MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

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1 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 4 Livro do Stewart: Apêndice D e Seção 16 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico e arcos orientados Num plano cartesiano, considere a circunferência de centro na origem O e raio igual a uma unidade de medida Essa circunferência é chamada de círculo trigonométrico O ponto A (1, 0) será a origem dos arcos orientados que serão construídos sobre essa circunferência Seja um número real entre 0 e Imagine um ponto móvel M deslocando-se no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico, iniciando seu percurso no ponto A, e percorrendo uma distância igual a unidades de comprimento Ao final desse percurso ele pára num ponto P do círculo trigonométrico A trajetória descrita por M é o arco orientado de medida Nesse caso, dizemos o ângulo central AOP ˆ, que subtende o arco AP, tem medida radianos Relembrar a relação entre graus e radianos: x radianos 180 x graus O seno, o cosseno e a tangente de : Continuando com entre 0 e, sejam A (1, 0) e P ( a, b) as extremidades do arco orientado de medida radianos Definimos e representamos o seno, o cosseno e a tangente de da seguinte maneira: sen( ) b, cos( ) a e sen( ) b tg( ), se cos( ) a x e x 3 Desse modo, pontos sobre o círculo trigonométrico podem ser escritos na P cos( ), sen( ) forma

2 Exemplos: 0 3 seno cosseno tangente As funções trigonométricas reais: Seja x um número real qualquer Existem únicos q Z e 0, tais que x q Definimos o sen( x ), cos( x ) e tg( x ) como sendo, respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente de radianos No caso da tangente, devemos ter x k, k Z Os gráficos das funções: y sen( x), y cos( x) e y tg( x) estão representados a seguir

3 3 Observação: cada uma dessas funções é periódica, de período Isso significa que para todo x real: sen( x) sen( x ) cos( x) cos( x ) tg( x) tg( x ) IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Para todo número real x valem as igualdades: cos ( x) sen ( x) 1 cos( x) cos( x) cosx sen x sen( x) sen( x) sen x cos x Cosseno da soma: vamos mostrar que para quaisquer números reais a e b é válida a identidade cos( ab) cos( a)cos( b) sen( a)sen( b) b e A (1, 0) sobre o círculo trigonométrico Observe que o raio OP faz ângulo a b com o eixo x positivo Agora, faça uma rotação no triângulo OAP de modo que ele fique na posição do triângulo ORQ (observe as figuras a seguir) Para isso, considere os pontos P cos( a b), sen( a )

4 4 Pela definição das funções seno e cosseno, vemos que as coordenadas dos pontos Q e R são: Q (cos( b), sen( b )) e R (cos( a), sen( a)) Uma vez que os segmentos AP e RQ possuem o mesmo comprimento, pela fórmula da distância entre dois pontos, vemos que AP RQ implica: cos( ab) 1 sen( ab) 0 cos( b) cos( a) sen( b) sen( a) Desenvolvendo essa igualdade e simplificando obtemos a identidade desejada cos( ab) cos( a)cos( b) sen( a)sen( b) Outras identidades trigonométricas semelhantes: cos( a b) cos( a)cos( b) sen( a) sen( b) sen( ab) sen( a)cos( b) sen( b)cos( a) sen( ab) sen( a)cos( b) sen( a)cos( b) Arco duplo e arco metade: para todo número real x cos( x) cos ( x) sen ( x) sen( x) sen( x)cos( x) 1 cos( x) cos ( x) 1 cos( x) sen ( x) Lei dos cossenos: em qualquer triângulo ABC como o da figura, temos: a b c bccos( )

5 5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS A função arco-seno: y sen( x) Na figura abaixo está representada uma parte do gráfico da função Desse gráfico percebe-se que no intervalo e que dado um número x a função y sen( x) y [ 1,1] existe um único x, y Esse número x é chamado de: o arco cujo seno vale x arcsen( y) é crescente, tal que sen( x ) y, e é representado por Mudando de notação, o que foi feito acima define uma nova função y arcsen( x) domínio é o intervalo [ 1,1] e cuja imagem é o intervalo, inversa do seno, quando esse está definido apenas no intervalo, cujo Essa é a função Uma vez que as funções y arcsen( x) e y sen( x) são inversas uma da outra, seus gráficos são simétricos em relação a reta x y Dessa simetria, pode-se construir o gráfico da função y arcsen( x), ilustrado abaixo

6 6 Propriedades: (1) y sen( x) arcsen( y) x, desde que () sen(arcsen( u)) u para todo u [ 1,1] (3) arcsen(s en( v)) v para todo v, A função arco-cosseno: x e 1 y 1 y cos( x) Na figura abaixo está representada uma parte do gráfico da função y existe um único Desse gráfico é fácil ver que para todo [ 1,1] x 0, tal que cos( x) y Esse número x é chamado de: o arco cujo cosseno vale y, e é representado por x arccos( y) Mudando de notação, o que foi feito acima define uma nova função y arccos( x) cujo domínio é o intervalo [ 1,1] e cuja imagem é o intervalo 0, Essa é a função inversa do cosseno, quando esse está definido apenas no intervalo 0, O gráfico dessa função, ilustrado abaixo, pode ser obtido através da reflexão do gráfico da função cosseno na reta x y Propriedades: (1) y cos( x) arccos( y) x, desde que 0 x e 1 y 1 () cos(arccos( u)) u para todo u [ 1,1] (3) arccos(cos( )) para todo v 0, v v

7 7 A função arco-tangente: O gráfico da função y tg( x) para figura abaixo x está ilustrado na parte da esquerda da Desse gráfico é fácil ver que para todo número real y existe um único x, tal que tg( x) y Esse número x é chamado de: o arco cuja tangente vale y, e é representado por x arctg( y) Mudando de notação, percebemos que isso define uma nova função domínio é o conjunto dos números reais e cuja imagem é o intervalo gráfico dessa função está ilustrado na parte direita da figura acima y arctg( x), cujo O Propriedades: (1) y tg( x) arctg( y) x, desde que () tg(arctg( u)) u para todo u R (3) arct g(tg( v)) v para todo v, x