CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES

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1 B3 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma distância de um ponto fixo (centro). Corda é um segmento de recta cujos extremos são dois pontos quaisquer da circunferência. Por exemplo, [ED], [AD] e [AB]. Diâmetro é uma corda que contém o centro da circunferência. Por exemplo [ED]. Raio é um segmento de recta cujos os extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência. Por exemplo, [CE], [CD] e [CA]. Arco é um segmento de circunferência compreendida entre dois ppontos que lhe pertencem. Existem arcos menores, pois são menores que metade da circunferência, e arcos maiores, porque são maiores que metade da circunferência. arco menor AB = arco AB arco maior AB = arco ADB = arco AEB A amplitude do arco AB representa se AB Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 1

2 Ângulo ao centro Ângulo ao centro é um angulo cujo vértice é o cento da circunferência Por exemplo, AOB e COD A cada ângulo ao centro corresponde uma corda e um arco: os que ficam compreendidos entre os seus arcos. Por exemplo, [AB] é a corda correspondente ao AOB e o arco CD é o arco correspondente ao COD. Propriedade A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente. Simbolicamente, AÔB = AB e CÔD = CD. Exemplos: Considera a circunferência de centro O e determina as amplitudes de AOB e COD. Como são ângulos ao centro, a sua amplitude é igual à do arco correspondente. Logo, AÔB = AB = 55º e CÔD = CD = 60º. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas

3 Ângulo inscrito Ângulo inscrito é um ângulo cujo o centro é um ponto da circunferência e cujos os lados contém cordas. Por exemplo, ABC e DEF. Os lados do ângulo inscrito ABC intersectam a circunferência em dois pontos, A e C. Diz-se que o arco AC é o seu arco correspondente: arco compreendido entre os seus lados. Ao arco ABC chama-se arco capaz desse ângulo: arco que contém o vértice. Propriedade A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco AC DF correspondente. Simbolicamente, ABC = e DÊF = Exemplos: 1. Considera a circunferência e determina A^BC e DÊF. ABC e DEF são ângulos inscritos. AB 50 ABC = = = 5º º DÊF = DF = º 60 = 30º Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 3

4 . Determina ABC. 30 º DAE = = 15º, porque é um ângulo inscrito. 70 AÊC = = 35º, porque é um ângulo inscrito. º AÊB = 180º - AÊC, isto é, AÊB = 180º - 35º, AÊB = 145º. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, 145º + 15º + ABC = 180º, ou seja, ABC = 0º. Propriedades dos ângulos, arcos e circunferências. Numa circunferência ou em circunferências iguais: A ângulos ao centro iguais correspondem arcos iguais e reciprocamente. A ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais e reciprocamente. A arcos iguais correspondem cordas iguais e reciprocamente. Simbolicamente: COD = AOB CD = AB CD = AB Nota: Deve entender-se iguais como geometricamente iguais. Numa circunferência, ângulos inscritos no mesmo arco têm a mesma amplitude. ACD = ADB = AÊB = AFB = AB Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 4

5 Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo recto porque a amplitude do arco compreendido entre os seus lados é 180º, logo a 180 º amplitude do ângulo correspondente é = 90º. Uma recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou seja, CTA = 90º. Uma recta perpendicular ao meio de uma corda passa no centro da circunferência e divide ao meio os arcos e os ângulos ao centro correspondentes. ACD = DCB e AD = DB Numa circunferência, arcos e cordas compreendidas entre cordas paralelas são geometricamente iguais. AC = BD e AC = BD Em consequência desta propriedade, qualquer trapézio inscrito numa circunferência é isósceles. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 5

6 Qualquer recta que contém o centro da circunferência é um eixo de simetria, isto é, ao dobrar a figura por essa recta, as duas partes coincidem ponto por ponto. Exemplos: Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AT é tangente à circunferência no ponto T e que BT = 70º, determinar OAT. É necessário considerar o [OAT] e determinar as amplitudes dos seus ângulos internos. AOT = BT = 70º porque é um ângulo ao centro. OAT = 90º porque a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Então, OAT = 180º - 70º - 90º = 0º porque a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Polígonos Polígono é uma figura geométrica limitada apenas por segmentos de recta. Existem polígonos côncavos e convexos. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 6

7 Num polígono podem considerar-se ângulos internos e ângulos externos. Propriedades A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é de 360º. A amplitude de um ângulo externo de um polígono convexo regular com n lados é 360 º. n A amplitude de um `^angulo interno de um polígono convexo regular com n lados é 180º º. n A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é 180ºn 360º. Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se todos os seus vértices são pontos da circunferência que se diz circunscrita ao polígono. Um polígono regular pode sempre inscrever-se numa circunferência. O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 7

8 Exemplos: 1. Determinar a amplitude de um ângulo interno de um eneágono regular. Como um eneágono tem 9 lados, a amplitude do seu ângulo interno é: 360 º 180º - = 180º - 40º = 140º. 9. Determinar o perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência com 5,1 cm de perímetro. Para determinar o perímetro é necessário conhecer a medida do lado que é igual ao raio da circunferência. Ora, P Ο = πr 5,1 πr = 5,1 r = r = 4 π O lado do hexágono mede 4 cm. Então o seu perímetro é 6 x 4 = 4 cm. A soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º. â + b = 180º e c + d = 180º A área de um sector circular de raio r, cujo arco tem amplitude α, é: απr A = 360 A área de um polígono regular é: A = Perimetroxapótema Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 8

9 3. Determina a área de um pentágono regular com 6 cm de lado inscrito numa circunferência de raio 6,5 cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras, ao triângulo rectângulo assinalado, determina-se a apótema do pentágono, ap + 3 = 6,5 ap + 9 = 4,5 ap = 4,5-9 ap = 33,5 ap = 33, 5 ap = 5,8 A = P ap = 6 5 5,8 = 87 cm Rotações e isometrias Ângulo orientado é um ângulo onde está definido um sentido que pode ser positivo ou negativo. Sentido negativo sentido do movimento dos ponteiros do relógio. Sentido positivo sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 9

10 Rotação do centro O e amplitude α é uma transformação geométrica que a cada ponto A associa um ponto A tal que AOA = α e AO = AO. A rotação de centro O e amplitude 80º, R(O, 80º) transforma o [OAB] no [OA'B ]. O [OA'B ] diz-se imagem do [OAB]. Propriedades Numa rotação: Um segmento de recta é transformado num segmento de recta geometricamente igual. Um ângulo é transformado noutro com o mesmo sentido e geometricamente igual. Exemplos: Construir a imagem do polígono pela rotação de centro O e amplitude 80º, usando o transferidor e o compasso. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 10

11 Isometria é a transformação geométrica que transforma uma figura em outra geometricamente igual. As rotações, as translações e as simetrias são isometrias. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 11

12 APLICA O QUE APRENDESTE 1. Na circunferência de centro O da figura, [AC] é o lado de um hexágono regular nela inscritível Determina AOC, ABC e ACB. 1.. Sendo AC = cm, calcula o comprimento do arco AC Classifica o [ABC] quanto aos ângulos.. Considera o trapézio [ABCD] inscrito na circunferência. Sabendo que [AB] é o lado de um pentágono regular inscritível na circunferência e que DC = AB, determina a amplitude dos ângulos internos do trapézio. 3. Na circunferência da figura, DCA = 50º e CAB = 55º. Determina : 3.1. CFB 3.. DÊA Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 1

13 4. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AC = 80º e DE = 30º, determina DAE 4.. DCE 4.3. ADC 4.4. AFD 4.5. DFE 4.6. ABC 5. Na figura, BC é tangente à circunferência de centro O no ponto D, AF = 100º e ED = 1 DF. Determina as amplitudes dos ângulos internos do [ABC]. 6. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AB = 140º e que AC e BC são tangentes à circunferência em A e B, respectivamente Calcula OÂB e ABC. 6.. Classifica o [ABC] quanto aos lados O gráfico traduz uma situação de proporcionalidade. Indica o tipo e a constante de proporcionalidade. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 13

14 7. Na circunferência de centro O da figura, AD é tangente no ponto A e BÂD = 80º. Determina: 7.1. AOB 7.. ACB 8. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que CD = 100º e que AB é tangente no ponto B, determina: 8.1. DBC 8.. BCD 8.3. ABC 8.4. ABD 8.5. BÂC 8.6. BDO 9. Averigua se existe um polígono regular cuja amplitude do ângulo interno é 16º. Em caso de existir, indica o número de lados. 10. Quais das afirmações seguintes são verdadeiras? I) Num triângulo, a amplitude do ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes. II) Num triângulo, a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º. III) Num quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos opostos são suplementares. IV) Num triângulo rectângulo, a hipotenusa é igual à soma dos catetos. A) Todas B) I, II e III C) II, III e IV D) I, II e IV Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 14

15 11. Considera um hexágono regular com 4 cm de lado inscrito numa circunferência de centro O. Determina: A área da parte colorida da figura; 11.. A amplitude do ângulo interno e a amplitude do ângulo externo do hexágono. 1. Num estudo estatístico sobre os níveis de Matemática dos alunos de uma turma, elaborou-se um gráfico circular com cm de raio. Determina a área do sector circular correspondente ao nível Constrói a imagem do [ABC] pela rotação de centro O e amplitude 45º. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 15