leia maisSe ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se
"Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor
Leia mais1. Área do triângulo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana II Prof.:
Leia maisTreino Matemática Planificação de Sólidos e Trigonometria Básica
1.Observe o prisma hexagonal regular ilustrado a seguir: Dentre as alternativas a seguir, a que representa uma planificação para esse sólido é.ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro
Leia maisDIDÁTIKA - RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS EXTRAS
DIDÁTIKA - RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS EXTRAS 01. Na figura, ABCD é um quadrado e ADE é um triângulo retângulo em E. Se P é o centro do quadrado, prove que a semirreta EP é a bissetriz do ângulo AED. Resolução.
Leia maisQuestão 23. Questão 21. Questão 22. Questão 24. alternativa D. alternativa A. alternativa C
Questão 1 Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 0 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que
Leia mais1 A AVALIAÇÃO ESPECIAL UNIDADE I -2014 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C.
1 A AVALIAÇÃO ESPECIAL UNIDADE I -014 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01. (UESC-Adaptada) (x + )!(x + )! O valor de x N, que
Leia maisQuestões Complementares de Geometria
Questões Complementares de Geometria Professores Eustácio e José Ocimar Resolução comentada Outubro de 009 Questão 1_Enem 000 Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma
Leia maisPonto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.
Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,
Leia maisMatemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema
Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a
Leia maisGEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA TIPO B
1 GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA 1. Considere um quadrilátero RSTU, satisfazendo RS = ST = TU = UR, como o exemplo ilustrado abaixo. Considerando esses dados, podemos afirmar que: 0-0) SU é
Leia maisAbordagem de geometria no ensino médio partindo de poliedros
Abordagem de geometria no ensino médio partindo de poliedros José Luiz Magalhães de Freitas INMA/UFMS e-mail: joseluizufms2@gmail.com Marilena Bittar INMA/UFMS e-mail: marilenabittar@gmail.com O objetivo
Leia maisCONTEÚDOS METAS / DESCRITORES RECURSOS
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática 6º Ano Ano Letivo 2015/2016
Leia maisMATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA
1 MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA ===================================================== 1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão
Leia maisTRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:
TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema
Leia mais