MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org

2 Círculo Orientado Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos que o círculo está orientado. A circunferência unitária, orientada e com origem, Sentido positivo será representada por: B 1 A A medida algébrica de arcos será denotada por Origem dos arcos ( )

3 Por enquanto, definimos relações trigonométricas (nos triângulos) para ângulos entre 0 e 90, ou, equivalentemente, 0 rad e π/2 rad. A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os números reais que representem um ângulo. b P Dado um número real, podemos associar a este número um arco sobre a circunferência unitária. a A Supondo positivo, temos o arco como na figura. Fazendo as projeções do ponto P, temos as coordenadas (a,b). 3

4 Note que para cada número real, eiste um único ponto P sobre a circunferência unitária. Portanto, eiste uma função E: R S 1. b 1 P(a,b) a A(1,0) Vamos representar tal função da seguinte forma: E()=(a,b)=(cos, sen ) Assim, para cada real, eiste cos e sen, que também são funções. Repare ainda que se é um ângulo entre 0 rad e π/2 rad, esta definição coincide com as relações trigonométricas vistas para triângulos retângulos. 4

5 Vejamos a função E() para alguns valores de. Para entre 0 rad e π/2 rad P b Para entre π/2 rad e π rad P b a A a A > > < > 5

6 Vejamos a função E() para alguns valores de. Para entre π rad e 3π/2 rad Para entre 3π/2 rad e 2π rad a A a A P b b P < < > < 6

7 Para valores de maiores que 2π ou menores que zero, começam a ocorrer repetição nos valores de cos e sen Para menor que 0 rad y = Para maior que 2π rad P b y b = a P A = a = A 2π 7

8 A P Quando =0 ou =2kπ, temos P=A. Daí, P tem coordenadas (1,0). = = 8

9 P A Quando =π ou =(2k+1)π, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são (-1,0). = = 9

10 P Se =π/2 ou =(4k+1)π/2, temos AOP sendo um ângulo reto e as coordenadas de P são (0,1). O A = = 10

11 O A Se =3π/2 ou =(4k-1)π/2, então as coordenadas de P são (0,-1). = = P 11

12 Periodicidade: P sen O cos Dado um ângulo de radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma +2kπ determina um mesmo ponto no círculo unitário. Desta forma: A sen(+2kπ)=sen cos(+2kπ)=cos Os ângulos e +2kπ são chamados côngruos. +2kπ são as várias determinações do arco AP. As funções seno e cosseno são periódicas de período 2π 12

13 Periodicidade: Com isso, conhecendo o comportamento dessas funções no intervalo [0,2π], sabemos como elas se comportam em toda a reta real. Vamos restringir o estudo das funções seno e cosseno ao intervalo [0,2π], isto é, a uma volta na circunferência unitária. 13

14 Sinal: 2 1 As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eios coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). A Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1, 2, 3 e 4 quadrantes 3 4 Ficou implícito no que vimos anteriormente, que: No 1º quadrante: >, > No 2º quadrante: >, < No 3º quadrante: <, < No 4º quadrante: <, > 14

15 Imagem: (0,1) Na circunferência unitária, as projeções nos eios coordenados estão compreendidas no intervalo [-1,1]. Assim, os valores de seno e cosseno também estão nesse intervalo, isto é, (-1,0) (1,0) Im(sen)=[-1,1] Im(cos)=[-1,1] (0,-1) 15

16 Paridade: A função seno é uma função ímpar, pois: sen(-)=-sen ( ) - 16

17 Paridade: A função cosseno é uma função par, pois: ( ) - cos(-)=cos 17

18 Relação Fundamental A relação fundamental pode também ser estendida para todo real 1 Se está no primeiro quadrante, temos a situação da figura: Pelo Teorema de Pitágoras, + = 18

19 Relação Fundamental 1 Se está no segundo quadrante, temos a seguinte situação: Novamente, pelo Teorema de Pitágoras, + = Se está no 3 ou 4 quadrante, procedemos de maneira análoga. 19

20 Tangente T Consideremos um ângulo no intervalo [0,π/2] P Observe que os triângulos POB e TOA são semelhantes. Assim O B A = Ou seja = =

21 Tangente T O segmento TA é denominado tangente de P Vejamos que para nos demais quadrantes, TA também é definido pelo quociente O B A

22 Tangente P Veja que a continua valendo a semelhança entre os triângulos POB e TOA. Portanto, como visto anteriormente, = B O A A seguir, veremos que o mesmo é válido quando está no 3 ou no 4 quadrante. T

23 Tangente T B O A O B A P P T

24 Tangente Assim, a relação trigonométrica tangente pode ser definida para ângulos fora do intervalo [0,π/2] = CUIDADO: para alguns valores de, não é possível definir a tangente (ponto T), como veremos a seguir.

25 Tangente P P B=O A B=O A

26 Tangente Logo a tangente de também é uma função real. Seu domínio é o conjunto

27 Gráficos Função cosseno: 27

28 Gráficos Função cosseno: 28 28

29 Gráficos Função cosseno: 29 29

30 Gráficos Função cosseno: 30 30

31 Gráficos Função cosseno: 31 31

32 Gráficos Função cosseno: 32 32

33 Gráficos Função cosseno: 33 33

34 Gráficos Função cosseno: 34 34

35 Gráficos Função cosseno: 35 35

36 Gráficos Função cosseno: 36 36

37 Gráficos Função cosseno: 37 37

38 Gráficos Função cosseno: 38 38

39 Gráficos Função cosseno: 39 39

40 Gráficos Função cosseno: 40

41 Gráficos Função Seno: 41

42 Gráficos Função Tangente: 42

43 Eercício: Encontre os gráficos das funções e

44 Eercício: Encontre os gráficos das funções e

45 Eercício: Encontre os gráficos das funções e

46 Secante Consideremos um ângulo no intervalo [0,π/2] P O B A S Observe que os triângulos OPS e PBO são semelhantes. Daí, Ou seja = = =

47 Uma outra maneira de ver a secante (geometricamente). P S Observe que os triângulos PBO e SAO são semelhantes. Daí, = O B A Ou seja = =

48 Cossecante C P Consideremos um ângulo no intervalo [0,π/2] Observe que os triângulos CPO e OBP são semelhantes. Daí, O B A Ou seja = = =

49 Uma outra maneira de ver a cossecante (geometricamente). Observe que e y são complementares D O y P S B A Por definição, = Os triângulos OBP e S DO são semelhantes. Daí, = Ou seja = =

50 Analogamente, podemos ver as relações secante e cossecante para valores de nos demais quadrantes. Como tais relações são dadas a partir das relações seno e cosseno, e estas foram estendidas à funções, podemos definir as FUNÇÕES secante e cossecante: