REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

Transcrição

1 Carlos Aurélio Nadal Doutor em Ciências Geodésicas Professor Titular do Departamento de Geomática - Setor de Ciências da Terra

2 Unidades de medidas que utilizavam o corpo humano 2,54cm 30,48cm

3 0,9144m 66cm

4 Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França. Metro é a unidade fundamental, duas marcas em uma barra de platina com uma distância equivalente a 1/ do quadrante de meridiano da Terra (distância do equador ao pólo norte medida no meridiano de Paris) metro é definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo 1/ do segundo (INMETRO- 1982)

5 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 01

6 certo errado segundo s s.; seg metro m m.; mts quilograma kg Kg. ;kgr hora h h.; hr Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 01 valor numérico prefixo da unidade 250,8 cm Espaço de até unidade de comprimento um caractere Grandeza Nome Plural Símbolo comprimento metros metros m área metro quadrado metros quadrados m² volume metro cúbico metros cúbicos m³ ângulo plano radiano radianos rad tempo segundo segundos s freqüência hertz hertz Hz velocidade metro por segundo metros por segundo m/s aceleração metro por segundo por segundo metros por segundo por segundo m/s² massa quilograma quilogramas kg

7 Submúltiplos Prefixo fator multiplicativo unidade derivada Kilo 1000 quilometro km Hecto 100 hectômetro hm unidade SI Deca 10 decâmetro dam 1 metro m Deci 0,1 = 10-1 decímetro dm Centi 0,01 = 10-2 centímetro cm Mili 0,001 = 10-3 milímetro mm micro 0, = 10-6 micrometro m nano 0, = 10-9 nanômetro nm pico 0, =10-12 picômetro pm

8 Outras unidades de área que podem ser usadas: Are: 10m x 10m = 100 m 2 Hectare: 100 x 100m = m 2 Alqueire Paulista = m 2 Alqueire mineiro = m 2

9 esfera r o centro círculo máximo Superfície esférica: é a superfície que envolve uma esfera. Esfera: lugar geométrico dos pontos do espaço igualmente distanciados de um ponto denominado de centro.

10 Circulo: é o lugar geométrico dos pontos de um plano igualmente distanciados de um ponto denominado centro. r esfera centro o círculo máximo Circunferência: é a linha envoltória de um círculo. Circunferência máxima: é toda a circunferência da superfície esférica que contem o centro desta.

11 raio (r) Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 01 Medidas de arcos e ângulos a arco (L) b 360-2πr α - L L = x r = L / r o Ângulo central ( ) Ângulo periférico ( /2) Comprimento da circunferência = 2 x x r =3,

12 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 01 Unidades de medidas angulares Grau: corresponde a 1/360 da circunferência 1 = 60 1 = 1/60 1 = = 1/60 1 = 60 1 = 1/3600 ex.: 25 o 26' 54,27" 1 m.a.s.: arco de um milisegundo 10-3 Grado: corresponde a 1/400 da circunferência Radiano: ex.: 245,67gr é o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência ex. 1,56789 rad

13 180 o 1 rad = = 57, o = 57 o 17' 44,81", A 25 o o B Medida de um ângulo com transferidor

14 90 = /2 Quadrantes trigonométricos II Q I Q 180 = 0 =360 =0rad III Q IV Q 270 =3 /2

15 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 01 Transformações de unidades 360 = 2 rad 180 = rad Transformação de graus e fração para radianos x a a rad = 180 Transformação de radianos para graus e fração 180 x a rad a =

16 360 = 400gr 180 = 200gr Transformação de graus e fração para grados 200 x a a gr = 180 Transformação de grados para graus e fração 180 x a gr a = 200

17 Transformar 25 o 38' 50,2" em radianos Transformando graus, minutos e segundos em graus 60' = 1 o 38 38' = x x = ,2 25 o 38' 50,2" = = 25, o

18 Transformar 25 o 38' 50,2" em radianos b) Transformando de graus para radianos 180 o = 3, ( ) rad 25, o = x 3, x 25, x = 180 x = 0, rad

19 Transformar 1, radianos em graus, minutos e segundos a) Transformando de radianos para graus 3, ( ) rad = 180 o 1, rad = x x 180 x = = 72, o 3,

20 Transformar 1, radianos em graus, minutos e segundos b) Transformando de graus para graus, minutos e segundos 72, o = 72 o + 0, o 0, o x 60 = 07, ' = 07' + 0, , ' x 60 = 04,6453 1, rad = 72 o 07' 04,6453

21 Soma Subtração de ângulos 30 o 21' + 20 o 52' = 51 o 13' 30 o 21' + 20 o 52' 50 o 73' 51 o 13' / /60 = 51, o = 51 o + 0, o 0, o x 60 = 13'

22 Soma Subtração de ângulos 30 o 21' - 20 o 52' = 09 o 29' 30 o 21' 29 o 81' o 52' 20 o 52' 09 o 29' ' / /60 = 9, o = 09 o + 0, o 0, o x 60 = 29'

23 Funções trigonométricas t E C M OM=raio=1 C M T B O F A B O A D D t' Seno (MF) e cosseno (ME) tangente (AT) do arco AM do arco AM

24 Funções trigonométricas S C M' S' OM=raio=1 C W M M B O A B O A Z D cotangente (CM') do arco AM D secante (OZ) cossecante (OW) do arco AM

25 Sinais das funções trigonométricas Função 1 o Q 2 o Q 3 o Q 4 o Q Seno Co-seno Tangente Cotangente Secante Cossecante

26 Valores das funções trigonométricas Ângulo em graus Ângulo em radianos seno Co-seno tangente 0 0 0, , , /12 0, , , /6 0, , , /4 0, , , /3 0, , , /12 0, , , /2 1, ,

27 SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS (CALCULADORAS)

28 Extração de funções trigonométricas sen 25 o 38' 50,2 " = sen 25, o = 0, cos 25 o 38' 50,2 " = cos 25, o = 0, tg 25 o 38' 50,2 " = tg 25, o = 0, sen 192 o 45' 31,4 " = sen 192, o = -0, cos 97 o 11' 29,6 " = cos 97, o = -0, tg 97 o 11' 29,6 " = tg 97, o = -7,

29 Funções trigonométricas inversas arc sen, arc cos, arc tg, arc cotg, arc sec e arc cossec. sen a = y 1) localiza-se os quadrantes da solução pelo sinal de y; 2) obtém-se da calculadora o valor do arco correspondente no 1 o quadrante; 3) aplica-se a fórmula de redução ao 1 o quadrante, para o 2 o quadrante a' = a para o 3 o quadrante a' = a para o 4 o quadrante a' = a

30 FUNÇÕES EM SÉRIES (CALCULADORA)

31 Exemplo de função trigonométrica inversa Pede-se o valor do ângulo a sendo sen a = 0, a= arcsen 0, (sin -1 ) 1) O sinal de y é positivo portanto tem-se soluções no 1 o e 2 o Quadrantes 2) Valor de a no 1 o quadrante [a] = 16 o 28' 51,22 " 3) soluções: No 1 o Q a = 16 o 28' 51,22 " 2 o Q a = 180 o - 16 o 28' 51,22 " = 163 o 31' 08,78 "

32 Exemplo de função trigonométrica inversa Pede-se o valor do ângulo a sendo tg a = -2, a= arctg 2, (tan -1 ) 1) O sinal de y é negativo portanto tem-se soluções no 2 o e 4 o Quadrantes 2) Valor de a no 1 o quadrante a= arctg 2, [a] = 68 o 50' 09,51 " 3) soluções: No 2 o Q a = 180 o - 68 o 50' 09,51" = 111 o 09' 50,48 " 4 o Q a = 360 o - 68 o 50' 09,51" = 291 o 09' 50,48 "

33 Relações fundamentais no triângulo retângulo A b c 1 cosec A = sen A 1 sec A = cos A C B a a sen A = b c cos A = b a 1 tg A = = c cotg A Teorema de Pitágoras b 2 = a 2 + c 2

34 Relações fundamentais num triângulo qualquer C agudo C obtuso b a b a A c Lei dos senos Lei dos co-senos B A a b c = = sen A sen B sen C a² = b² + c² - 2 b c cos A c B

35 Cálculo da área de um triângulo qualquer S = (p)(p-a)(p-b)(p-c) p = 0,5* (a + b + c) S = (base x altura) /2 b altura a A c base B

36 0 Polígonos Somatório dos ângulos externos = (n-2)x180 o Somatório dos ângulos internos = (n+2)x180 o.

37 Fórmula dos trapézios S é a área da poligonal; Área de um polígono 1 n S = [(Y i+1 + Y i ) (X i+1 - X i )] 2 i=1 n é o número total de pontos da poligonal menos um; X i e Y i coordenadas do ponto genérico i da poligonal.

38 Calcular a área da poligonal pela fórmula dos trapézios. Ponto X (m) Y (m) 1 0,00 0, ,00 39, ,99 49, ,03-9, ,02 10,03 Solução: 1 n S = [(Y i+1 + Y i ) (X i+1 - X i )] 2 i=1

39 desenvolvida para n=4 S=0,5 x [(Y 2 + Y 1 ) (X 2 X 1 ) + (Y 3 + Y 2 ) (X 3 X 2 ) + + (Y 4 + Y 3 ) (X 4 X 3 ) + (Y 5 + Y 4 ) (X 5 X 4 ) + + (Y 1 + Y 5 ) (X 1 X 5 ) S=0,5 x [(0,00+39,99)(40,00-0,00) + + (49, ,99) x (99,99 40,00) + + ( -9, ,98) x (90,03 99,99) + + (10,02 9,96) x (50,02 90,03) + + ( 0, ,02) x (0,00 50,02)] S = 3047,35 m 2

40 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Qual a diferença em se escrever? 1m 1,0m 1,00m 1,000m O último é expresso na casa do milímetro. 1,05 + 1,166 = 1,216 em significativos 1, ,55