CICLO TRIGONOMÉTRICO

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1 TRIGONOMETRIA

2 CICLO TRIGONOMÉTRICO

3 DEFINIÇÃO O Círculo Trigonométrico ou ciclo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização das proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam.

4 Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

5 O radiano (símbolo: rad ) é a razão entre o comprimento de um arco e o seu raio. Ele é a unidade padrão de medida angular utilizada em muitas áreas da matemática Relação Principal: π rad = 180

6 Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco.

7 Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil. A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições: 0 α < 360 ou 0 α < 2π. Resumindo: NÃO IMPORTA QUANTAS VOLTAS SÃO DADAS, MAS SIM ONDE ELA PARA.

8 Exemplo Considerando o arco α = 2100, qual será a sua determinação principal.

9 Exemplo Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:

10 TRANSFORMAÇÕES: RADIANOS GRAUS Quando medimos o ângulo de um arco utilizamos como unidade o grau ou o radiano. Temos que 1 (um grau) possui 60 (sessenta minutos) e 1 (um minuto) possui 60 (sessenta segundos). Uma circunferência possui 360 arcos de abertura igual a 1.

11 TRANSFORMAÇÕES: RADIANOS GRAUS Α tabela a seguir mostra algumas relações entre as unidades em graus e radianos:

12 1. Localize no ciclo trigonométrico os arcos 45,, 210,330, e.

13 2.Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é.

14 3. Se um ângulo mede 40, então sua medida em radianos vale:

15 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

16 DEFINIÇÃO A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis. As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.

17 PRINCIPAIS RELAÇÕES O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se senθ como sendo a razão entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Dessa mesma forma o cosseno, definido como cos θ é a razão entre o cateto adjacente a e a hipotenusa. Para completar temos a tangente, tg θ, que é a razão entre os catetos oposto e adjacente.

18 PRINCIPAIS RELAÇÕES Assim: DICA: SOH CAH TOA

19 VISUALIZAÇÃO NO CILCLO Vale lembrar que -1< sen x < 1, -1< cos x < 1 e - tgx + NÃO ESQUECER : sen² x + cos² x = 1, para todo x.

20 VISUALIZAÇÃO NO CICLO Além disso é importante sabermos os valores dos ângulos notáveis. IMPORTANTE: Use Sempre Tua Cabeça!!!!!

21 2m Sendo sen x = e 0 < x < 2p o menor valor inteiro de m é: 6 a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

22 5. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer metros, a altura atingida pelo avião é.

23 6. Durante as comemorações da aprovação de um aluno no concurso da Secretaria de Fazenda, um foguete foi lançado sob um ângulo de 45 º. Num certo instante a altura dele é de 500 m, logo a distancia percorrida por ele, em linha reta, é de.

24 7. Um funcionário da Secretaria de Fazenda observa o topo do seu edifício de trabalho sob um ângulo constante de 20 com a horizontal. Se a distância desse funcionario ao prédio é de 200 metros, a altura do prédio é de aproximadamente. (Utilize: sen 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364) a) 68,4 m. b) 72,8 m c) 128,0 m d) 188,0 m e) 200,0m

25 8. A Jeronimo Coelho e a rua Duque de Caxias, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30. A sede da Casa do Concurseiro encontra-se na avenida Jerônimo Coelho à 900 m do citado cruzamento. Portanto, em metros, a distância da sede da Casa do Concurseiro à Duque de Caxias é de. a) 300 m b) 450 m. c) 450 m. d) 600 m e) 900 m.

26 9. Sendo x um número real, o menor e o maior valor possíveis 42 da expressão são, respectivamente, 5-2. sen( 10x) a) 6 e 14. b) 21 e 42/5. c) 14/5 e 42/25. d) 42 e 42. e) 14 e 6.

27 Sendo cos x = e x Î p ; o valor de tg x é: 2 ép ê, ë 2 ù ú û

28 OUTRAS RELAÇÕES ØCOTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE As razões trigonométricas vistas anteriormente possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e cotangente. Assim:

29 11. Sabendo-se que cotg x =1/2 e 0 < x < p, pode-se afirmar que o valor de sen x é 2

30 REDUÇÃO de ARCOS

31 DEFINIÇÃO Reduzir um ângulo ao 1.º quadrante consiste em determinar um ângulo positivo do 1.º quadrante, cujas razões trigonométricas tenham, em valor absoluto, valores iguais às do ângulo dado. Sendo assim basta descobrir o ângulo formado com a horizontal (eixo x) que garante o valor e o sinal vira do quadrante, relembrando o Use Sempre Tua Cabeça.

32 PRINCIPAIS FAMÍLIAS

33 PRINCIPAIS FAMÍLIAS Assim temos : Sen 135 = +, pois é da família do 45 (garante o valor) e do 2 quadrante (garante o sinal); Tg 300 = -, pois é da família do 60 (garante o valor) e do 4 quadrante (garante o sinal); Cos 210 = -, pois é da família do 30 (garante o valor) e do 3 quadrante (garante o sinal).

34 Exemplo Calcular: a) sen(405 )

35 Exemplo Calcular: b) cos(-150 )

36 Exemplo Calcular: c) tg(19π/3)

37 Exemplo Calcular: d) sen²(735 ) + cos²(735 )

38 12. A expressão 3.tg p - 5.sen + 2.cos 3p é igual a a) -2 2 p b) -1 4.sen - 7.cos 0 2 c) 0 d) 1 e) 2 3p

39 13. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? a) sen 210 < cos 210 < tg 210 b) cos 210 < sen 210 < tg 210 c) tg 210 < sen 210 < cos 210 d) tg 210 < cos 210 < sen 210 e) sen 210 < tg 210 < cos 210

40 OPERAÇÕES com ARCOS

41 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte propriedade : cos (x + y) = cos x + cos y.

42 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Para isso temos as seguintes fórmulas: sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa sen(a-b) = sena.cosb senb.cosa cos(a+b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb

43 Exemplo Calcular cos75

44 ARCOS DUPLOS Vamos obter a expressão que determina o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo.considere um arco α qualquer. Segue que:

45 14. A expressão cos (3 p /2 + x) é equivalente a a) -sen x b) -cos x c) sen x.cos x d) cos x e) sen x