Arcos na Circunferência

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1 Arcos na Circunferência 1. (Uerj 015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir. Admita que: - as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a 3 decímetros; - durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam. Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro.. (Uea 014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da praça é a) 15π b) 175 π c) 15 π d) 50 π e) 50π Página 1 de 15

2 3. (Fgv 013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e BAE ˆ 60. Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo figura por α, é igual a a) 0 b) 40 c) 45 d) 60 e) 80 ˆ BEC, indicada na 4. (Uem 013) Considere uma circunferência de centro O e raio u.c. Sejam A, B, C, D e E pontos sobre essa circunferência, nesta ordem, e tais que AD e BE sejam diâmetros. Assinale o que for correto. 01) Os triângulos ABD e ACD são triângulos retângulos. 0) O quadrilátero ABDE é um retângulo. 04) A área do triângulo ACD é maior do que 4 u.a. 08) A medida do ângulo ˆ AEB é a metade da medida do ângulo ˆ EOD. 16) A área do quadrilátero ABDE é maior do que 3 4 da área do círculo. 5. (G1 - cftmg 013) Considere três circunferências de raio unitário e de centros A, B e C, conforme a figura. Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em unidades de comprimento, é π a). 3 π b). c) π. d) π. Página de 15

3 6. (Insper 013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam: É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo. Por exemplo, dos pontos P 1 e P a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o palco. Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é a) b) c) d) e) Página 3 de 15

4 7. (G1 - cftmg 013) Um hexágono regular de área 1 cm e de centro P foi pintado em duas tonalidades, conforme a figura. A área pintada na tonalidade mais clara, em cm, é a) 3. b) 4. c) 5. d) (Enem 01) Em 0 de fevereiro de 011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1 equivale a 60 e 1 equivale a 60. PAVARIN, G. Galileu, fev. 01 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 14,0. b) 14,05. c) 14,0. d) 14,30. e) 14, (Enem PPL 01) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC. Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 10 graus Página 4 de 15

5 10. (Mackenzie 01) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é a) 5 b) 3 c) d) 4 3 e) (G1 - ifsp 011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) Página 5 de 15

6 1. (Fuvest 009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; () AB = OB; (3) CÔD mede α radianos. Nessas condições, a medida de A ˆB O, em radianos, é igual a: a) π - (α/4) b) π - (α /) c) π - (α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/) 13. (Fgv 008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é a) 7. b) 108. c) 10. d) 135. e) Página 6 de 15

7 14. (Ufrrj 005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio m e os ângulos BOC e OBC são iguais. O comprimento do segmento AB é a) m. b) 3 m. c) 3 m. d) 5 m. e) 3 m. 15. (G1 - cftmg 005) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 Página 7 de 15

8 16. (G1 - cftmg 005) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é a) 70 b) 90 c) 110 d) (G1 - cftmg 005) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 Página 8 de 15

9 18. (Ufes 004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é a) 15 b) 0 c) 5 d) 30 e) (Uerj 003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir. Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando ð = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 10 d) (Enem 00) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 0 horas. c) 5 horas. d) 3 horas. e) 36 horas. Página 9 de 15

10 Gabarito: Resposta da questão 1: Na figura, temos: 3 tg60 x 1 x a 3 3 a 4 π 3 10 π 3 y Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por: π 3 d a x a x y 6 dm 3 Resposta da questão : [C] Admitindo R a medida do raio, temos: 4π rad R. 5 R π Resposta da questão 3: [B] Seja S um ponto do menor arco BE. Como BPC CQD DRE α, segue-se que BSE α. Portanto, como EAB é excêntrico exterior, temos BQE BSE 6 α (360 6 α) EAB α 180 α Página 10 de 15

11 Resposta da questão 4: = 11. [01] Correto. Como ABD e ACD estão inscritos no semicírculo de diâmetro AD, com AD sendo lado comum de ABD e ACD, segue-se que ABD e ACD são triângulos retângulos. [0] Correto. Sendo ABD,BDE,DEA e EAD ângulos inscritos que determinam arcos de 180, temos ABD BDE DEA EAD 90. Portanto, ABDE é um retângulo. [04] Incorreto. Seja H o pé da perpendicular baixada de C sobre AD. Como AD 4 u.c., segue-se que a área do triângulo ACD é 1 (ACD) AD CH CH. Por outro lado, como C está entre B e D, temos CH u.c. e, portanto, (ACD) 4 u.a. [08] Correto. Como AEB é ângulo inscrito e determina o arco AB, tem-se AB AEB. Por outro lado, EOD e AOB são opostos pelo vértice, o que implica em EOD AOB. Logo, como AOB é ângulo central, vem EOD AOB AB e, portanto, [16] Incorreto. A área do quadrilátero ABDE é dada por 1 (ABDE) AD BE sena OB senaob 8 sena OB. EOD AEB. Logo, (ABDE) é máxima quando senaob 1, ou seja, quando AOB 90. Por outro lado, a área do círculo é igual a 4 u.a. Logo, e, 4 portanto, qualquer que seja ABDE, sua área é menor do que 3 da área do círculo. 4 Página 11 de 15

12 Resposta da questão 5: [C] Comprimento do arco cuja medida é x: π 1 π x. 6 3 Portanto, o perímetro da figura será: π 3 π 3 Resposta da questão 6: [E] Para qualquer ponto P, o ângulo reto. ˆ APB situado na semicircunferência (mostrada na figura) será APB ˆ = Logo, o trilho deverá ser o representado na figura da alternativa [E]. Página 1 de 15

13 Resposta da questão 7: [C] Dividindo o hexágono em 1 triângulos de mesma área (ver figura), cada área terá Portanto, a área destacada terá 5 1cm 5 cm. 1cm. Resposta da questão 8: [B] 3 = (3/60) = 0, = 14,05 Resposta da questão 9: [C] Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, θ 60. Resposta da questão 10: [E] Considere a figura. Sejam AOD e COB. Sabendo que BC OA OC, vem OBC. Daí, como AD e CE, encontramos AD CE OBC 3. Página 13 de 15

14 Resposta da questão 11: [D] Como x é excêntrico exterior, segue que: BCP AP x. Mas AP 360 (AB BCP). Portanto, x 64. Resposta da questão 1: [C] ˆ ABD x ΔCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB ˆ ˆ = π - x ΔABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA ˆ ˆ = No triângulo AOB: π - x π - x α π - x + (ângulo externo) α = π x π x 3x 3π α 3π α x 3 α x π 3 Portanto, ABO ˆ π α/3 Página 14 de 15

15 Resposta da questão 13: [E] Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: [A] Sabendo que AP AD, tem-se ADP BPD. Além disso, os ângulos inscritos ABC e ADC subentendem o mesmo arco, bem como os ângulos BAD e BCD. Logo, ABC ADC e BAD BCD. Por outro lado, BAD é ângulo externo do triângulo ADP e, portanto, BAD ADP. Desse modo, como AD BC e sendo Q o ponto de interseção das cordas AD e BC, vem, do triângulo QCD, ADC BCD 90 ADP BAD 90 ADP ADP 90 ADP 30. Resposta da questão 16: [A] Resposta da questão 17: [C] Resposta da questão 18: [B] Resposta da questão 19: [A] Resposta da questão 0: [C] π.r 3, horas Página 15 de 15