Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos

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Vinícius Schmidt Almeida
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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Gabarito da a Prova de Geometria I - Matemática - Monica 9/05/015 1 a Questão: (4,5 pontos) (solução na folha 1) 1. Na figura abaixo determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento. Repare que os triângulos EOD, CDO e BCO são isósceles com base EO, CD e BC, respectivamente. Logo, ED, OD, OC e OB são congruentes e ED = OD = OC = OB = a. No triângulo EOD, como ι > κ = λ, então EO > a. No triângulo BCO, como Ô = 90 > α = β, então BC > a. No triângulo ABO, como ζ > η > θ, então AB > AO > a. No triângulo CDO, como γ < ɛ = δ, então DC < a. Logo, o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento é γ.. Seja P um ponto no interior do triângulo ABC. O perímetro p de ABC é definido como p = AB + BC + CA. Verifique se AP + BP + CP > p. Pela desigualdade triangular,

2 AB < AP + P B. BC < BP + P C. AC < AP + P C. Logo p = AB + BC + AC < AP + P B + BP + P C + AP + P C = [AP + BP + CP ] e portanto AP + BP + CP > p. 3. O interior do círculo com centro O e raio r é um conjunto convexo do plano? Feita em aula. a Questão: (5 pontos) (solução na folha ) 1 a parte Aqui é válido usar todos os axiomas e resultados obtidos até o momento. 1. Quanto mede a altura de um triângulo equilátero cujos lados medem um centímetro cada? Seja ABC um triângulo equilátero cujos lados medem um centímetro cada. Seja D o pé da perpendicular baixada do ponto C sobre o segmento AB. Sabemos que em um triângulo equilátero, a mediana CD é altura do triângulo e bissetriz de Ĉ. Logo DB = 1/. Como CDB é triângulo retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o valor de CD: Logo CD = ( 3/ ) cm. CD + ( ) 1 = 1.. Use o item anterior para provar que se um triângulo retângulo tem ângulos agudos de 30 e 60, então seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa. Seja EF G um triângulo retângulo com hipotenusa F G e ângulos agudos Ĝ = 30 e F = 60. Seu menor cateto é EF, oposto ao menor ângulo interno Ĝ. No item anterior, como ABC é um triângulo equilátero, seus ângulos internos são todos congruentes, medindo 60. Como a mediana CD é também a bissetriz de Ĉ, o ângulo BĈD = 30.

a Questão: (5 pontos) (solução na folha ) 1 a parte Aqui é válido usar todos os axiomas e resultados obtidos até o momento. 1. Quanto mede a altura de um triângulo equilátero cujos lados medem um centímetro cada?

3 Dos fatos Ĝ = 30 = BĈD e F = 60 = B, temos que os triângulos EF G e DBC são semelhantes. F G Em particular, 1 = EF, isto é, F G = EF, o menor cateto mede metade 1/ do comprimento da hipotenusa. a parte Aqui não é válido usar os resultados obtidos a partir do axioma das paralelas. 1. Dê uma nova prova de que se um triângulo retângulo tem ângulos agudos de 30 e 60, então seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa. Seja ABC um triângulo retângulo com hipotenusa BC e ângulos agudos Ĉ = 30 e B = 60. Seu menor cateto é AB, oposto ao menor ângulo interno Ĉ. Seja D S BA, tal que DA = AB. Ligamos D ao ponto C. Como DA = BA (por construção), CÂD = 90 = CÂB(ângulos suplementares) e AC = AC (lado comum), por congruência LAL, ADC = ABC. Em particular, A DC = A BC = 60, DĈA = BĈA = 30, isto é, DĈB = 60 e o triângulo DBC é equilátero. Logo AB = DB = CB, 3

Dê uma nova prova de que se um triângulo retângulo tem ângulos agudos de 30 e 60, então seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.

4 o menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.. Prove que em um triângulo retângulo se seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa, então seus ângulos agudos α e β satisfazem β = α. Seja ABC um triângulo retângulo com hipotenusa BC e menor cateto AB satisfazendo AB = BC. Seja α o ângulo oposto ao cateto AB e β o ângulo oposto ao cateto AC. Como no item anterior, seja D S BA, tal que DA = AB. Ligamos D ao ponto C. Como DA = BA, ADC = ABC. CÂD = 90 = CÂB e AC = AC, por congruência LAL, Em particular DC = BC = AB = DB, isto é, o triângulo DBC é equilátero. Logo de DĈA = BĈA = α, DĈB = α e DĈB = β, temos β = α. 3 a Questão: (1,5 ponto) (solução na folha 3) Pode existir um triângulo ABC em que a bissetriz do ângulo externo do vértice B sejam paralelas? Â e a bissetriz do ângulo Seja D S AB, B entre A e D. Sejam S AF ângulo externo ao vértice B. a bissetriz de Â e S BE a bissetriz de C BD, Se S AF //S BE então Â = C BD, pois são ângulos correspondentes. 4

Seja ABC um triângulo retângulo com hipotenusa BC e menor cateto AB satisfazendo AB = BC. Seja α o ângulo oposto ao cateto AB e β o ângulo oposto ao cateto AC.

5 Absurdo, pois C BD > Â, pelo Teorema do ângulo externo. Portanto não pode existir um triângulo ABC em que a bissetriz do ângulo Â e a bissetriz do ângulo externo do vértice B sejam paralelas. 5

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