Semelhança de Triângulos

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1 Semelhança de Triângulos 1. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Assumindo DE = GF =12, EF = DG = 8 e AB =15, a altura do triângulo ABC é: a) 35 4 b) c) 90 7 d) e) (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? Página 1 de 15

2 3. (G1 - ifce 2012) Sobre os lados AB e AC do triângulo ABC, são marcados os pontos D e E, respectivamente, de tal forma, que DE // BC, AE = 6 cm, DB = 2 cm, EC = 3 cm e DE = 8 cm. Nessas condições, a soma das medidas dos segmentos AD e BC, em centímetros, vale a) 12. b) 16. c) 18. d) 24. e) (Ufrgs 2012) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo. A distância entre os pontos P e Q é a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. e) (Fgv 2012) No triângulo retângulo abaixo, os catetos AB e AC medem, respectivamente, 2 e 3. A área do quadrado ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC? a) 42% b) 44% c) 46% d) 48% e) 50% 6. (Udesc 2012) Quando olhamos para um ambiente qualquer, a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular. Por estarem separados em média 65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o cérebro forma um "mapa" dessas diferenças, tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós. A estereoscopia (popularmente conhecida como "imagem 3D") é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador, representando o que se observaria em uma situação real. Assim, o cérebro pode ser "enganado" a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela. Página 2 de 15

3 Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas de cinema 3D, funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela, permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente. Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois pontos A e B a uma distância de 30 cm um do outro, com A à esquerda de B. Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu olho direito e o ponto B apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto X, conforme a figura. O observador verá apenas um único ponto, resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B, localizado em X. Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas distam 20 m entre si, e que sua distância interocular é de 60 mm, a distância da tela em que ele verá a imagem virtual, formada no ponto X, é aproximadamente: a) 6,6 m b) 3,3 m c) 4 m d) 16,7 m e) 16 m 7. (Espm 2012) Na figura abaixo, sabe-se que os ângulos EÂD e DÊA são iguais. A medida do segmento CE é igual a: a) 2,8 b) 2,4 c) 2,0 d) 2,5 e) 2,3 8. (Ufrn 2012) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de a) 18 m. b) 8 m. c) 36 m. d) 9 m. Página 3 de 15

4 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa. Considere que a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube; o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo; o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati; o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari; o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari; a medida do segmento AC é 220 m; a medida do segmento BC é 400 m e o triângulo ABC é retângulo em C. 9. (G1 - cps 2012) Considere que o trecho DE da rua Vitório Genari é paralelo ao trecho AC da Av. Vitório Baccan. Sabendo que a medida do segmento DE é 120 m, então a medida do trecho CE da Rua Romeu Zerati é, em metros, mais próxima de a) 182. b) 198. c) 200. d) 204. e) Página 4 de 15

5 10. (Unesp 2011) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm. Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é 11. (Ufpr 2011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros. 12. (Mackenzie 2011) A área do quadrado assinalado na figura é igual a a) 15 b) 20 c) 12 d) 18 e) 16 Página 5 de 15

6 13. (Unesp 2011) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? 14. (Eewb 2011) Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Sendo AM = 4 cm e NA = 6 cm, calcule a medida do lado do quadrado. a) 2,4 cm b) 2,0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm 15. (G1 - cps 2010) Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 20 metros. Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema: O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e CE ; o segmento AB representa a antena; o segmento BC representa a altura do prédio; ponto D pertence ao segmento CE ; o ponto F pertence ao segmento AE ; o ponto B pertence ao segmento AC ; os segmentos BC e FD são congruentes; a medida do segmento BF é 12 m; a medida do segmento DE é 36 m. Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros, a) 45. b) 50. c) 60. d) 65. e) Página 6 de 15

7 16. (Fuvest 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir. Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? 17. (G1 - cps 2010) A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm. A medida do cateto PQ, em centímetros, é a) 7,5. b) 8,2. c) 8,6. d) 9,0. e) 9, (Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. Página 7 de 15

8 19. (Uel 2008) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em 0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele pôde calcular a altura do prédio, obtendo: a) 4,5 metros. b) 10,0 metros. c) 18,0 metros. d) 36,0 metros. e) 45,0 metros. 20. (G1 - cftmg 2008) Um cabo de aço AC de 7m de comprimento foi utilizado para sustentar um muro, e uma barra de aço EB, paralela ao chão, foi fixada nesse cabo, perpendicularmente ao muro, como mostra a figura. Se AB = 3m e AE = 2,4m então AD em metros, é a) 3,0 b) 4,0 c) 4,6 d) 5,6 Página 8 de 15

9 Gabarito: Resposta da questão 1: Seja h a altura do triângulo ABC. Como os triângulos ABC e DGC são semelhantes, temos que h h 180 8h h h u.c. 7 Resposta da questão 2: x 20 a) ΔATD ~ ΔABC : x 60 m AB b) Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos: ,5.t t Resposta da questão 3: [B] Página 9 de 15

10 ΔADE ~ ΔABC x 8 6 x 4 e y = 12. x 2 y 9 Logo, AD + BC = = 16. Resposta da questão 4: Por semelhança de triângulos, temos: x 2 2 4x 8 2x 16 x 4. x 8 4 Portanto, a distância de P até Q vale 12. Resposta da questão 5: 2 x x ΔBRS ~ ΔBAC x 1, A ARST (1,2) 1,44 0,48 48% AΔABC Página 10 de 15

11 Resposta da questão 6: Considere a figura, em que d é a distância pedida. Como os triângulos ABX e EDX são semelhantes, temos que d 60 d d d d 6 d ,7mm d 16,7 m. Resposta da questão 7: Como BC 3 e AB 4, segue que AC 5. Além disso, como EAD DEA, temos que DE AD. Por outro lado, como ACB e ECD são complementares, vem que os triângulos ABC e CDE são semelhantes. Daí, DE CE CD DE CE 5 DE BC AB AC DE 15 3 DE 15 DE 8 Portanto, como 4 CE DE, vem CE 2, Observação: Os ângulos EAD e DEA são congruentes, isto é, têm a mesma medida. Lembremos que ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. É óbvio que as regiões limitadas pelos ângulos EAD e DEA não são iguais. Resposta da questão 8: [B] Se d é a distância procurada, então d 2 d 8 m Página 11 de 15

12 Resposta da questão 9: [A] Como os triângulos ABC e BED são semelhantes, vem BE DE 400 CE 120 BC AC (400 CE) CE 11 CE 182 m. Resposta da questão 10: [C] 1 x 15 x x 3000mm 3m 0, ,005 Resposta da questão 11: Traçando DF Se HE x, vem: x 12 x 1,2 m AC, temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA. Assim, a altura do suporte em B é: 4 x 4 1,2 5,2 m. Resposta da questão 12: [A] 3 x 2 Δ1 ~ Δ 2 x 15 x 5 Logo, a área do Quadrado é 15 unid 2 Página 12 de 15

13 Resposta da questão 13: Considere a figura abaixo. Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA. Portanto, sabendo que AB 21dm, DE 9dm e BE 120dm, vem AB BC EC DE EC 9 EC 7 EC EC EC 90dm 9 m. Resposta da questão 14: [A] ΔMBC ΔMAN 4 x x 12 4x 24 6x 10x 24 x Portanto, x = 2,4. Resposta da questão 15: [C] Considerando x a altura do prédio, temos: ΔABF ~ ΔACE x x 4 x 60 m Página 13 de 15

14 Resposta da questão 16: ~ 1 ~ 2 3 1,2 x 0,9 x 0,4 y 0,8 y Aplicando a propriedade da proporção Nas duas últimas razões: 1,2 x x 0,4 0,9 y 0,8 y 1,2 x x 0,4 0,9 0,8 Resolvendo temos: x = 6/17 Resposta x = 6/17 m Resposta da questão 17: [A] Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST, temos: z 3 5 z 4. ΔRST ~ Δ RPQ, logo: 3 4 4x 30 x 7,5 x 6 4 Portanto, PQ = 7,5 cm. Página 14 de 15

15 Resposta da questão 18: 3,2 3,2 x 0,8 2,2 0,8(3,2 x) 2,2.3,2 x 5,6m Resposta da questão 19: Resposta da questão 20: Página 15 de 15