2º ANO MATEMÁTICA E.E.E.M. Parte um... Pitágoras Razões trigonométricas Trigonometria Relações trigonométricas Funções trigonométricas NOME COMPLETO:

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1 E.E.E.M. Parte um... Pitágoras Razões trigonométricas Trigonometria Relações trigonométricas Funções trigonométricas 2º ANO MATEMÁTICA NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: PROFESSORA: 1

2 TRIGONOMETRIA - PARTE 1 Encontrar caminhos matemáticos para a resolução de problemas de astronomia, agrimensura, navegação e construção sempre despertou o interesse humano. Desse tipo de especulação nasceu a Trigonometria, parte da matemática que se dedica ao estudo das relações entre as medidas dos lados e ângulos de um triângulo. O grego Aristarco de Samos ( a.c), considerado por muitos o primeiro grande astrônomo da história, fez uso das ideais da Trigonometria ao estabelecer um método geométrico para investigar a razão entre distancias Terra-Sol e Terra-Lua. INTRODUÇÃO maneiras: Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas 2

3 TRIÂNGULO RETÂNGULO Em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras (Hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2. (a) 2 = (b) 2 + (c) 2. Exemplos debatido no quadro: 1) Encontre o valor de x: a) x b) 10 2x x c) 3

4 2) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura. Qual o comprimento da escada que está encostada na parte superior do prédio? 3) Um fio de aço será esticado do topo de uma torre até o da outra. Quantos metros de fio serão necessários? Exercícios para fazer: 1) Calcule o valor de x nos triângulos retângulos: 4

5 2) Descubra o valor de x: 3) Qual a distância em centímetros percorrida pela bolinha de tênis? 5

6 4) A figura mostra uma antena retransmissora com 72 m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aço que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. Qual a quantidade, aproximada de cabo, em metros, gasta para sustentar a antena? 5) Pedro quer construir um portão retangular que tem 1,5 m de altura e na diagonal terá uma tábua para fazer um reforço de 2,5 metros. Qual a medida do comprimento deste portão que Pedro pretende construir? 6) Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura do tronco da árvore que restou em pé é de 3 m, e a ponta da parte quebrada está a 4 m da base da árvore, qual é a medida da outra parte quebrada da árvore? 7) O esquema abaixo representa o projeto de uma escada de 5 degraus com mesma altura. Qual é o comprimento em metros de todo o corrimão? 6

7 Razões trigonométricas Atividade prática realizada no quadro: Trace com o auxílio de um transferidor, um triângulo que tenha um ângulo interno de 30º. Chame a hipotenusa desse triangulo de AB, o cateto oposto ao ângulo de 30º de BC e o cateto adjacente a esse ângulo de AC. Exemplo: Desenhe o seu triângulo, mas faça com cuidado marque com cuidado o ângulo A (30º) e verifique o ângulo C é formado por um ângulo reto (90º) B A 30º C Com a régua meça os lados desse triângulo e anote abaixo o valor de cada segmento. AB= AC= e CB= Calcule a razão entre os lados, isto é realize a divisão: AC AB BC AB AC BC 7

8 Usando a semelhança de triângulos, verifica-se que essas razões não dependem das medidas dos lados. A essas razões dá-se o nome de seno, cosseno e tangente. Em relação ao ângulo de 30º tem-se: BC AB = cateto oposto hipotenusa = sen x AC AB = cateto adjacente hipotenusa = cos x BC AC = cateto oposto = tg x cateto adjacente Resumindo para calcular: sen x = cateto oposto hipotenusa = CO H cos x = cateto adjacente hipotenusa = CA H tg x = cateto oposto = CO cateto adjacente CA Referente os ângulos temos os valores abaixo: Para efeito de cálculo utilizar: Para finalizar os resultados dos problemas use: 2 = 1,41 e 3 = 1,73 8

9 Exemplos: 1) Determine o valor do ângulo : a) s en x b) tg x c) cos x 2) Um foguete é lançado de uma rampa situado sob um angulo de 60. A altura que o foguete está do solo ao percorrer 12km, valê: 3) Jorginho tem 1, 50 cm em um dia de sol estava empinando pipa. Quando ele soltou os 50m de linha, o vento estava tão forte que a linha ficou inclinada 60 em relação ao solo. Nesse momento qual a altura da pipa? 9

10 4) Encontre x e y na figura abaixo: Exercícios: 1) Desafio: (r: 360m) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura abaixo. Pergunta-se: se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegara a um ponto B, onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo 60º. Quantos metros ela deverá se aastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30º? 10

11 2) Ao calcular a distância entre as margens de um rio (segmento BC), um topógrafo fez o seguinte esquema. Com base nas medições realizadas por esse topógrafo, qual é a largura nesse trecho do rio? 3) Por segurança, vai ser necessário ligar a ponta de um poste de 12m de altura a um gancho no chão. Quando esticado, o cabo deverá fazer ângulo de 45 com o chão. Qual é o comprimento do cabo? A que distância do poste está o gancho? 4) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura. A altura H, em metros, atingida pela pessoa ao chegar ao segundo pavimento é: 11

12 5) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30 (supondo que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é? 6) Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está 30 acima da horizonte. 7) Determinar o valor de x. 12

13 8) Qual o perímetro do retângulo. Obs: perímetro é a soma de todos os lados 9) Um ajudante de pedreiro estava descarregando areia de um caminhão através de uma rampa de madeira apoiada à caçamba. Se a rampa tem 3 m de comprimento e forma com o solo um ângulo de 30, qual é a altura entre a caçamba e o solo, representado por h? 10) Parte de uma pista de skate é constituída por uma rampa com 2 2 metros de comprimento e 45º de inclinação. Qual é a altura dessa rampa? 13

14 Exercícios extra: 1) Determinar a medida dos segmentos indicados nas figuras: a) b) c) d) e) f) 2) A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um ângulo, como mostra a figura. Determine a altura h da torre se = 30º. 3) Observe a figura e determine: a) Qual é o comprimento da rampa? b) Qual é a distância do início da rampa ao barranco? 4) Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida a partir do solo horizontal. Dado 3 = 1,73 14

15 5) Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o sol está 30º acima do horizonte? Dado 3 = 1,73 6) Determine a altura do prédio da figura seguinte: 7) Sabendo que sen 40º = 0,64; cós 40º = 0,77 e tg40º = 0,84 calcule as medidas x e y indicadas no triângulo retângulo. 8) Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas. 9) A diagonal de um quadrado mede 6 2 cm, conforme nos mostra a figura. Nessas condições, qual é o perímetro desse quadrado? 10) Um recipiente com forma de bloco retangular, com 18 cm de altura, foi tombado como mostra a figura. Determine a altura aproximada h entre o solo e o nível da água contida no recipiente tombado. 15

16 TRIGONOMETRIA NO CIRCULO CONCEITOS BÁSICOS ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA Consideremos um móvel descrevendo a trajetória circular indicada na figura. Suponhamos que o móvel parta do ponto A e chegue até o ponto B percorrendo a circunferência no sentido anti-horário. Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Tanto a parte I como a parte II são chamadas de arcos de circunferência. Se A coincide com B, diz-se que temos o arco (I) e o arco de volta (II). Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida. 1. UNIDADES PARA MEDIR ARCOS Para medir arcos e ângulos, utilizaremos o grau e o radiano. Grau Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual circunferência que contém o arco.então, podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede da Radiano O radiano (símbolo: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco igual ao raio da circunferência que contém o arco. Sabemos em Geometria que a medida C do comprimento da circunferência (AB) é dada por: C=2 r onde r= raio (medida do centro da circunferência até uma das extremidades). Então para r = 1 rad, podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 2 rad. 16

17 360 = 2 π rad 90 = π/2 rad 180 = π rad 270 = π + π/2= 3π/2 rad Relação entre graus e radianos Dizemos que uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se são medidas de um mesmo arco;essa equivalência nos permite transformar medidas em radianos em graus e viceversa. Para tanto usamos a relação: 180 rad Vejamos alguns exemplos. 1 exemplo: Expressar 300 em rad. 2 exemplo: Expressar 4 rad em graus. Comprimento da circunferência: Para calcular o comprimento de uma circunferência usamos: C=2 r 1º exemplo: Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 5cm. Usar =3,14 (para efeito de cálculo). 2º exemplo: Qual o tamanho de meia circunferência, sabendo que seu diâmetro é 12 cm. 17

18 3º exemplo: Qual o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência de 8cm de raio? Relação entre ângulo e os ponteiros do relógio Observe os relógios: Primeiro vamos pensar: 1 circunferência tem 360, logo se pensarmos no relógio essa circunferência está dividida em 12 partes (360 : 12= 30 ). Sempre que o ponteiro dos minutos se desloca 60 mim, o ponteiro das horas desloca 30. Qual o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e dos minutos às: a) 12h e 45 mim Pensando nos ponteiros: entre 12 e o 45 (9) temos 3h logo: = 90 Pensando nos minutos: 45/ =0, =22,5 Assim: ,5 = 112,5 ou b) 14h e 25 mim Pensando nos ponteiros: entre 14 e o 25 (3) temos 3h logo: = 90 Pensando nos minutos: 25/ =0, =12,5 Assim: 90-12,5 = 77,50 Existe também uma formula para calcular o ângulo formado o= 30. H 5,5. mim Exemplo usando a fórmula: a) 12h 45 mim o= 30. H 5,5. mim ,5. 45 = ,5 = 112,5 18

19 b) 14h e 20 mim atenção 14h é o mesmo 2h o= 30. H 5,5. mim ,5. 25 = ,5 = 77,5 Atenção: caso você utilize 14h o= 30. H 5,5. mim ,5. 25 = ,5 = 282,5 (cuidado ele calculou o ângulo maior assim, pra saber o menor descontar 360 ( ,5= 77,5 Exercícios: 1. Determine a medida, em radiano, dos arco: a) 20º b)36º c)90º d)180º e)200º f)270º 2. Transforme em graus: a) 3 rad b) 4 3 rad c) 96 rad d) 2 3 rad e) 3 rad f) 6 rad 3. Resolva os problemas abaixo: a) Um atleta corria em uma pista circular de 48m de raio. Quando faltava a quarta parte para completar a primeira volta, ele teve de interromper a corrida. Quantos metros aproximadamente ele percorreu? b) Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 4cm? c) Qual o comprimento do arco AB de 50º de uma circunferência de 2cm de raio? d) Qual o comprimento de uma circunferência que possui diâmetro 10 cm? e) Fernando correu a terça parte de uma pista circular, sabendo que a pista tem um raio de 10 metros, qual o comprimento percorrido por ele? f) Um arco AB de 80 está sobre uma circunferência de 10m de raio. Qual o comprimento deste arco? 4. Determine o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e dos minutos às: a)1h e 40 mim b)9h c)2h e 30m d)15h e 35 mim e)9h e 30 mim f)13h e 20 mim g)11h e 15 mim h)16h e 20 mim 19

20 O ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica: É uma circunferência de raio unitário, cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano. Por convenção escolhemos o sentido anti-horário como sendo positivo e consequentemente o horário para o negativo. Observe os arcos abaixo: Arcos côngruos: são arcos de mesma origem e mesma extremidade. Por exemplo: a) 390 e 30 são arcos côngruos 20

21 b) π 6 rad e 13π 6 rad são arcos côngruos 13π 6 = 12π 6 + π 6 = 1 volta + π 6 Marque o arco no ciclo trigonométrico Determinação positiva de um arco e/ou negativa: Sendo: 1225º de a primeira determinação positiva e negativa. A 1º determinação positiva é 145º e a determinação negativa é -215º 145º -360º = -215º (é o que falta para 360 ) Sendo 42º a determinação 1ª determinação positiva encontre a negativa 42º é um arco que está no 1º determinação, já a determinação negativa é -318º. Pois 42º - 360º= -318 (é o que falta para 360 ) 21

22 Agora você: Encontre a 1º determinação positiva e negativa dos arcos abaixo: a) 1140 b) 17π 3 Exercícios: 1. De a 1º determinação positiva e negativa dos arcos abaixo: a) b) c) 410º d) -320º e) f) g) h) 52π 3 rad 47π 3 rad 12π 5 rad 10π 4 rad 2. Desenhe um ciclo trigonométrico e localize cada um dos arco no ciclo trigonométrico e determine em qual o quadrante eles se encontram: a) 135 b) c) 180º d) 210 e) 300 f) 270º 22

23 Extras revisão: 1) Uma circunferência tem 20 cm de raio. Qual o comprimento de um arco de 72º? 2) Uma circunferência tem diâmetro de 20 cm. Qual o comprimento dela? 3) Qual o comprimento do arco AB de 30º de uma circunferência de 3cm de raio? 4) Uma pessoa corre numa pista circular de16 metros de diâmetro, quando faltava a 5 parte para acabar o percurso ele desistiu da prova. Quantos metros faltou para completar a prova? 5) Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos. a) 3 4 b) 7 6 c) 6 d) 16 3 e) 1 rad f) 2 3 6) Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. a) 30º b) 300º c) 1080º d) 135º e) 330º f) 20º g) 150º g) 7 4 7) De a determinação postiva e negativa dos arcos abaixo: a) 210º b) -220º c) 14π 2 rad d) 14π 6 rad Ciclo trigonométrico 23

24 Projeções no ciclo trigonométrico: seno e cosseno e o sinal do quadrante Não esqueca que: Seno é projetado no eixo y Cosseno é projetado no eixo x Localizando arcos de 45 ºao longo do ciclo trigonométrico e depois os de 30º 24

25 Após ter construido o ciclo trigonométrico com os arcos notáveis vamos determinar o valor do seno e cosseno de alguns: Complete o quadro abaixo: Arco Valor do seno Valor cosseno Arco Valor seno Valor cosseno O

26 Redução para o primeiro quadrante 2º para 1º quadrante: 3º para o 1º quadrante: 4º para o 1º quadrante Primeiro: não esqueça de verificar o sinal da função. Dica: Cuidado!!!! 2º para 1º = quanto falta de 180 3º para 1º= quanto passa de 180 4º para 1º= quanto falta

27 Exemplos: Reduza para o 1 quadrante os arcos e de o valor do seno e cosseno: Sabendo que: a)150 b) 210 c)

28 Outras projeções importantes: Relações trigonométricas Exemplos: Dado os ângulos abaixo, determine tangente, cotangente, secante e cossecantes, caso não esteja no primeiro quadrante faça a redução: a) 30º 28

29 b) 90º c) 135º d) 300º 29

30 Exemplos dois: Resolva as expressões abaixo: a) 2. sen 45º - cos 135º + sen 315º= b) sen π cos 3π cos π 2 = tg π 4 = c) 3. cotg 30º - cossec 240º = 30

31 Exercícios para fazer no caderno: 1) Em que quadrante temos simultaneamente: a) sen x < 0 e cos x < 0; b) sen x > 0 e cos x > 0; c) sen x < 0 e cos x > 0. 2) Assinale a alternativa correta: a) sen 300 < sen 230 < sen 200 b) sen 230 < sen 300 < sen 200 c) sen 230 < sen 200 < sen 300 d) sen 200 < sen 230 < sen 300 e) sen 300 < sen 200 < sen 230 3) Enumere a primeira coluna com a segunda: a) cotg 180 ( ) 0 b) cotg 270 ( ) -1 c) cossec 270 ( ) 1 d) sec 360 ( ) 4) Calcule o que se pede: a) tg 90º b)cossec 90º c)cotg 360º d) sec 180º e) tg 150º f) sec 120º Resolva e marque a resposta correta: 5) O valor de cossec π e sec vale: a) b) 0 c) 1 d) -1 e) 1 2 6) O valor de sen 30 - cos 60 é: a) 0 b) 1 c) d) e) ) O valor de 2 sen cos cos 135 é: a) 1 2 b) 0 c) 1 2 d) 1 4 e) 1 31

32 8) O valor da expressão 2 cos sen cos 360 tg 135 é: a) 11 b) 10 c) 1 d) 3 e) 7 9) Obtenha o valor x é: x = sen 20 - sen cos 44 + cos 136 a) 1 2 b) 0 c) 1 d) 1 4 e) 1 10) 3. sec tg cotg 45 = a) 2 b) 0 c) 1 d) 4 e) 1 11) -2. tg cotg tg 360 = a) 2 b) 0 c) 3 d) e) ) 3. sec cossec 300 = a) 0 b) 1 c) d) e) ) O valor de cossec 300 é: sec a) b) c) 3 d) - 3 e) ) O valor de 2. tg cotg 135 a) 0 b) 5 c) -1 d) 1 e) -5 15) cos π sen 2 + cos 3 - sen 2π é: 2 a) -2 b) 2 c) -1 d) 1 e) 0 32

33 Relação fundamental da trigonometria: Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do teorema de Pitágoras: (1) 2 = (senθ) 2 + (cosθ) 2 sen² Ө + cos² Ө = 1 Relação fundamental e outras relações: sen² α + cos² α=1 sec² α= 1+tg² α cossec² α = cotg² α +1 Exemplos: 1) Considere sen x= 1 4, com π < x < 3π 2, determine cosseno de x. 33

34 2) Sendo tg x= 3, com π < x < 3π, vamos achar sec x : 2 Exercícios: (fazer no caderno) 1) Considere sen x= 1 3, com π 2 < x < π, determine tg x: 2) Sabe-se que é a medida de um arco de 2 quadrante e que tg = Calcular sen e cos. 5 3) Sabendo que cossec x = e que x pertence ao 1 Quadrante, determine tg x. 4) Sabendo que cos = 4 5 e que 3π 2 < < 2π, calcular: a)sen b)tg c) sec d)cossec e) cotg 34

35 Funções trigonométricas: a) b) 35

36 c) d) 36

37 Outras funções e) f) 37

38 g) h) 38