Olá! Brunna e Fernanda. Matemática. Somos do PET Engenharia Ambiental

Transcrição

1 Trigonometria

2 Olá! Brunna e Fernanda Somos do PET Engenharia Ambiental Matemática

3 Vamos pensar + Considere cinco circunferências concêntricas de raios diferentes e um mesmo ângulo central subtendendo arcos em todas elas. + Os cinco arcos terão a mesma medida? + E terão o mesmo comprimento?

4 Arcos e ângulos + Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos. + Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem um ângulo central que o subentende. Comprimento da circunferência de raio r: C = 2. π. r

5 Unidades para medir ângulos de circunferências + Grau ( ): quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de 1. C

6 Unidades para medir ângulos de circunferências + Radiano (rad): um arco de um radiano é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. l = α. r

7 Relação entre as unidades para medir arcos + Sabemos que o comprimento C da circunferência de raio r é igual a C = 2. π. r + Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos afirmar que o arco correspondente à circunferência mede C = 2. π. 1 rad = 2π rad + Assim, podemos dizer que 360 = 2π rad ou 180 = π rad

8 Exemplos + Converter 30 em radianos + Escrever 3π 4 rad em graus + Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20cm de comprimento contido numa circunferência de raio 8cm? + Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60 contido numa circunferência de raio 1cm?

9 Circunferência unitária ou circunferência trigonométrica + Denomina-se circunferência unitária (ou circunferência trigonométrica) a circunferência orientada cujo raio é 1 e na qual o sentido positivo é o antihorário.

10 Arcos côngruos (ou congruentes) + Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (0,1), é o mesmo para dois arcos diferentes (por exemplo, 0 e 2π) chamamos estes arcos de arcos côngruos ou congruentes. É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2π que é o comprimento de cada volta.

11 Arcos côngruos (ou congruentes) + Ao número π está associado o ponto B. Ao número 4 π + 2π também está associado o ponto B. 4

12 Arcos côngruos (ou congruentes) Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos o seguinte: Na primeira figura, o ponto deslocou-se π 4 de A até B. Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira 2π e mais π ; ou seja, 4 deslocou-se 9π 4.

13 Arcos côngruos (ou congruentes) Supondo que o ponto deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB seria escrito assim: π + k. 2π, com k Z 4

14 Arcos côngruos (ou congruentes) + Podemos então definir: Dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas diferem por um múltiplo de 2π rad.

15 Arcos côngruos (ou congruentes) + Exemplos: π e π 6 6 π e π 4 4 π e π π são côngruos + 2.2π são côngruos 3.2π são côngruos + De um modo geral: α + k. 2π, com k Z

16 Arcos côngruos (ou congruentes) + Exemplos: + Qual é a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de: a) 45 + Qual é o menor arco não-negativo côngruo ao arco de 1320? b) 3π 4 rad

17 Vamos pensar + Considere cinco circunferências concêntricas de raios diferentes e um mesmo ângulo central subtendendo arcos em todas elas. + Os cinco arcos terão a mesma medida? + E terão o mesmo comprimento?

18 ENEM Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado Mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 900 refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a A) Uma volta completa B) Uma volta e meia C) Duas voltas completas D) Duas voltas e meia E) Cinco voltas completas

19 Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica

20 Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica + senα, cosα e tgα para todos os valores reais de α. + Mantendo as duas relações fundamentais: + sen 2 α + cos 2 α = 1 + tgα = senα cosα

21 A ideia do sen, cos e tg de um número real + Consideremos P(x,y) um ponto da circunferência trigonométrica, ponto final do arco de medida α rad, definido a partir do número real α.

22 A ideia do sen, cos e tg de um número real + Nessas condições, definimos: + senα = ordenada de P + cosα = abscissa de P + tgα = senα cosα, cosα 0

23 A ideia do sen, cos e tg de um número real + Nessas condições, definimos: + senα = ordenada de P + cosα = abscissa de P + tgα = senα cosα, cosα 0 + Mantém as relações fundamentais.

24 Valores notáveis de seno e cosseno

25 Valores notáveis de seno e cosseno + Considere os pontos A(1,0); B(0,1); A (-1,0); B (0,-1) + Lembrete: + A abscissa do ponto P é o cosseno + A ordenada do ponto P é o seno

26 Valores notáveis de seno e cosseno

27 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes

28 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes

29 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes + Arcos no 2 quadrante

30 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes + Arcos no 2 quadrante + sen π x = senx + cos π x = cosx

31 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes + Arcos no 3 quadrante

32 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes + Arcos no 3 quadrante + sen π + x = senx + cos π + x = cosx

33 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes + Arcos no 4 quadrante

34 Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes + Arcos no 4 quadrante + sen 2π x = senx + cos 2π x = cosx

35 Arcos maiores que 360

36 Vamos praticar!!! 1. Em que quadrante temos simultaneamente: a) senα < 0 e cosα < 0 b) senα > 0 e cosα > 0 c) senα < 0 e cosα > 0

37 Vamos praticar!!! 2. Determine: a) sen 5π 6 a) sen 2π 3

38 A ideia geométrica da tangente + Dado um arco AP de medida x no círculo trigonométrico, definimos tangente de x como o valor obtido assim: + tgx = senx cosx, cosx 0 + Vejamos agora o significado geométrico de tgx.

39 Valores notáveis da tangente

40 Valores notáveis da tangente

41 Tangente em todos os quadrantes + Tangente no 2 quadrante

42 Tangente em todos os quadrantes + Tangente no 2 quadrante + tg π x = tgx

43 Tangente em todos os quadrantes + Tangente no 3 quadrante

44 Tangente em todos os quadrantes + Tangente no 2 quadrante + tg π + x = tgx

45 Tangente em todos os quadrantes + Tangente no 4 quadrante

46 Tangente em todos os quadrantes + Tangente no 2 quadrante + tg 2π x = tgx

47 Praticando Represente a expressão geral de x para que se tenha tgx=1.

48 Obrigada!