Nome: Calcule a probabilidade de que os dois alunos sorteados falem Inglês e. Análise Quantitativa e Lógica Discursiva - Prova B

Transcrição

1 1. Uma escola irá sortear duas pessoas dentre os seus 20 melhores alunos para representá-la em um encontro de estudantes no Canadá, país que possui dois idiomas oficiais, Inglês e Francês. Sabe-se que, nesse grupo, apenas dois alunos não falam nem Inglês nem Francês, sendo que 16 falam Inglês e 7 falam Francês. (a) Calcule a probabilidade de que os dois alunos sorteados falem Inglês e Francês. 1

2 (b) Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos dois alunos sorteados fale Francês. 2

3 2. Suponha que um determinado poliedro convexo tenha oito faces, sendo que cada face pode ser um triângulo, um quadrilátero ou um pentágono. (Dica: o Teorema de Euler estabelece que, num poliedro convexo, a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas mais dois.) (a) Sabendo que o poliedro em questão tem 8 vértices, determine o número de arestas deste poliedro. 3

4 (b) Sabendo também que há apenas uma face pentagonal neste poliedro, determine o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares deste poliedro. 4

5 3. As soluções da equação x 3 30x x 780 = 0 são três números inteiros distintos, que também são as medidas dos lados de um triângulo retângulo. (a) Mostre que, se a > b > c são as raízes, então (b + c) 2 = a 2 + 2bc. 5

6 (b) Determine a maior raiz da equação. 6

7 4. Sejam a < b < c dígitos escolhidos no conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. (a) Determine todas as possibilidades de escolha dos dígitos a, b e c que satisfazem a equação c = 2a + b. 7

8 (b) Determine a, b, c, considerando que a, b, c satisfazem a equação dada no item (a); a, b, c satisfazem a equação aab b a = a00c, em que aab é o número de três dígitos cujas centena e dezena são iguais a a e cuja unidade é igual a b; e a00c é o número de quatro dígitos cuja unidade de milhar é igual a a e cuja unidade é igual a c. 8

9 5. O administrador de um boliche pretende aumentar os ganhos com suas pistas. Atualmente, cobram-se R$56,00 por uma hora de utilização de uma pista e R$28,00 por meia-hora. Para analisar sua política de preços, o administrador percebeu que, cada vez que uma pista é ocupada por um grupo de usuários, após a saída do grupo, é necessário um tempo adicional para limpeza do espaço e organização das bolas. Este tempo é independente de o grupo ter ficado meia-hora ou uma hora inteira. Assim, o administrador decidiu estabelecer, inicialmente, o preço que de fato é cobrado por minuto de utilização de uma pista. Ele definiu este preço como sendo: p = valor recebido de um grupo que utilizou a pista total de minutos entre utilização pelo grupo e preparação da pista para o próximo grupo. (a) Supondo que o tempo atual de preparação da pista é de 10 minutos, calcule o preço por minuto de utilização de uma pista, conforme a fórmula dada acima, para os casos em que o grupo fica meia-hora e uma hora. 9

10 (b) O administrador decidiu estabelecer o mesmo preço p por minuto de pista para os casos em que o grupo fica meia-hora e uma hora. Além disso, resolveu melhorar o serviço de limpeza e preparação da pista para o próximo grupo, passando a incluir algumas bebidas e sanduíches de cortesia para o grupo que chega. Com isso o tempo aumentou de 10 minutos para t. Sabendo que os preços para meia-hora e uma hora passaram a ser R$50,00 e R$80,00, respectivamente, determine os valores de p e t. 10

11 6. Considere os números inteiros a e b e as matrizes quadradas a 0 b P = 5 b 3 e Q = 2P. 3 a 16 (a) Calcule, em função de a e b, o valor do determinante da matriz P. 11

12 (b) Prove que o determinante da matriz Q é divisível por 24, quaisquer que sejam os inteiros a e b. 12

13 7. A figura mostra, no plano cartesiano, as circunferências (λ 1 ) x 2 + y 2 = 1 e (λ 2 ) (x 13) 2 + y 2 = 36, e a reta r, que é tangente às duas circunferências. y r x λ 1 λ 2 (a) Calcule o coeficiente angular da reta s, que é paralela à reta r e passa pelo centro de λ 1. 13

14 (b) Determine uma equação da reta r. 14

15 8. Na figura, O 1 é centro da circunferência de raio R, e O 2 é centro do arco ÂB. O 2 A B R 60 o 60 o R O 1 Considere que os ângulos AÔ1O 2 e BÔ1O 2 medem 60 o. (a) Determine o raio da circunferência suporte do arco ÂB. 15

16 (b) Considerando R = 2, calcule a área da região sombreada. 16

17 Análise Quantitativa e Lógica Discursiva - Prova B 9. Na figura abaixo, tem-se que: os segmentos BD, CD, DE são congruentes e cada um mede 4cm; o ângulo C DE mede o dobro da medida do ângulo BÂC. o ponto C pertence à bissetriz do ângulo B DE D B A E C (a) Calcule a medida do segmento CE. 17

18 (b) Calcule a medida do segmento AC. (Dica: se precisar utilize a seguinte fórmula: cos(2α) = 1 2sen 2 (α).) 18

19 10. A comissão organizadora de um congresso deverá montar o horário das palestras conforme a disponibilidade dos oito palestrantes convidados. Ocorrerão duas palestras por dia, uma das 8h00min às 10h00min e outra das 10h30min às 12h30min, de 2 a a 5 a feira. A tabela a seguir mostra as disponibilidades de horário dos oito palestrantes convidados. Palestrante Sr. Alberto Sra. Beatriz Sr. Cláudio Sra. Denise Sr. Evandro Sra. Fabiana Sr. Gilberto Sra. Helena Disponibilidade 2 a, 3 a, 4 a ou 5 a, sempre das 8h00min às 10h00min 3 a ou 5 a, em qualquer dos dois horários 3 a, 4 a ou 5 a, sempre das 8h00min às 10h00min 4 a, em qualquer dos dois horários 2 a ou 4 a, em qualquer dos dois horários 2 a ou 5 a, sempre das 10h30min às 12h30min 2 a ou 5 a, sempre das 10h30min às 12h30min 3 a, 4 a ou 5 a, sempre das 8h00min às 10h00min (a) Complete a tabela abaixo, com o dia e o horário da palestra de cada convidado, de modo que todas as disponibilidades sejam respeitadas, e que: as palestras dos senhores Alberto e Beatriz, que tratam de assuntos relacionados, ocorram no mesmo dia; as palestras dos senhores Gilberto e Helena, que também tratam de assuntos relacionados, ocorram no mesmo dia. 8h00min às 10h00min 10h30min às 12h30min 2 a feira 3 a feira 4 a feira 5 a feira 19

20 (b) Uma semana antes do evento, alegando problemas pessoais, o sr. Evandro disse que só poderia ministrar sua palestra na 4 a feira das 10h30min às 12h30min. De quantas maneiras distintas o horário das palestras poderá ser montado respeitando todas as disponibilidades fornecidas e também a solicitação do sr. Evandro? Justifique sua resposta. (Neste item, não é necessário satisfazer as condições exigidas no item (a).) 20

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