UNICAMP Você na elite das universidades! MATEMÁTICA ELITE SEGUNDA FASE

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1 Fone: (19) -71 O ELITE RESOLVE IME 004 PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! UNICAMP 004 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA

2 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA MATEMÁTICA 1. Em uma sala há uma lâmpada, uma televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lâmpada equivale a / do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia será de 1,05 quilowatts por hora [kwh]. Pergunta-se: a) Se um kwh custa R$0,40, qual será o custo para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 0 dias? b) Qual é o consumo, em kwh, da TV? a) Como os aparelhos são utilizados 4 horas por dia durante 0 dias, temos um total de 10 horas acumuladas durante o período. O consumo total é então de: E consumida = 1,05 10 E consumida = 16 [kwh] Logo, o custo total será: Custo = E consumida 0,40 Custo = 16 0,40 Custo = R$ 50,40 b) Chamando de L, T e A, o consumo da lâmpada, da televisão e do ar-condicionado, respectivamente, temos o seguinte sistema: L = T A = 10 T L + T + A = 1,05 Resolvendo o sistema acima, temos que: A = 0,9 [kwh], L = 0,06 [kwh] e T = 0,09 [kwh]. Assim, o consumo da televisão é de 0,09 [kwh].. Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 1, deixa resto r N e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto r. a) Qual é o maior valor possível para o número natural r? b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D. a) Pelo enunciado, podemos montar as seguintes equações: D = 1 q + r (I) D = 17 q + r (II) Como o resto deve ser menor do que o divisor, temos que: 0 r 0 e 0 r 16 Assim, o maior valor que r pode assumir é 8. b) Para: q = 4 e q = 7 Substituindo nas equações (I) e (II) e igualando-as: r = r r = 5 e D = 19.. Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: 1

3 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. a) Como: b) Sabemos que: P (triângulo) = P (hexágono) L T = 6 L H L T = L H = 1,5 L T =,0 cm A triangulo eqüilátero = A hexágono regular = Temos então que a razão entre as áreas é: (1,5) A hexágono = A triângulo () 4 L T L H 4 A A hexágono = triângulo 4. Sejam a e b números inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferença entre a e b com o dobro do produto de a por b. a) Calcule N(, 9). b) Calcule N(a, a) e diga qual é o algarismo final de N(a, a) para qualquer a Z. Do enunciado temos: N(a,b) = (a b) + ab = a + b. a) Podemos calcular então: N(,9) = + 9 N(,9) = 90 b) Temos: N(a, a) = a + (a) N(a, a) = 10a Logo, como 10a é múltiplo de 10, para todo a inteiro, o algarismo final de N(a, a) é Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a 4 cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm. a) Calcule a área do triângulo eqüilátero. b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo. a) Sendo o triângulo eqüilátero com perímetro 4 cm, temos que o seu lado mede: L = 4 / L = 8 cm Para calcular a sua área temos: L A triangulo eqüilátero = A = 16 cm. 4 b) Para o triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c: c = 8 cm b = x

4 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA a = 4 8 x a = (16 x) cm Utilizando o teorema de Pitágoras: (16 x) = x + 8 x = 6 cm Como o triângulo é retângulo, sua hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita; logo, seu raio mede: r = a / r = 5 cm 6. Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 6,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 1,5 minutos. Calcule: a) O número total de questões da referida prova. b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. a) Como o aluno gasta para cada questão o dobro de tempo que a questão anterior, os tempos gastos para responder cada questão formam uma PG de razão. Definindo como n o número de questões da prova, podemos montar o seguinte sistema: n-1 a1( q 1) Sn-1 = q -1 n-1 an = a1 q Para responder a penúltima questão o tempo gasto pelo aluno é: S n-1 S n- = a n-1 = 6,5 1,5 = Logo, para responder a última questão: a n = q a n-1 = = 64 Podemos resolver então: n-1 a1( 1) 6,5 = 1 n-1 64 = a1 Substituindo, resulta: 6,5 = 64 a 1 a 1 = ½ Assim: n-1 an = a1 q 64 = ½ n-1 n = 8 b) O tempo gasto é de 6, = 17,5 min. 7. A função L(x) = ae bx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a metros de distância recebe 0 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. a) Do enunciado temos as seguintes relações: L(1) = 60 e L() = 0 Assim, podemos montar o seguinte sistema:

5 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA b 60 = a e (I) b 0 = a e (II) Dividindo (I) por (II), temos: = e b e b = ½ b = ln ½ = - ln Substituindo b na equação (I): 60 = a ½ a = 10 b) Do enunciado e utilizando os valores das constantes a e b, calculados acima: L(x) = 15 = 10 -x Logo: x = 1/8 x = metros. 8. Dada a equação polinomial com coeficientes reais x 5x + 9x a = 0: a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo + i seja uma das raízes da referida equação. b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação. Seja p(x) = x 5x + 9x a = 0. a) Como + i é raiz: p( + i) = 0 ( + i) 5 ( + i) + 9 ( + i) a = i 15 0i i a = 0 a = 5 b) Pelo teorema das raízes complexas, i também é raiz, e portanto, temos duas das três raízes. Para achar a outra raiz, que é real, vamos usar o teorema de Girard: x 1 + x + x = 5 x = 1 9. Considere o conjunto dos dígitos {1,,,..., 9} e forme com eles números de nove algarismos distintos. a) Quantos desses números são pares? b) Escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos? a) Como termina por um algarismo par, para o ultimo algarismo temos 4 possibilidades, restando para as outras 8 casa a permutação dos 8 algarismos restantes, logo: Total de possibilidades = 4 8! b) Como exatamente impares devem estar juntos e o número é par, podemos ter as seguintes possibilidades: I I P I P I P I P, I P I I P I P I P, I P I P I I P I P ou I P I P I P I I P Para cada uma dessas possibilidades, basta permutar entre si os algarismos pares e os ímpares. Logo temos: Combinações = 4 4! 5! A probabilidade é dada então por: Combinações 4 4! 5! 1 Probabilidade = = Probabilidade = Total de possibilidades 4 8! Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y=1/x, x>0. As abcissas de A, B e C são iguais a, e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. 4

6 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA a) Do enunciado: x A =, x B = e x C = 4 Substituindo na função y=1/x: y A = 1/, y B = 1/ e y C = 1/4 A(,1/), B(,1/) e C(4,1/4) Como o segmento AB é paralelo ao segmento CD, as retas suportes destes segmentos são paralelas, logo: 1/ 1/ 1/4 1/x m AB = m CD = x 11x + 1 = 0 4 x x = 4 (não convém) ou x = /; Portanto: D(/, /) b) Os pontos médios de AB e CD são M(, ) e N(, ), respectivamente. Logo, o coeficiente da reta que passa por esses pontos é: A reta que passa por esses pontos é: Logo, a reta passa pela origem. y m = = = x - x = 6y Dado o sistema linear homogêneo: [ cos ( α) + sen( α) ] x + [ sen( α) ] y = 0 [ cos ( α) ] x + [ cos( α) - sen( α) ] y = 0 a) Encontre os valores de α para os quais esse sistema admite solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0. b) Para o valor de α encontrado no item (a) que está no intervalo [0,π/], encontre uma solução não-trivial do sistema. a) Para que o sistema tenha solução não- trivial, o determinante dos coeficientes deve ser nulo, logo: cosα + senα senα D = = 0 cosα cosα senα cos α sen α = senα cosα cosα = senα π α = kπ 4 + α = π kπ +, k Z. 8 b) O valor de α que está no primeiro quadrante é 8 π. Isolando x na primeira equação temos a seguinte relação: Para α = 8 π, temos: x = senα y cosα senα 5

7 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA Uma solução para essa equação é fazer: x = y = 1 x = π tg y 8 π tg 8 1. O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1,, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. a) Calcule o raio R da circunferência. b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm. a) De acordo com o enunciado podemos construir a seguinte figura: Onde: AB = 1, BC =, CD = 4 e AD = 6 Seja: AC = d, A BC ˆ = x e ADC ˆ o = x a) Aplicando a lei dos co-senos nos triângulos ABC e ADC, temos: o d = cos(180 - x ) (I) d = cos x (II) Igualando as equações (I) e (II), e usando que cos(180º - x ) = cos x, temos que: 7 cos x = 9 Logo: sen x = 1 cos x sen x =. 9 Substituindo cos x em (I), temos que: 1 d = AC = Sendo R o raio da circunferência, pela lei dos senos, temos: 1 AC 9 66 = R = R R = sen x 8 9 b) Para o volume do cone temos: π R H V cone = V cone π. = V cone 495π = cm 6

8 Fone: (19) O ELITE RESOLVE UNICAMP SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA 100% de aprovação na primeira fase da Unicamp 004 (Turma Exatas)! 7