Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN

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1 Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que PC AP. Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB seja igual à área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ? (A),5 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 8,5 Fazendo a figura em questão: A 5 P 9 B 8 Q 8 α C Seja α o ângulo em C do triângulo PCQ e também do triângulo ABC. A área do triângulo PQC pode ser escrita como: SPQC 9 senα Do enunciado, temos que a área do quadrilátero APQB é igual à área do triângulo PQC, portanto teremos que SPQC SABC A área do triângulo ABC em função de α é dada por: SABC 8 senα Comparando as áreas: 8 senα 9 senα O que nos dá: SABC SPQC

2 Portanto, BQ será dado por: BQ 8 BQ 6 Opção C Questão 00 Sejam p ( ) e q ( ) + +. Tomando r ( ) como sendo o resto da divisão de p ( ) por q ( ), o valor de r ( ) será (A) 8 (B) 6 (C) (D) (E) Usando o algoritmo de divisão teremos: Assim r ( ) 8 +. Calculando r teremos: r 8 + r Opção E Questão Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo k cm. Sobre AB marca-se BM M, de modo que AM. Sendo N o simétrico de B em relação ao lado CD, verificase que MN corta a diagonal AC em P. Em relação à área ABCD a área do triângulo PBC equivale a: (A) 8% (B) % (C) 7% (D) 0% (E) 6% A figura do enunciado fica então:

3 A k M S k B h P R k D Q C k N Primeiro, traçamos OS//BC e PR//CD. Seja a área do triângulo APB: k h SAPB A área do triângulo PBC é dada por: k SPBC (.) Porém, a mesma área (do triângulo PBC) pode ser obtida subtraindo-se a área do triângulo APB da metade da área do quadrado, ou seja: S S S PBC ABC APB k k h SPBC (.) Igualando as epressões (.) e (.) teremos: k k k h k k ( k h) k h (.) k Note que QC é base média do triângulo MNC, logo QC. Isto pode ser verificado, 8 pois MNC é semelhante à QCN: QC k k k k QC QC k k k 8 Provado isso basta verificar que PRN é semelhante à QCN, logo: k h k k 8

4 Substituindo em função de k e h equação (.) teremos: ( k h) k k ( k h) 8 8k 8h 6k h k 5h k h 5 Recalculando em função de k: k k 5 k 5 SPBC Calculando teremos: S ABCD k k 5 S S S 0% S k S 0 S PBC PBC PBC ABCD ABCD ABCD Opção D Questão No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que a é primo com b quando mdc a,b. Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir: I. A fatoração em números primos é única. II. Eistem 8 números primos com e menores que. + +, então b c. III. Se ( a b) ( a c) IV. Se a < b, então a c < b c Quantas das afirmativas acima são verdadeiras? (A) 0 (B) (C) (D) (E) Analisando cada uma das afirmações: I. Verdadeira. Por definição, a fatoração é a decomposição em fatores primos e é única. O número de divisores positivos de um número (que é único) é obtido pelo produto dos epoentes de cada fator primo, obtido em sua fatoração, acrescido de uma unidade.,5,7,,,7,9,. II. Verdadeira. São primos com e menores que : { } III. Verdadeira. Desenvolvendo a epressão: a + ab + b a + ac + c b a + b c a + c ) Supondo b c (lembrando do enunciado que b e c são inteiros positivos): a a ) Supondo b c teremos: ab ac c b c b a b c

5 IV. Curso Mentor a ( c b) ( c + b) ( c b) c + b a Como c e b são positivos teríamos a negativo o que não é possível. Verdadeira. Para inteiros positivos sempre vale esta relação. Opção E Questão 5 Estudando os quadrados dos números naturais, um aluno conseguiu determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação 5 + y Qual foi o número de soluções que este aluno obteve? (A) 0 (B) (C) (D) (E) Analisando cada parcela da soma do lado esquerdo: ) 5 : Esta parcela tem que terminar em 0 ou 5, pois um múltiplo de 5 sempre tem um desses algarismos nas unidades; ) y : Esta parcela só pode ter como algarismo das unidades os algarismos 0,,, 5 ou 9. Conclusão: para nenhuma dessas combinações teremos uma soma cujo algarismo das unidades seja, que é o caso do número Opção A Questão 6 ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferência, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferência tangente ao lado AB em A e tangente a K. Nessas condições, o raio da semicircunferência T será (A) 5L 6 (B) L 5 (C) L (D) L 5 (E) L De acordo com enunciado temos a figura que segue: A r E L r B r L L F L D C Temos que o triângulo BEF é retângulo em B. Aplicando o teorema de Pitágoras: L L + r + L r 5

6 L L + Lr + r + L Lr + r Lr L L r Opção E Questão 7 Considere o conjunto de todos os triângulos retângulos. Sendo h a altura relativa à hipotenusa, quantos elementos, nesse conjunto, tem altura igual (A) Infinitos. (B) Mais de dezesseis e menos de trinta. (C) Mais de quatro e menos de 5. (D) Apenas um. (E) Nenhum. 5 h? Seja h a altura relativa à hipotenusa, b e c os catetos e a a própria hipotenusa. Sabemos que a relação bc ah é sempre válida em um triângulo retângulo. Além disso, sabemos que: a b + c Do problema em questão, temos que um dos catetos vale este cateto: 5h c ah a + c Como h é positivo, teremos da primeira equação: 5h ` 5 h. Portanto, sendo b 5h c a Substituindo na segunda equação: 5h 5h c + c 5h 5h c c 6 6 5h 5h c 6 6 5h 5h c 6 c c 6 Como c tem que ser um número real, devemos ter 5h 6 > 0 5h 5h 6 5h 6 5h 6

7 6 h > 5 Então h > 5 Portanto, há infinitos triângulos que satisfazem esta condição. Opção A Questão 8 Seja um número real. Define-se ou igual a. Por eemplo,,7 ;,6 ; 5 5. A solução da igualdade + 6 (A) 5 como sendo o maior inteiro menor do que, é o intervalo [ ) (B) 9 (C) são, respectivamente, iguais a, e a,b. O valor de a (D) (E) b é Por observação, fica claro que a, pois e o que nos dá a soma igual a 6. Por observação também, podemos ver que b,99..., pois,99... e,99... que nós dá novamente a soma 6. Assim, como queremos a + b,99... devemos calcular: S +,99... Para simplificar vamos escrever S como sendo S +, + 0, Calculando a fração geratriz da última parcela 0, , , , , 9 + 0, , Voltando a S: 5 9 S, + S S 0 0 Opção B Questão 9 ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e eterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo que o ângulo APB é igual a 60, que PA 6 e PC 8, a medida de PQ será 7

8 (A) 7 (B) 5 (C) 9 6 (D) (E) Construindo a figura teremos: A 60 6 P Q y 8 B 60 C Como APB é igual a 60, P deve estar sobre o círculo que circunscreve o triângulo ABC, como visto na figura acima. Pelo mesmo motivo, devemos ter BPC igual a 60, pois este ângulo subentende o mesmo arco do ângulo em B do triângulo equilátero. Seja L o lado do triângulo equilátero, então: APQ BQC Então QP 6 y L Também temos que AQB PQC O que nos dá QP 8 L Escrevendo e y em função de L: QP L y e QP L 6 8 Da figura vemos que + y L, logo Questão 0 QP QP L + L 8 6 6QP + 8QP 8 QP 7 8 Opção A A diferença entre um desconto de 50% e dois descontos sucessivos de 0% e 0% sobre um valor de R$ 0.000,00 é um valor inteiro: (A) Múltiplo de 7. (B) Múltiplo de 9. (C) Múltiplo de. (D) Ímpar.

9 (E) Zero, pois os descontos são iguais. Curso Mentor Basta fazer: ) Um desconto de 50%: , ) Um desconto de 0% seguido de 0%: ,7 0, ,56 00 Observação: Dar um desconto de 0% significa multiplicar por 0,7, bem como dar um desconto de 0% significa multiplicar 0,8. Por este motivo, percebe-se que há 6% a mais em descontos sucessivos. Isto corresponde a R$ 00,00 a mais no valor final. Opção C Questão Sejam A, B e C conjuntos tais que: A {, {, },{ } }, B {, { },} e C {{ },,} Sendo X a união dos conjuntos ( A C) e ( A B) X? 9., qual será o total de elementos de (A) (B) (C) (D) (E) 5 Seja a definição de diferença de conjuntos: F G F e G (.) { } Usando a definição (.), calculamos os conjuntos pedidos: A C,,, Calculando a outra diferença: Calculando agora a união: X, portanto, tem elementos. Questão { { } { }} A C A A B {{, },{ } } ( A C) ( A B) {, {, },{ } } No conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação ( + ) + (A) É vazio. (B) É unitário. (C) Possui dois elementos. (D) Possui três elementos. (E) Possui quatro elementos. Há duas soluções possíveis: ) + + Testando esta solução: ( ) ) + ( + ) Falso Opção C

10 5 Testando esta solução: Curso Mentor Verdadeiro Portanto, o conjunto-solução é unitário. Opção B Questão p ac + b a + c + a + b + c + b a + c + ac é um produto Sabe-se que de dois polinômios do º grau e que os números a, b e c são reais não nulos com b ac positivo. Nessas condições é correto afirmar que: (A) Há apenas um valor de tal que p ( ) 0. (B) Há apenas dois valores de tal que p ( ) 0. (C) Há apenas três valores de tal que p ( ) 0. (D) Há quatro valores de tal que p ( ) 0. (E) Não há valores de tal que p ( ) 0. Por observação, podemos verificar que o polinômio seguintes polinômios: Do enunciado temos que ( b ac) ( + + ) ( + + ) p a b c c b a q( ) p é originado pelo produto dos s( ) é positivo logo q ( ) e s tem ambos duas raízes reais e distintas que chamaremos de,, e respectivamente. Assim podemos reescrever q ( ) e s ( ) como se segue: p ( ) a ( ) ( ) c ( ) ( ) Portanto, há quatro valores que anulam p ( ). Questão Opção D Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é k, pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será (A) 5k (B) k (C) k 5 (D) k (E) k Fazendo a figura: 0

11 A B N G O F D E C Seja ABC um triângulo isósceles. N é o circuncentro, G é o baricentro e O, o ortocentro. AF é altura e mediana, BE é altura e BD é mediana. Os triângulos BGO e NGD são semelhantes. Fazendo: NG GD (.5) GO BG Sabemos que GD, pois o baricentro divide a mediana do triângulo em segmentos BG proporcionais a e. No problema em questão, NO teremos Questão 5 k, com queremos NG, basta voltar à epressão (.5) e NG k NG NG k NG NG k k NG Opção E Dois números reais não simétricos são tais que a soma de seus quadrados é 0 e o quadrado de seu produto é 8. De acordo com essas informações a única opção que contém pelo menos um desses dois números é: (A){ R } (B){ R } (C){ R 5} (D){ R 5 7} (E){ R 7 9} De acordo com o enunciado temos o seguinte sistema: + y 0 y 8 Da segunda equação 8 y Substituindo na primeira

12 Fazendo Assim z : z 0z ( 0) ± ( 0) 8 z z z z 5 7 z y y y y Sabendo que 7,7 concluímos que: ± 5 +,7 ± 7,7 ± 5,7 ±, Como e 9 só podemos concluir que. Questão 6 y 0 No sistema, a quantidade de soluções inteiras para e y é: y (A) 0 (B) (C) (D) (E) Infinita. Opção B Solução : Da primeira equação temos y Substituindo na segunda equação Se y 0 teremos O que nos dá infinitas soluções. Solução : Isolando y na segunda equação: y y y y y ± Substituindo cada uma dessas soluções na primeira teremos: ) y

13 Para 0 teremos infinitas soluções. ) y Para 0 teremos não há soluções. Observação: Embora o sistema possua infinitas soluções, para nenhuma delas teremos e y simultaneamente inteiros a não ser que ambos sejam nulos, o que não é possível. Basta observar a primeira equação. Opção A Questão 7 No conjunto dos números reais, qual será o conjunto-solução da inequação 88 0,5? 5 (A) R < < 5 (B) R 0 < 5 (C) R < < (D) R < 5 5 (E) R < Reescrevendo a inequação: A raiz do numerador é ( 8 ) e do denominador é zero. Fazendo um quadro de sinais: 5 Q

14 O que nos dá como solução Curso Mentor R 0 <. 5 Opção B Questão 8 Considere o sistema abaio, nas variáveis e y, sendo a e b reais. 75y 5y 75y + 5 5b y + + y a Nessas condições, qual será o valor de 6 (A) 6 a b (B) 8 6 a b (C) y? 6 a b (D) 6 a b (E) 6 a b Na primeira equação podemos colocar 5 em evidência: 5 5y 5y 5y b Simplificando a epressão e colocando em evidência agora o 5: 5 y y y + 5b Simplificando novamente e arrumando os termos teremos ( y) b (.6) Na segunda equação, podemos reescrever ( + y) a (.7) Do enunciado temos a epressão 6 y que pode ser escrita como sendo: ( y ) ( y) ( + y) 6 6 Substituindo as epressões (.6) e (.7) que encontramos por meio do sistema: Questão 9 6 y b a y a b y a b 6 Opção C Sejam p e q números reais positivos tais que +. Qual o valor mínimo do p q 00 produto pq? (A) 800 (B) 00 (C) 00 (D) 005 (E) 05 Desenvolvendo a epressão dada p + q pq 00 pq p + q (.8) 00 Sendo p e q as raízes de uma equação quadrática teremos a equação abaio: p + q + pq 0 Usando a epressão (.8):

15 Resolvendo pq + pq 0 00 pq pq ± pq Como p e q são as raízes desta equação e p e q são reais devemos ter: ( pq) ( pq) pq pq 00 pq pq pq Opção A Questão 0 No conjunto R dos números reais, qual será o conjunto-solução da equação +? (A)R R, (B) (C) R [,] (D) R {,} (E) R [,) Resolvendo esta equação encontramos ( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) Como o denominador não pode ser zero, temos e. Ecluindo-se estes dois valores, a epressão acima é válida para quaisquer valores de. Opção D 5