ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS. Gráfico posição x tempo (x x t)

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1 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS No estudo do movimento é bastante útil o emprego de gráficos. A descrição de um movimento a partir da utilização dos gráficos (posição x tempo; velocidade x tempo e aceleração x tempo) fornece diversas informações, seja por meio de observação direta, análise da inclinação da reta ou cálculo de áreas sob a curva, conforme será exposto neste capítulo. Gráfico posição x tempo (x x t) A posição (x) do móvel é representada no eixo vertical (eixo das ordenadas) e o tempo (t) no eixo horizontal (eixo das abscissas) - vide figura 01. Interpretação gráfica da velocidade média - Consideremos o intervalo de tempo de t o a t. A reta r que corta a curva nos pontos A e B recebe o nome de secante. Observando-se o gráfico, podemos notar que, no triângulo retângulo ABC, o cateto vertical BC é igual ao deslocamento Δx e, o cateto horizontal AC é igual ao intervalo de tempo Δt. Sabemos que a inclinação (ou coeficiente angular 1 ) da reta é, por definição, a razão entre o cateto vertical BC e o cateto horizontal AC. Portanto, Fig. 01 catetovertical BC inclinação da reta = inclinação da reta = catetohorizontal AC Δx Como o módulo da velocidade média (v m) é dado pela expressão, V m = Δt Logo, inclinação da reta = vm. Δx Δt, então: No gráfico posição x tempo, a velocidade média é dada pela inclinação da reta secante. A inclinação da reta pode ser positiva, nula ou negativa. A figura 02 mostra que, em (a), a secante r 1 tem inclinação positiva vm > 0; em (b), a secante r 2, paralela ao eixo dos tempos, tem inclinação nula vm = 0; e, em (c), a secante r 3tem inclinação negativa vm < 0. (a) (b) (c) Fig Aprendemos na matemática que a inclinação - ou coeficiente angular - da reta é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas. Isto só é verdade se a escala do gráfico for 1:1, ou seja, se a escala utilizada na abscissa for a mesma da ordenada. Na física quase sempre essas escalas são diferentes.

2 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 2 Exercício de Fixação 01 - Os gráficos (a), (b) e (c) da figura 02 referem-se ao movimento de uma partícula numa trajetória retilínea. Calcule a velocidade média da partícula nos seguintes intervalos de tempo: a) no gráfico (a), de 1 s a 3 s; b) no gráfico (b), de 2 s a 6,5 s; c) no gráfico (c), de 6 s a 10 s. Interpretação gráfica da velocidade instantânea - Sabemos que a velocidade instantânea (v) equivale uma velocidade média (vm) calculada para um intervalo de tempo Δt infinitamente pequeno, isto é, Δt tendendo para zero. Matematicamente, temos: Δx V m = (Δt Δt Para alcançarmos uma interpretação gráfica da velocidade instantânea, observemos a figura 03, que representa um gráfico posição x tempo para movimento retilíneo. As secantes a, b e c são utilizadas para determinação das velocidades médias nos intervalos de tempo (t a t 3), (t a t 2), e (t a t 1), respectivamente. Note que o instante inicial t é o mesmo para todos os intervalos de tempo, que ficam cada vez menores para as secantes a, b e c. Observe também que, à medida que o intervalo de tempo Δt diminui, ou seja, (Δt 0), o ponto B aproxima-se do ponto A, e a reta secante AB tende a se tornar tangente à curva no ponto A. No entanto, isto ocorre apenas quando o intervalo de tempo Δt é infinitamente Fig. 03 pequeno. Nessa situação, a reta t torna-se tangente à curva no ponto A e sua inclinação (ou coeficiente angular) representa, no gráfico posição x tempo, num dado instante t, a velocidade instantânea da partícula naquele instante. Desta maneira, 0) No gráfico posição x tempo, a velocidade instantânea no instante t é dada pela inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a esse instante. Em geral, a inclinação da tangente, no gráfico x x t, é utilizada para comparar o módulo da velocidade em dois instantes. A figura 04 expõe a comparação entre v no instante t e v 0 no instante t 0, a partir das seguintes regras: I) se a curva do gráfico posição x tempo for uma reta, a inclinação será sempre constante, logo, o módulo da velocidade é constante: v = v0 (vide gráficos b e b ); II) quanto maior a inclinação, maior é o módulo da velocidade, ou seja, v > (vide gráficos a e a ); v 0 III) quanto menor a inclinação, menor o módulo da velocidade; isto é, v < v0 (vide gráficos c e c ). Fig. 04

3 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 3 Ao realizarmos essa comparação, para avaliar se a velocidade está crescendo ou decrescendo, devemos levar em conta somente o valor absoluto da inclinação, já que seu sinal fornece apenas o sentido do movimento. Quando positivo, indica que o móvel se desloca a favor do eixo; quando negativo, o movimento ocorre contra o eixo. Por exemplo, na figura 05, as inclinações das tangentes são negativas (o móvel se desloca contra o eixo) e, vão assumindo valores absolutos crescentes (o movimento é acelerado). Exercícios de Fixação 02- As afirmações abaixo estão relacionadas ao gráfico posição x tempo do movimento de uma partícula em uma trajetória retilínea. As curvas, BCD e FGH, do gráfico são parabólicas. Leia cada uma das afirmativas seguintes e assinale com V as verdadeiras e com F as falsas. A) No gráfico posição x tempo, sempre que: ( ) A inclinação da reta permanece constante a velocidade é nula. ( ) A inclinação da reta permanece constante o módulo da velocidade é constante. ( ) A inclinação da reta permanece constante o módulo da velocidade instantânea é igual ao módulo da velocidade média. B) No gráfico posição x tempo, sempre que: ( ) A inclinação da reta tangente à curva diminui, o módulo da velocidade decresce com o tempo. ( ) A inclinação da reta tangente à curva aumenta, o módulo da velocidade cresce com o tempo. ( ) A inclinação da reta tangente à curva é constante, o módulo da velocidade é constante. C) ( ) Nos trechos AB, DE e HI, o movimento da partícula é uniforme, pois o módulo da velocidade é constante. ( ) Nos trechos BC e FG, o movimento da partícula é retardado, pois o módulo da velocidade é decrescente. ( ) Nos trechos CD e GH, o movimento da partícula é acelerado, pois o módulo da velocidade é crescente. ( ) Nos trechos EF e IJ, a partícula encontra-se em repouso, pois o módulo da velocidade é nulo. ( ) Nos trechos BCD e FGH, o movimento da partícula é uniformemente variado, uma vez que, no gráfico posição x tempo, quando a curva é parabólica, a aceleração apresenta módulo constante. 03 Complete a tabela abaixo, em que os pares de letras correspondem a trechos do gráfico apresentado no exercício anterior, de acordo com as instruções seguintes: I. Preencha a primeira coluna com os sinais (+), (-) ou (0), que correspondem, respectivamente, a velocidades médias positivas, negativas ou nulas. II. Na segunda coluna, empregue as abreviaturas MRU para Movimento Retilíneo Uniforme; MRUA para Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado; ou MRUR para Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado. III. Preencha a terceira coluna com os sinais (+), (-) ou (0), que correspondem, respectivamente, a acelerações positivas, negativas ou nulas. AB BC CD DE EF FG GH HI IJ Sinal da velocidade Tipo de movimento Sinal da aceleração

4 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS O gráfico posição x tempo abaixo refere-se ao movimento de uma partícula em uma trajetória retilínea. Com base no gráfico, responda: A) A posição da partícula no instante: 3 segundos, é x3 = 8 segundos, é x8 = 12 segundos, é x12 = B) Em quais instantes a posição do móvel é nula? C) Em qual intervalo de tempo a partícula permanece em repouso? Ainda com base no gráfico, determine: D) O deslocamento do móvel nos seguintes intervalos de tempo: I. de 0 s a 6 s II. de 3 s a 8 s III. de 0 s a 12 s E) A distância percorrida (ou espaço percorrido) pelo móvel nos seguintes intervalos de tempo: I. de 0 s a 6 s II. de 11 s a 12 s III. de 0 s a 12 s F) A velocidade média nos intervalos de tempo: I. de 1 s a 3 s II. de 1 s a 5 s III. de 8 s a 10 s G) A velocidade instantânea nos instantes: I. t = 0,5 s II. t = 3,0 s III. t = 5,5 s IV. t = 8 s V. t = 11,3 s 05 - Um ponto material move-se no eixo das posições (x). No instante t = 0 s, ele se encontra na posição x = 0 m. A partir desse instante, um observador mede a velocidade da partícula em função do tempo e constrói o gráfico a seguir. O gráfico posição x tempo abaixo que melhor representa esse movimento é:

5 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 5 Gráfico velocidade x tempo (v x t) A velocidade (v) do móvel é representada no eixo das ordenadas, e o tempo (t), no eixo das abscissas, conforme ilustra a figura 06. Interpretação gráfica da aceleração média Em um gráfico velocidade x tempo, a aceleração média pode ser interpretada de modo análogo à análise da velocidade média em um gráfico posição x tempo. Consideremos uma partícula em movimento retilíneo cujo gráfico v x t é apresentado na figura 06. Tomando-se o intervalo de tempo de t o a t, a reta que intercepta a curva nos pontos A e B é denominada secante. Pode-se observar que, no triângulo retângulo ABC, o cateto vertical BC equivale à variação da velocidade Δv e o cateto horizontal AC corresponde ao intervalo de tempo Δt. Sabemos que a inclinação (ou coeficiente angular) da reta é a razão entre o cateto vertical BC e o cateto horizontal AC. Desta maneira, temos: Fig. 06 catetovertical BC inclinação da reta = inclinação da reta catetohorizontal AC Δv Como a aceleração média (a m) é dada pela expressão a m =, então: Δt inclinação da reta = am. Portanto, = Δv Δt No gráfico velocidade x tempo, a aceleração média é dada pela inclinação da reta secante. A inclinação da reta pode ser positiva, nula ou negativa. Analisando-se a figura 07, é possível observar que, em (a), a secante r 1 possui inclinação positiva, logo, am > 0; em (b), a secante r 2, paralela ao eixo dos tempos, tem inclinação nula, logo, am = 0; e, em (c), a secante r 3 tem inclinação negativa, o que implica am < 0. (a) (b) (c) Fig. 07 Exercício de Fixação 06 - Os gráficos (a), (b) e (c) da figura 07 referem-se ao movimento de uma partícula numa trajetória retilínea. Calcule a aceleração média da partícula nos seguintes intervalos de tempo: a) no gráfico (a), de 1 s a 3 s; b) no gráfico (b), de 2 s a 6,5 s; c) no gráfico (c), de 6 s a 10 s.

6 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 6 Interpretação gráfica da aceleração instantânea Pode-se tratar a aceleração instantânea (a) como uma aceleração média (am) calculada para um intervalo de tempo Δt infinitamente pequeno (Δt 0). Δv a m = (Δt 0) Δt Para alcançarmos a interpretação gráfica da velocidade instantânea, observemos a figura 08, que apresenta um gráfico velocidade x tempo de um movimento retilíneo. Observando-se esse gráfico, podemos calcular a aceleração instantânea no instante t, por meio da inclinação da tangente à curva no ponto que corresponde a esse instante (ponto A). Desta maneira, No gráfico velocidade x tempo, a aceleração instantânea no instante t é dada pela inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a esse instante. Quando um móvel tem aceleração instantânea constante num dado intervalo de tempo, seu valor será sempre igual ao da aceleração média nesse intervalo. A curva do gráfico velocidade x tempo é, neste caso, uma reta, e a tangente coincide com a secante, conforme mostrado na figura 09. Determinação gráfica do deslocamento e da distância percorrida No Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), o módulo da velocidade v é constante, e o gráfico velocidade x tempo revela uma reta paralela ao eixo dos tempos, conforme mostrado na figura 10. Nela, a área do retângulo sombreado vale v. t, produto que corresponde justamente ao deslocamento do móvel no intervalo de tempo de 0 a t. Logo, A área sob a curva do gráfico velocidade x tempo fornece o deslocamento do móvel. Fig. 10 Essa propriedade da área no gráfico v x t é válida para qualquer tipo de movimento, mesmo nos casos em que o módulo da velocidade varia continuamente com o tempo, conforme ilustra a figura 11. No entanto, para demonstrar essa propriedade para movimentos variados, faz-se necessário utilizar cálculo integral, cujo estudo é desenvolvido em cursos superiores. Por essa razão, demonstramos apenas para o movimento uniforme. Fig. 11 Analisando-se a figura 12, temos que a área A 1 fornece o deslocamento no intervalo de tempo entre 0 e t. Esse deslocamento é positivo, em virtude de a velocidade ser positiva. A área A 2 fornece o deslocamento no intervalo de tempo entre t e t, que é negativo, em virtude de a velocidade nesse intervalo ser negativa. Fig. 12 O deslocamento total é obtido pela soma algébrica das áreas A1 e A2, e a distância total percorrida (ou espaço total percorrido) é dada pela soma dos valores absolutos das áreas A1 e A2.

7 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 7 Cabe observar que o resultado do cálculo da área não apresenta significado de área geométrica, pois a unidade encontrada não é de área (metro 2 ), uma vez que, no gráfico velocidade x tempo, temos metro/segundo. segundo = metro. Por esse motivo, alguns autores empregam a palavra área entre aspas. Exercícios de Fixação 07 As afirmações abaixo estão relacionadas ao gráfico velocidade x tempo para o movimento de uma partícula em trajetória retilínea. Leia atentamente cada uma das afirmativas e assinale com V as verdadeiras e com F as falsas. A) No gráfico velocidade x tempo, ( ) maior a inclinação implica maior o módulo da aceleração. ( ) menor a inclinação implica menor o módulo da aceleração. ( ) se a curva for uma reta, a inclinação será constante, logo, o módulo da aceleração será constante. B) ( ) No(s) trecho(s) EF, a partícula encontra-se em repouso, pois o módulo da velocidade é nulo. ( ) No(s) trecho(s) IJ, a partícula encontra-se em repouso, pois o módulo da velocidade é nulo. ( ) No(s) trecho(s) EF, o movimento da partícula é uniforme, pois o módulo da velocidade é constante. ( ) No(s) trecho(s) AB, DE e HI, o módulo da aceleração é constante. ( ) No(s) trecho(s) BC e FG, o módulo da aceleração é decrescente. ( ) No(s) trecho(s) CD e GH, o módulo da aceleração é crescente O gráfico velocidade x tempo abaixo se refere ao movimento de uma partícula em uma trajetória retilínea. Complete a tabela abaixo, em que os pares de letras correspondem a trechos do gráfico acima, de acordo com as instruções seguintes: I. Preencha a primeira coluna com os sinais (+), (-) ou (0), que correspondem, respectivamente, a velocidades médias positivas, negativas ou nulas. II. Na segunda coluna, empregue as abreviaturas MRU para Movimento Retilíneo Uniforme; MRUA para Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado; ou MRUR para Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado. III. Preencha a terceira coluna com os sinais (+), (-) ou (0), que correspondem, respectivamente, a acelerações positivas, negativas ou nulas. AB BC CD DE EF FG Sinal da velocidade Tipo de movimento Sinal da aceleração

8 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS Um ponto material move-se no eixo das posições (x). No instante t = 0 s, ele se encontra na posição x = + 10 m. A partir desse instante, um observador mede a velocidade da partícula em função do tempo e constrói o gráfico a seguir. Baseando-se no gráfico, complete: A) A velocidade da partícula no instante: I. 0,2 segundo, é v = II. 3 segundos, é v = III. 5,5 segundos, é v = B) Em quais instantes a velocidade do móvel é nula? C) Em qual intervalo de tempo a partícula permanece em repouso? Ainda com base no gráfico, determine: D) A aceleração média do movimento, em m/s 2, nos intervalos de tempo: I. de 0 s a 2 s; II. de 2 s a 4 s; III. de 4 s a 6 s; IV. de 6 s a 7 s; V. de 2 s a 6 s. E) A aceleração da partícula, em m/s 2, nos instantes: I. t = 1,5 s; II. t = 3 s; III. t = 5 s; IV. t = 6,5 s; F) O deslocamento da partícula, em metros, entre os instantes t = 0 s e t = 8 s. G) A distância percorrida pela partícula, em metros, entre os instantes t = 0 s e t = 8 s. H) A posição final da partícula, ou seja, sua posição ao final de 8 segundos. Gráfico aceleração x tempo (a x t) No gráfico a x t, a aceleração (a) do móvel é representada no eixo das ordenadas, e o tempo (t), no eixo das abscissas, conforme ilustra a figura 13. Determinação gráfica da variação da velocidade - O gráfico aceleração x tempo permite determinar a variação da velocidade (Δv) de um móvel a partir do cálculo da área (A) da região compreendida entre a curva e o eixo dos tempos. Essa propriedade da área no gráfico a x t é válida para qualquer tipo de movimento, mesmo nos casos em que o módulo da aceleração varia continuamente com o tempo, conforme ilustra a figura 13. No entanto, para demonstrar essa propriedade, faz-se necessário utilizar cálculo integral, cujo estudo é desenvolvido em cursos superiores. Por essa razão, demonstraremos apenas para o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Como no MRUV o módulo da aceleração a é constante, Fig. 13 o gráfico revela uma reta paralela ao eixo os tempos, conforme mostrado na figura 14. Nela, a área do retângulo sombreado vale a. t, produto que corresponde à variação da velocidade (Δv) no intervalo de tempo de 0 a t. Logo, A área sob a curva do gráfico aceleração x tempo fornece a variação da velocidade (Δv) do móvel. Fig. 14 Observação: A área de um gráfico sempre representa a variação de uma grandeza, e não a grandeza em si. Exemplos:

9 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 9 No gráfico velocidade x tempo, a área representa o deslocamento (Δx) do móvel, que é a variação da sua posição. No gráfico aceleração x tempo, a área representa a variação da velocidade (Δv). Exercício de Fixação 10 - As afirmações abaixo estão relacionadas ao gráfico aceleração x tempo para o movimento de uma partícula em uma trajetória retilínea. Leia atentamente cada uma das afirmativas e, com base no gráfico, assinale com V as verdadeiras e com F as falsas. ( ) No instante t = 0 s, a partícula encontra-se na origem do eixo da posição, ou seja, em x0 = 0 m. ( ) No instante t = 0 s, a velocidade da partícula é zero (v0 = 0). ( ) A velocidade da partícula cresce proporcionalmente com o tempo. ( ) O movimento da partícula é retilíneo uniformemente acelerado. ( ) O movimento da partícula é retilíneo acelerado, mas não uniformemente. ( ) Se em t = 0 s a velocidade da partícula for igual a 2,0 m/s, sua velocidade no instante t = 2 s será 7,0 m/s Os gráficos aceleração x tempo para o movimento de uma partícula em uma trajetória retilínea em quatro situações diferentes estão representados abaixo. Se os eixos de todos os gráficos têm a mesma escala, em qual dos gráficos o móvel apresenta maior variação do módulo da velocidade? Questões de Vestibulares e do Enem 01 - (UFMG) - O gráfico abaixo corresponde ao movimento de um carro entre os instantes 0 e t. Sabendo-se que o carro permaneceu parado durante um certo intervalo de tempo, a grandeza representada no eixo vertical poderá ser: A) somente o deslocamento. B) somente a velocidade. C) somente a aceleração. D) qualquer uma das grandezas: deslocamento ou velocidade. E) qualquer uma das grandezas: deslocamento, velocidade ou aceleração (UFMG) - Uma pessoa parte de um ponto P, vai até um ponto Q e volta ao ponto P, deslocando-se em linha reta com movimento aproximadamente uniforme. O gráfico posição x em função do tempo t que melhor representa esse movimento é

10 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS O gráfico abaixo representa a posição em função do tempo de duas partículas A e B que percorrem a mesma trajetória em pistas paralelas. Pela interpretação do gráfico, podemos garantir que: A) As partículas partem de posições diferentes com a mesma velocidade. B) As partículas movem-se em linha reta C) No instante t1, as partículas não estão emparelhadas. D) As partículas percorrem a mesma distância. E) As partículas partem de posições diferentes com velocidades diferentes e conservam suas velocidades (UFMG) - Uma pessoa passeia durante 30 minutos. Neste tempo ela anda, corre e também pára por alguns instantes. O gráfico representa a distância (x) percorrida por esta pessoa em função do tempo de passeio (t). Pelo gráfico pode-se afirmar que, na sequência do passeio da pessoa, ela: A) andou (1), correu (2), parou (3) e andou (4). B) andou (1), parou (2), correu (3) e andou (4). C) correu (1), andou (2), parou (3) e correu (4). D) correu (1), parou (2), andou (3) e correu (4) (UFMG) - Um carro está andando ao longo de uma estrada reta e plana. Sua posição em função do tempo está representada neste gráfico: Sejam V P, V Q e V R os módulos das velocidades do carro, respectivamente, nos pontos P, Q e R, indicados nesse gráfico. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que A) VQ < Vp < VR. B) VP < VR < VQ. C) VQ < VR < VP. D) VP < VQ < VR (FCMMG) - Os gráficos abaixo referem-se às distâncias percorrida por três móveis à medida em que o tempo passa. Podemos afirmar que o módulo da velocidade diminuiu em: A) I B) II C) III D) I, II eiii E) nenhum dos movimentos (UFMG) - Um ônibus está parado em um sinal. Quando o sinal abre. Esse ônibus entra em movimento e aumenta sua velocidade até um determinado valor. Ele mantém essa velocidade até se aproximar de um ponto de ônibus quando, então, diminui a velocidade até parar. O gráfico posição x em função do tempo t que melhor representa esse movimento é:

11 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS (UFMG) - Em uma corrida de Fórmula 1, o piloto Miguel Sapateiro passa, com seu carro, pela linha de chegada e avança em linha reta, mantendo velocidade constante. Antes do fim da reta, porém, acaba a gasolina do carro, que diminui a velocidade progressivamente até parar. Considere que, no instante inicial. t = 0, o carro passa pela linha de chegada, onde x=0. Assinale a alternativa cujo gráfico da posição x em função do tempo t melhor representa o movimento desse carro (FCMMG) - Uma pedra P cai do alto do poço de um elevador E enquanto este sobe a partir do andar térreo h = 0 com velocidade constante. A altura h zero será considerada no andar térreo. O gráfico altura h versus tempo t que melhor representa os movimentos da pedra e do elevador até o momento do encontro dos dois é: (PUC-MG)- As questões 10 e 11 referem-se ao gráfico, que descreve o movimento de um móvel O móvel esteve acelerado no trecho: A) AB B) BC C) OA D) CD E) DE 11. O móvel esteve em repouso no trecho: A) OA B) BC C) CD D) AB E) DE 12 - (UFPA) - O gráfico abaixo representa a posição de duas partículas A e B em função do tempo. Pela interpretação do gráfico, podemos garantir que: A) As partículas partem de posições diferentes com velocidades diferentes. B) As partículas partem de posições diferentes com a mesma velocidade. C) As partículas partem de posições diferentes com velocidades distintas e conservam suas velocidades. D) As partículas partem da mesma posição com a mesma velocidade. E) As partículas partem da mesma posição com velocidades diferentes.

12 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS (UFMG) - Uma criança arremessa uma bola, verticalmente para cima. Desprezando-se a resistência do ar, o gráfico que melhor representa a altura h da bola, em função do tempo t é: 14 - ENEM - O gráfico ao lado modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira como essa pessoa se desloca. Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo, quando são percorridos 10 km? A) carroça semana B) carro dia C) caminhada hora D) bicicleta minuto E) avião segundo 15 - (UFSC) - Dois trens partem, em horários diferentes, de duas cidades situadas nas extremidades de uma ferrovia, deslocando-se em sentidos contrários. O trem Azul parte da cidade A com destino à cidade B, e o trem Prata da cidade B com destino à cidade A. O gráfico representa as posições dos dois trens em função do horário, tendo como origem a cidade A (d = 0). Considerando a situação descrita e as informações do gráfico, assinale a(s) proporsição(ões) CORRETA(S): (01) O tempo de percurso do trem Prata é de 18 horas. (02) Os dois trens gastam o mesmo tempo no percurso: 12 horas. (04) A velocidade média dos trens é de 60 km/h. (08) O trem Azul partiu às 4 horas da cidade A. (16) A distância entre as duas cidades é de 720 km. (32) Os dois trens se encontram às 11 horas (UFMG) - Ângela e Tânia iniciam, juntas, um passeio de bicicleta em tomo de uma lagoa. Neste gráfico, está registrada a distância que cada uma delas percorre, em função do tempo: Após 30 minutos do inicio do percurso, Tânia avisa a Ângela, por telefone, que acaba de passar pela igreja. Com base nessas informações, são feitas duas observações: I. Ângela passa pela igreja 10 minutos após o telefonema de Tânia. II. Quando Ângela passa pela igreja, Tânia está 4 km à sua frente.

13 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 13 Considerando-se a situação descrita, é CORRETO afirmar que A) apenas a observação I está certa. B) apenas a observação II está certa. C) ambas as observações estão certas. D) nenhuma das duas observações está certa (CEFET-MG) - A figura representa a variação da posição de um móvel com o tempo. A velocidade do objeto em t = 10 s, em cm/s, A) zero. B) 0,25. C) 0,50. D) 2,0. E) 4, (PUC-MG) - O gráfico representa a posição de uma partícula em movimento retilíneo, como função do tempo. Afirma-se que: A) No instante t = 2,0 s a velocidade é nula. B) No intervalo (0,0s; 2,0s) a velocidade é constante. C) No intervalo (2,0s; 4,0s) a velocidade média é nula. D) No intervalo (4,0s; 6,0s) o movimento é uniforme. E) c) No intervalo (4,0s; 6,0s) a partícula percorreu 20m (UFMG) - O gráfico a seguir mostra como varia a posição em função do tempo para um carro que se desloca em linha reta. No tempo t = 60 s, a velocidade do carro é: A) 5,0 m/s B) 7,0 m/s C) 10 m/s D) 12 m/s 20 - (MACKENZIE) - Um móvel se desloca sobre uma reta conforme o diagrama ao lado. O instante em que a posição do móvel é de +20 m é: A) 6 s B) 8 s C) 10 s D) 12 s E) 14 s 21 - (VUNESP) - O gráfico abaixo mostra como varia a velocidade de um móvel em função do tempo durante parte de seu movimento. O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma: A) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolando por um plano horizontal; B) criança deslizando num escorregador de um parque infantil; C) fruta que cai de uma árvore;

14 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 14 D) composição do metrô, que se aproxima de uma estação e pára; E) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo (UFMG) - Uma criança arremessa uma bola, verticalmente, para cima. Desprezando-se a resistência do ar, o gráfico que representa corretamente a velocidade v da bola, em função do t, é: 23 - (FCMMG) - O gráfico ao lado mostra como a velocidade de uma pequena esfera varia com o tempo ao longo de uma certa trajetória. A seguir, são apresentadas quatro superfícies por onde desliza uma esfera que se movimenta dentro do campo gravitacional terrestre. Assinale a alternativa que apresenta uma superfície cujo perfil corresponde ao movimento da esfera no gráfico (FUVEST) - Qual dos gráficos abaixo representa melhor a velocidade (v), em função do tempo (t), de uma composição do metrô em viagem normal, parando em várias estações? 25 - Dois automóveis A e B, cujas velocidades são descritas pelo gráfico abaixo, movem-se na mesma estrada retilínea, passando pela origem (x 0 = 0 m) no instante t = 0 s. No instante t = 4,0s, pode-se afirmar que A e B: A) têm a mesma aceleração. B) percorreram a mesma distância. C) estão na mesma posição em relação a origem (x 0 = 0 m). D) têm a mesma velocidade.

15 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS (ENEM) - Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir: Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente constante? A) Entre 0 e 1 segundo. B) Entre 1 e 5 segundos. C) Entre 5 e 8 segundos. D) Entre 8 e 11 segundos. E) Entre 12 e 15 segundos (ENEM) - Baseado no gráfico do exercício anterior, em que intervalo de tempo o corredor apresenta aceleração máxima? A) Entre 0 e 1 segundo. B) Entre 1 e 5 segundos. C) Entre 5 e 8 segundos. D) Entre 8 e 11 segundos. E) Entre 12 e 15 segundos (UFMG) - Dois trens A e B partem de um mesmo ponto em linhas paralelas, tendo as suas velocidades em função do tempo, descritas pelo gráfico abaixo. A distância que separa os dois trens após três horas de percurso será: A) 120 Km B) 60 Km C) 30 Km D) 20 Km E) 0 Km 29 - (UFMG) - A velocidade de uma partícula que se movimenta em linha reta é representada, em função do tempo, pelo gráfico:

16 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 16 A respeito do movimento da partícula, pode-se afirmar que: A) é acelerado para a direita todo o tempo, ou seja, de 0 ao 5º segundo. B) é uniforme e sempre para a direita. C) é uniforme para a direita, até o 3º segundo, depois fica retardado para a esquerda, até o 5º segundo. D) é uniforme para a direita até o 2º segundo; torna-se retardado, ainda para a direita, até o 3º segundo; neste instante torna-se acelerado para a esquerda, até o 5 segundo. E) é retardado para a direita, até o 3º segundo; a partir daí, torna-se uniforme para a esquerda, até o 5º segundo. INSTRUÇÁO: As questões 30, 31, 32, 33 e 34 referem-se ao seguinte enunciado: Uma partícula pode mover-se no eixo da posição (x). No instante t = 0 s, ela se encontra na posição x 0 = + 10 m. A partir deste instante, um observador mede a velocidade da partícula em função do tempo e constrói o gráfico a seguir No intervalo de tempo (4 s; 6 s), a aceleração do movimento mede, em m/s 2 : A) - 20 B) - 5 C) - 1 D) + 2 E) No tempo t = 5 s, a aceleração da partícula é, em m/s 2 : A) 0 B) - 20 C) - 1 D) + 2 E) O deslocamento da partícula entre os instantes t = 0 s e t = 6 s foi, em metros, de: A) +5 B) + 60 C) - 15 D) - 25 E) A distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0,0 s, e t = 6,0 s foi, em metros, de: A) 5 B) 10 C) 15 D) 70 E) No fim de 6 segundos, a partícula estará afastada da origem das posições: A) + 5 m B) - 10 m C) + 15 m D) - 25m E) + 70 m 35 - (UFMG) - Uma pedra é lançada verticalmente, de baixo para cima, com velocidade inicial + 2,0 m/s. O gráfico que melhor representa a velocidade da pedra em função do tempo é:

17 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 17 (PUC-MG) - INSTRUÇÁO: Considere a posição s e a velocidade v de uma partícula. As questões 36 e37 referem-se às curvas s x t e v x t abaixo Um movimento retilíneo e uniforme pode ser representado pelas curvas: A) I e VII B) II e VII C) III e VI D) III e VIII E) IV e V 37 - Um movimento retilíneo uniformemente acelerado pode ser representado pelas curvas: A) I e VII B) II e VII C) III e V D) III e VIII E) IV e V 38 - (UFMG) - Numa corrida, Rubens Barrichello segue atrás de Felipe Massa, em um trecho da pista reto e plano. Inicialmente, os dois carros movem-se com velocidade constante de mesmos módulo, direção e sentido. No instante t1 Felipe aumenta a velocidade de seu carro com aceleração constante; e, no instante t2, Barrichello também aumenta a velocidade do seu carro com a mesma aceleração. Considerando essas informações, assinale a alternativa cujo gráfico melhor descreve o módulo da velocidade relativa entre os dois veículos, em função do tempo (ENEM) - O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã.

18 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 18 De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até as 10h30min ao ponto final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as: A) 9h20min B) 9h30min C) 9h00min D) 8h30min E) 8h50min EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO GABARITO 01 - A) +20 m/s B) 0 m/s C) - 10 m/s 02 - A) F V V B) V V V C) V V V V V A) sinal da velocidade tipo de movimento sinal da aceleração AB + MRU 0 BC + MRUR - CD - MRUA - DE - MRU 0 EF 0 Repouso 0 FG - MRUR + GH + MRUA + HI + MRU 0 IJ 0 Repouso 0 I. X3 = +80 m II. X8 = - 40 m III. X12 = + 40 m B) Nos instantes: 0 s, 6 s e 10 s. C) A partícula permanece em repouso no intervalo de tempo de 11 s até 12 s. D) I. 0 m II m III m E) I. 160 m II. 0 m III. 280 m F) I m/s II. 0 m/s III m/s G) I m/s II. 0 m/s III m/s IV. 0 m/s V. 0 m/s 05 - A 06 - A) +5 m/s 2 B) 0 m/s 2 C) - 2,5 m/s A) V V V B) F V V V V V A) sinal da velocidade tipo de movimento sinal da aceleração AB + MRUA + BC + MRU 0 CD + MRUR - DE - MRUA - EF - MRUR + FG 0 Repouso 0 v = + 1 m/s v = + 10 m/s v = - 5 m/s B) Nos instantes 0 s e 5 s, e no intervalo de tempo de 7 s até 8 s. C) No intervalo de tempo de 7 s até 8 s. D) 5 m/s 2 0 m/s 2-10 m/s m/s 2-5 m/s 2 E) 5 m/s 2 0 m/s 2-10 m/s m/s 2 F)

19 ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS 19 G) H) + 25 m 45 m + 35 m 10 - F F F F V V 11 - B QUESTÕES DE VESTIBULARES E DO ENEM 01) A 02) A 03) E 04) A 05) C 06) A 07) A 08) A 09) B 10) A 11) D 12) B 13) D 14) C 15) 62 16) C 17) C 18) A 19) C 20) C 21) D 22) C 23) C 24) C 25) D 26) C 27) A 28) D 29) D 30) A 31) B 32) B 33) E 34) E 35) A 36) A 37) C 38) A 39) E