1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo:

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1 Atividades Complementares 1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 4, cos 4 e tg 4. Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Medimos, com auxílio da régua, os lados do triângulo ABO. Temos: AB =,7 cm; AO = 3,0 cm; BO = 4,1 cm Assim, calculamos: sen 4 =,7 = O6' cos 4 = 3,0 = 0,7 4,1 4,1 tg 4 =,7 = 0,9 3,0. Sabendo que sen 36 = 0,58, cos 36 = 0,80 e tg 36 = 0,7, calcular o valor de x em cada figura.

2 a) A razão trigonométrica que deve ser aplicada é a do seno. Assim, temos: sen 36 = x 0,58 = x Logo, x = 5,8 cm b) A razão trigonométrica adequada é o cosseno. Assim, temos: cos 36 = x 0,80 = x 5 5 Logo, x = 4 m. c) A razão trigonométrica que relaciona o ângulo agudo (36 ), o cateto oposto (x) e o cateto adjacente (0) é a tangente. Então, calculamos: tg 36 = x 0,7 = x 0 0 Logo, x = 14,40 km, 3. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A na margem em que se encontra e um ponto B na margem oposta (conforme figura). A seguir, desloca-se 40 m perpendicularmente à reta AB até o ponto C e mede o ângulo ACB, obtendo 44. Qual é a largura do rio? (Dados: sen 44 = 0,69, cos 44 = 0,71 e tg 44 = 0,96.) No triângulo retângulo ABC, estão relacionados o ângulo agudo (44 ), o cateto oposto (l ) e o cateto adjacente (40 m). A razão trigonométrica que relaciona tais medidas é a da tangente. Logo, temos:

3 tg44 = l 0,96 = l l = 38, Assim, a largura do rio é de 38,4 m. 4. Determinar a medida x do arco da primeira volta positiva (0 x < 360 ) que tem a mesma extremidade do arco de Basta eliminarmos do arco de todas as suas voltas completas. Para isso, dividimos por 360 : Assim, = O arco de tem três voltas completas e mais 30. Portanto x = 30. Dizemos que 30 é côngruo a Determinar a medida x do arco da primeira volta positiva (0 x < π) que tem a mesma extremidade do arco de 15 π rad. Como no exercício anterior, vamos eliminar as voltas completas de 15 π rad. Para isso, vamos transformar esse arco numa soma de dois outros, tal que um deles seja o total de voltas completas contidas em 15 π rad. Isto é, 15 π = 1 π + 3 π x = 3 π rad.

4 cos 40 = -cos 60 = Calcular sen 330 e cos 330. A extremidade M do arco de 330 pertence ao 4º quadrante: Traçando por M a perpendicular ao eixo dos cossenos,obtemos o ponto P, correspondente de M no 1º quadrante, conforme figura abaixo. Os pontos M e P têm ordenadas opostas e abscissas iguais. Logo, temos sen 330 = -sen 30 = - 1 e cos 330 = cos 30 = 3 7. Sendo sen α = cos α e π < α < 3, determinar os valores de sen α e cos α.

5 sen α + cos² α = 1 (I) sen α = cos α (II) (II) em (I) => ( cos α ) + cos² α = 1.'. 4 cos² α. + cos² α = 1.'. 5 cos² α = 1 cos² α = 1 5 cos² α = ± 1 = ± Mas como π < α < 3 π, ιsto é, α é um arco do 3º quadrante, temos que: cos α = Fazendo cos α. = - 5 em (II), temos: 5 sen α = Determinar x na figura abaixo: Como o triângulo ADB é isósceles, BD = AD =. No triângulo retângulo BDC: tg 30 = BD 3 = x 3 x x = x = 3

6 9. Numa circunferência de 0 cm de diâmetro, marca-se um arco AB de 15 cm de comprimento. Qual a medida desse arco, em radiano? Se o diâmetro mede 0 cm, o raio mede 10 cm. Portanto: med(ab) = l rad r med(ab) = 15 cm rad = 1,5 rad 10 cm Resposta: 1,5 rad. 10. Quanto mede, em radianos, um arco de 60? π rad 60 x x = 60. π rad = π rad Resposta: π rad Dado um arco trigonométrico de 0, encontrar os seus correspondentes nos demais quadrantes. Como 0 está no I quadrante, tem-se: 1. Dado um arco trigonométrico de π rad encontrar os seus correspondentes nos demais quadrantes. 7

7 Como π rad está no I quadrante, tem-se: Obter os valores de sen 315 e cos 315. O arco de 315 corresponde, no primeiro quadrante, ao arco de 45. Assim: 14.Resolver, no intervalo 0 x < π, a equação: cos²x - sen x - 1 = 0 Como cos²x = 1- sen² x, tem-se: (1 - sen² x) - sen x - 1 = 0 - sen² x - sen x - 1 = 0(-1) sen² x + sen x - 1 = 0 = 1² (-1) = 9 sen = -1 ± 3 4 sen = 1 ou sen x = -1 Na circunferência trigonométrica:

8 15. (MODELO ENEM) - Durante um vendaval, um poste de iluminação quebrou-se em um ponto à certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 4 m da base dele e formando um ângulo de 50 com o solo. Determinar a altura do poste. Dados: sen 50 = 0,77, cos 50 = 0,64 e tg 50 = 1,0. A partir do enunciado e da figura ao lado, temos: tg 50 = x 1,0 = x x = 4,8 m 4 4 cos 50 = 4 0,64 = 4 y = 6,5 m y y A altura do poste será: H = x + y = 4,8 + 6,5 = 11,05 m 16. (MODELO ENEM) - Um avião levanta voo de um aeroporto A e sobe, fazendo

9 um ângulo constante de 15 com a horizontal. Determinar a altura e qual a distância percorrida aproximadamente (em metros), quando passar por um prédio situado a quilômetros do ponto de partida. São dados: sen 15 = 0,6 e tg 15 = 0,7. Temos o seguinte triângulo retângulo: a) Cálculo da altura (em relação ao solo): tg 15 = h 0,7 = h h = 540 m b) Cálculo da distância percorrida: sen 15 = h 0,6 = 540 d = 540 d = 077 m d d 0,6 17. (MODELO ENEM) - Uma prefeitura pretende asfaltar um caminho, em uma região plana, desde um ponto inicial P até um monumento de 30 metros de altura, a custo de R$ 50,00 o metro quadrado. Do ponto P ao topo do monumento foi determinado por um ângulo de inclinação θ, com o plano desse caminho. Sabendo que sen θ = 3, cos θ = 4, e que o caminho deve ter metros de largura, calcular o valor 5 5

10 do menor custo dessa obra. O menor custo da obra será obtido quando do ponto inicial P ao monumento, o caminho for representado por um segmento de reta, conforme figura abaixo. Sendo sen θ = 3 e cos θ = 4, temos: tg θ = 5 = Portanto, na figura temos: tg 3 = 30 x = 40 m. 4 x O custo da obra, com m de largura e R$ 50,00 o metro quadrado, resulta: C =.40. R$ 50,00 = R$ 4 000, (MODELO ENEM) - Um volume é lançado de um avião que está a 3 km de altitude. Devido à velocidade do avião e à ação do vento, o volume cai, seguindo uma reta que forma um ângulo de 5 com a vertical. Que distância aproximadamente, medida no solo, esse volume percorreu? Dado: sen 5 = 0,4 tg 5 = d d = 3. tg 5 Se sen 5 = 0,4 e sen 5 + cos 5 = 1,

11 então, cos 5 = 1 - sen 5 = 1 - (0,4) = 0,91 Logo: tg 5 = sen 5 = 0,4 = 0,46 cos 5 0,91 Então, d = 3. 0,46 d = 1,38 km