ESCALAS. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado. d/d = 1/Q

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1 ESCLS Importância da escala: O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado d/d = 1/Q D = dimensão real do objeto d = dimensão gráfica do mesmo objeto Q = fator de redução ou ampliação 1/Q = título da escala Exemplo: O lado de um quadrado que mede 8,0 m será desenhado com 4,0 cm se o título da escala utilizada for 1/200, d = D / Q d = 8,0 / 200 d = 0,04 m = 4,0 cm

2 Escala gráfica é a representação gráfica (o desenho) da escala numérica. Exemplo: Neste exemplo foi escolhida a escala gráfica de título 1/75. Para desenhá-la deve ser calculado o valor de 10 m nesta escala, ou seja, 10 / 75 = 0,1333 m = 13,3 cm. Usando a divisão gráfica de um segmento ( explicado na página seguinte ), este espaço foi dividido em 10 partes iguais a 1 m. Do lado esquerdo do zero da escala foi colocado o espaço de 1 m e este espaço dividido em 10 partes iguais. Esta unidade chama-se talão da escala onde serão medidos décimos do metro. Obs. quantidade de unidades da escala depende do espaço onde vamos desenhá-la. Supondo que o espaço fosse de 10 cm, o cálculo seria: d = 0,10 logo D = 0,10 x 75 = 7,5 m Neste caso a escala teria somente 6,5 m porque a primeira unidade seria reservada ao talão.

3 DIVISÕ GRÁFIC DE UM SEGMENTO Teorema de TLES DE MILETO P ara dividir o segmento B em 5 partes iguais, por exemplo: ; * Traçar uma reta auxiliar que tenha qualquer inclinação em relação ao segmento B e que lhe seja concorrente nos pontos ou B. * Marcar 5 segmentos de mesmo tamanho sobre a reta auxiliar; * Desenhar o triângulo BC. * Traçar paralelas ao segmento C pelos pontos marcados sobre a reta auxiliar.estas paralelas dividem o segmento B em 5 partes iguais. Na página seguinte uma breve explicação sobre o matemático Tales de Mileto

4 Tales de Mileto Período: c a.c. ssuntos matemáticos envolvidos: Geometria: teorema de Tales; semelhança de triângulos; ângulos;circunferência; cálculo da altura da pirâmide; Texto do site: Para alguns historiadores da matemática antiga, a geometria demonstrativa iniciou-se com Tales de Mileto, um dos sete sábios da Grécia. Foi o fundador da escola jônica, escola de pensamento dedicada à investigação da origem do universo e de outras questões filosóficas, entre elas a natureza e a validade das propriedades matemáticas dos números e das figuras. Tales é uma figura imprecisa historicamente, pois não sobreviveu nenhuma obra sua. O que sabemos é baseado em antigas referências gregas à história da matemática que atribuem à ele um bom número de descobertas matemáticas definidas. Pouco sabemos sobre a vida e obra de Tales. Supõe-se que começou sua vida como mercador, tornando-se rico o suficiente para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a realização de algumas viagens. Supõe-se que viveu algum tempo no Egito onde provavelmente aprendeu geometria e na Babilônia onde entrou em contato com tabelas e instrumentos astronômicos. Faz parte do seu mito o fato de ter previsto o eclipse solar de 585 a.c., embora muitos historiadores da ciência duvidem que os meios existentes na época permitissem tal proeza. tribui-se a Tales o cálculo da altura das pirâmides, bem como o cálculo da distância até navios no mar, por triangulação. Tales foi o primeiro personagem conhecido a quem associam-se descobertas matemáticas. credita-se que obteve seus resultados mediante alguns raciocínios lógicos e não apenas por intuição ou experimentação. Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales são: demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais; demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais; demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro B obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois retos; Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

5 Exercícios de escalas 1. Representar uma escala gráfica cujo título e 1/125 e outra com título igual a 1/ Um terreno retangular de 12 x 18 metros está desenhado na escala 1/150.Quanto mede sua área gráfica? 3. Uma circunferência de raio igual a 6,0m foi desenhada com raio igual a 3,75cm. Em que escala está o desenho? 4. Qual a área real do terreno retangular desenhado abaixo? U - m Esc - 1/85 6. Qual a área real do terreno abaixo representado na escala 1/200?

6 7. Qual escala deve ser usada para desenhar uma sala de 5,0m por 10,0m numa folha de papel formato 4? Dimensões do papel 4: 210 x 297 mm. nalisar o melhor aproveitamento para a folha de papal sem esquecer as margens. 8.Qual a escala para as seguintes situações: Medida real Medida do desenho Escala 10,0m 10cm.../... 20,0m 10cm.../... 10,0m 4cm.../... 20,0m 1cm.../... 30,0m 75cm.../... 02,0m 20cm.../ Um segmento de 2,0m será representado no desenho por: 9.1 1/ / O desenho de uma janela tem sua largura = 3,0 cm. Qual sua medida real? 1/25.../... 1/75.../... 1/50.../ Um centro de convenções tem dimensões 100m X 75m: Qual as dimensões do papel para uma escala de 1/100? Qual a escala máxima a ser adotar para um papel com as dimensões de 40 X 30 cm? Considerando que as escalas mais conhecidas são 1/250, 1/200, 1/100, 1/75, 1/50, 1/25, 1/20, 1/10, e 1/5, qual a escala mais adeqüada para desenhar seu projeto utilizando o papal com o formato 0 (dimensão 841/1189 mm)?

7 FIGURS SEMELHNTES - HOMOTETI Polígonos semelhantes são aqueles que têm ângulos iguais e lados proporcionais B C B C Os triângulos BC e B C são semelhantes. s dimensões do triângulo BC são o dobro das dimensões do trianguço B C e esta proporção entre suas medidas chama-se razão de semelhança. Partindo do triângulo BC e usando a razão ½ chega-se ao triângulo B C, no entanto, se a origem é o triângulo B C e a razão é 2, encontra-se o triângulo BC. O segmento B é semelhante ou homólogo de B da mesma forma os outros lados dos triângulos. semelhança de triângulos é importante dentro do desenho geométrico e em particular na divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais, usada no estudado de escala gráfica.

8 HOMOTETI Homotetia é a operação gráfica que permite desenhar figuras semelhantes com uma particularidade: os lados semelhantes são paralelos. C B C B O Os elementos da homotetia são: O = centro de homotetia O = raio vetor do ponto ; OB = raio vetor do ponto B; OC =raio vetor do ponto C B / B = B C / BC = C / C = ½ Oa / O = OB / OB = OC /OC = ½

9 OBS: Cada ponto da figura tem seu próprio raio vetor e só pode deslocar-se sobre seu raio vetor. Na figura abaixo a razão de homotetia é 3/5 entre o triângulo maior e o menor. Como os lados homotéticos são paralelos basta estabelecer esta razão em apenas um de seus raios vetores e traçar os lados semelhantes paralelos entre si. O raio vetor do ponto está dividido em 5 partes iguais o que foi possível através da divisão gráfica tendo a reta u como auxiliar. O ponto que é o homotético de ocupa a terceira parte desta divisão. pós encontrar o ponto basta traçar o lado C paralelo ao lado C partindo do ponto até o raio vetor de C e o lado B é paralelo ao lado B partindo do ponto até o raio vetor de B. C B C B U + o (centro de homotetia) OBS: O centro de homotetia pode ser qualquer ponto do plano da figura plana.

10 homotetia pode ser direta ou inversa. Quando a razão de semelhança é positiva a homotetia é direta mas quando a razão é negativa a homotetia é inversa. figura abaixo mostra o resulatado de uma homotetia inversa. Neste caso a razão é -3/5 e as três unidades da divisão encontram-se na porção negativa do raio vetor do ponto, dando origem ao ponto homotético. Para encontrar os outros pontos o procedimento é semelhante ao caso anterior, bastando traçar paralelas aos lados homotéticos. B O C C B 4 5 Os dois casos mostrados tratam de redução de figuras.

11 Isto ocorre quando a razão de homotetia é menor do que a unidade. Quando a razão é maior do que a unidade a homotetia mostra uma ampliação. No exemplo a seguir a razão usada entre as figuras é de 5/2. Neste caso um dos raios vetores (o do ponto ), está dividido em duas unidades iguais e o ponto está localizado a 5 unidades do centro de homotetia (ponto O). B C 5 C O Exercício: Desenhar uma logomarca conhecida e fazer sua figura homotética usando as razões: 1/3; 4/5; 3/2; -3/5.