MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II

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1 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II Fonte: MÓDULO II Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue uma dica interessante de um link sobre a História da Geometria Espacial: UM BOM ESTUDO PARA TODOS NÓS...

2 GEOMETRIA ESPACIAL E VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS PRISMAS: são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e congruentes (chamadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (chamadas faces laterais). Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo Bases são regiões poligonais congruentes A altura é a distância entre as bases Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas Faces laterais são paralelogramos Objeto Prisma reto Prisma oblíquo Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida são perpendiculares são oblíquas Arestas laterais ao plano da base ao plano da base Faces laterais são retangulares não são retangulares

3 3 Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela: triangular quadrada pentagonal hexágonal Área da Superfície de um Prisma - Superfície lateral: formada pelas faces laterais - Área lateral: área da superfície lateral (Sl) - Superfície Total: é formada pelas bases e pelas faces laterais - Área total é a área da superfície total (St) Exemplos: Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular), cuja altura é h = 3 m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é R = m, calcular a área total desse prisma.

4 4 Prisma Planificado - Cálculo da base (Sb) A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis triângulos eqüiláteros, de lado igual ao raio da circunferência. S triângulo = a = = 3 m 4 4 Sb = 6 S triângulo = 6 3 m

5 5 - Cálculo da área lateral (Sl) Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos. S retângulo = 3 m Como temos 6 retângulos, vem: Sl = 6 S retângulo Sl = 6 3 Sl = 1 3 m - Cálculo da área total (St) St = Sl+Sb St = St = 4 3 m Fazendo 3 1,7, temos: St = 4 1,7 = 40,8m Resposta: A área total do prisma é de 40,8m.

6 6 Considerações: Um paliteiro e uma barra de sabão são exemplos de objetos de uso comum de forma prismática; - Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo; - Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas. Num prisma temos os seguintes elementos: - bases (polígonos) - faces (paralelogramos) - arestas das bases (lados das bases) - arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases) - vértices (pontos de encontro das arestas) - altura (distância entre os planos das bases).

7 7 Volume de um prisma Sendo B a área da base e h a medida da altura de um prisma, o volume V desse prisma é dado por: Seja você também a diferença, mas não deixe de sonhar nunca, mostre para as outras pessoas que você é especial, e verá no futuro, muitos iguais a você fazendo um volume de exemplos para o mundo. Seja a diferença nesta vida! Fonte:

8 8 Fonte: Exercícios: 1) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Quantos cm de madeira foram usados para fazer o calendário? (use: 3 1,7)

9 9 Sb = a 3 4 r = 6cm h = 1cm Sb = Sb = 9 3 cm S retângulo = b h S retângulo = 6 1 S retângulo = 7cm Como temos 3 retângulos Sl = 3 S retângulo Sl = 3 7 Sl = 16cm St = Sl + Sb St = St = St = 16+30,6 St = 46,6cm de madeira. ) Calcular o volume de um prisma triangular no qual a resta da base mede 4cm e a altura mede 10 3 cm. Resolução: - Cálculo da área da base A base é um triângulo eqüilátero de lado a = 4cm; logo:

10 10 B = a 3 4 B = B = 4 3 cm - Cálculo do volume V = B h V = ( 4 3 cm ) (10 3 cm) V = 10cm 3 Resposta: O volume do prisma é de 10cm 3. 3) Um prisma pentagonal regular tem 0cm de altura. A aresta da base do prisma mede 4cm. Determine a sua área lateral. Resolução: S retângulo = b h S retângulo = 0 4 S retângulo = 80cm Como o prisma é pentagonal (5 lados) Sl = 5 S retângulo Sl = 5 80 Sl = 400cm

11 11 Resposta: A área lateral do prisma pentagonal é de 400cm. 4) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é de 0cm e que o lado do polígono da base mede 16cm. Calcule a área do papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que se utilize 5% a mais de material do que o estritamente calculado para que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa (use: 1,73). Resolução: Prisma hexagonal regular h = 0cm a = 16cm - Cálculo da área da base (Sb) A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos eqüiláteros cujos lados medem 16cm. S triângulo = a 3 4 S = S = 110,7cm

12 1 Logo, Sb = 6 S triângulo Sb = 6 110,7 Sb = 664,3cm - Cálculo da área lateral (Sl) Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos. S retângulo = b h S = 16 0 S = 30cm é a superfície de um triângulo, como é hexagonal Sl = 6 S retângulo Sl = 6 30 Sl = 190cm - Cálculo da área total (St) St = Sl+Sb St = ,3 St = 348,64cm Devemos usar, conforme o enunciado do problema, 5% a mais de papelão do que o calculado: área = St+5% St área = 1St+0,5St área = 1,5 St área = 1,5 348,64 área = 4060,8cm

13 13 Resposta: A área do papelão para fabricar uma caixa é igual a 4060,8cm. Paralelepípedo Retângulo e Cubo - Paralelepípedo Retângulo O paralelepípedo retângulo tem as seis faces retangulares e são inúmeros os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa de fósforos, um livro... Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura: Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

14 14 db = diagonal base dp = diagonal paralelepípedo Diagonal = d = a + b + c Área Total = St = ( ab + ac + bc) Volume = V = a b c Usando: a = comprimento b = largura c = altura Exercícios 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 5cm, 4cm e 3cm. Resolução: d = d = a + b + c d = d = 50 d = 5 cm

15 15 Resposta: A medida da diagonal é 5 cm. ) Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10m de largura e 14m de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e cimento de 3cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado nesse revestimento? Resolução: V = a b c V = ,03 V = 4,0m 3 Resposta: O volume da mistura é de 4,0m 3. - Cubo O cubo tem as seis faces quadrados e um objeto típico é o dado.

16 16 dc = diagonal cubo db = diagonal base Diagonal = d = a 3 Área total = St = 6 a Volume = V = a 3 Exercícios 1) Calcular a medida da diagonal de um cubo de aresta 5cm: d = a 3 d = 5 3 cm ) Qual é o volume de um cubo de 5cm de aresta? V = a 3 V = 5 3 V = 15cm 3 3) Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total? St = 6 a St = 6 10 St = 600cm

17 17 Cilindro Cilindro reto ou de revolução é o sólido obtido quando giramos, em torno de uma reta, uma região retangular. Um exemplo típico é o brinquedo chamado reco-reco. Área da base (Sb) é a área do círculo de raio r Sb = π r Área lateral (Sl) Sl = π rh Área total (St) St = π r( h + r) Volume (V) o volume do cilindro é igual a área da base multiplicado pela altura. V = Sb h ou V = π r h

18 18 Exercícios 1) Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto, cujo raio da base mede 6cm e a altura mede 5cm. Solução: Sl =? Sb = π r Sl = π r h St = Sl+Sb St =? Sb = π 6 Sl = π 6 5 St = 13π cm r = 6cm Sb = 36π cm Sl = 60π cm h = 5cm ) Calcular o volume de um cilindro reto de raio 5cm e altura 9cm. Solução: r = 5cm V = π r h h = 9cm V = π 5 9 V = 5π cm 3 3) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8cm de diâmetro e 15cm de altura. Quantos cm 3 de cerveja cabem nessa lata? Solução: d = 8cm h = 15cm

19 19 V =? d = r r = d r = d r = 8 r = 4cm V = π r h V = π 4 15 V = 40π cm 3 π 3, ,14 = 753,6cm 3 Cabem 753,6cm 3 de cerveja nesta lata ou 753,6 ml ou 0,7536 litros. Cone g = R g = geratriz Sb = π R

20 0 Sl = π Rg = R 8 = ângulo do setor St = Sl+Sb ou St = π R(g+R) V = Sb h 3 g = h + r Piadas Curtas! Se você está se sentindo sozinho, abandonado, achando que ninguém liga para você... Atrase um pagamento..." Um eletricista vai até a UTI de um hospital, olha para os pacientes ligados a diversos tipos de aparelhos e diz-lhes: Respirem fundo: vou trocar o fusível. Dois amigos conversam sobre as maravilhas do Oriente. Um deles diz: Quando completei 5 anos de casado, levei minha mulher ao Japão. Não diga? E o que pensa fazer quando completarem 50? Volto lá para buscá-la. Fonte:

21 1 Exercícios 1) O raio da base de um cone eqüilátero mede 5cm. Calcule a medida g da geratriz e a medida h da altura. r = 5cm g = h + r g =? 10 = h +5 h =? h +5 = 100 h =100-5 g = r h = 75 g = 5 h = 75 g = 10cm h = 5 3 cm ) O tanque cônico indicado na figura tem 8m de profundidade e seu topo circular tem 6m de diâmetro. Calcular o volume máximo que esse tanque pode conter água: r = d 6 r = r = 3m

22 V = π r h 3 V = V = π π V = 7 π 3 V = 4π m 3 ou 4 3,14 = 75,36m 3 ou litros. Esfera S = 4π R

23 3 V = 4 3 π R 3 R = r + d Exercícios 1) O volume de uma esfera é 6 π cm 3, então seu diâmetro é: Solução: V = 4π R π 4π R = 6 3 3π = 4π 3 R 3 4π R = 3π π 4π 3 R = 3 3 R = R = 8 R = R = d = R

24 4 d = 1 d = 1 Resposta: O diâmetro é de 1cm. ) Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6cm. Solução: r = 6cm S =? S = 4π r S = 4π 6 S = 36 4π S = 144π cm é a área da superfície esférica. Pirâmide

25 5 Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base. Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja:

26 6 Exercícios 1) Em uma pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8cm. Sabendo-se que a altura da pirâmide é de 3cm, calcular a área lateral e a área total dessa pirâmide: Solução: a = 8cm h = 3cm Como a base é um quadrado (pirâmide quadrangular regular), temos: m = a m = 8 m = 4cm m = apótema da base Cálculo do apótema da pirâmide (g) Como o VOM é retângulo, aplicando Pitágoras, temos: g = h + m g = 3 +4 g = 9+16 g = 5cm

27 7 Cálculo da área lateral (Sl) S face = a g S face = 8 5 S face = 40 S face = 0cm Sl = 4 S face Sl = 4 0 Sl = 80cm Sb = a Sb = 8 Sb = 64cm Cálculo da área total (St) St = Sb+Sl St = St = 144cm Área lateral = 80cm Área total = 144cm

28 8 ) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede 10cm, calcular o volume dessa pirâmide Solução: a = 3cm Sb = a h = 10cm Sb = 3 V =? Sb = 9cm V = 1 3 Sb h V = V = 90 3 V = 30cm 3 O volume da pirâmide é de 30cm 3.