PROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME

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1 PROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME Parte II Kerolaynh Santos e Tássio Magassy Engenharia Civil

2 Identidades Trigonométricas Definição: Equações envolvendo funções/relações trigonométricas verdadeiras para todas as variáveis envolvidas. São úteis para simplificar expressões que contenham funções trigonométricas; Aplicação: integração de funções não trigonométricas. Cálculo II e IV

3 Identidades Trigonométricas Relações fundamentais sen β = c a c = sen β. a cos β = b a b = cos β. a Teorema de Pitágoras a 2 = b 2 + c 2 dividindo os membros por a 2 : b a 2 + c a 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2 a 2 cos 2 β + sen 2 β = 1 TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

4 Identidades Trigonométricas Relações fundamentais sen β = c a c = sen β. a cos β = b a b = cos β. a tg β = c b tg β = a. sen(β) a. cos (β) tg β = sen(β) cos (β) cos (β) 0 cotg β = b c cotg β = a. cos(β) a. sen (β) cotg β = cosβ) sen (β) = 1 tg(β) sen (β) 0 sec β = a b sec β = a a. cos (β) sec β = 1 cos (β) cos (β) 0 cossec β = a c cossec β = a a. sen (β) cossec β = 1 sen (β) sen (β) 0

5 Identidades Trigonométricas Relações derivadas tg²( ) 1 sec ²( ) Demonstração da identidade Trigonométrica: sec ²( ) 1 cos ²( ) sen²( ) cos ²( ) cos ²( ) cos ²( ) sec (β) 2 = tg(β) (c. q. d)

6 Identidades Trigonométricas Relações derivadas 1 + cotg² ( β) = cossec² (β) Demonstração da identidade Trigonométrica: cossec ²( ) 1 sen²( ) sen²( ) sen²( ) cos ²( ) sen²( ) cossec² (β) = cotg²(β) + 1 (c. q. d)

7 EXERCÍCIO 4: Simplifique a expressão:. 1 cot g cot g( x) y = 2 1 cotg x x y = tg(x) cos( x) = 3 m sen( x) = 2 Sendo e, determine o valor de m. m=2 m

8 PROBLEMA!! Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica numa fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago. Contudo, um problema surgiu: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, mas a presença do lago impedia a medição direta. Realidade

9 PROBLEMA!! Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes. Com aparelhos apropriados, mediu-se o ângulo entre a linha de visão dele e os postes (120º); a distâncias entre o poste mais afastado e o engenheiro (100m) e o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes (45º). Com essas informações o engenheiro pode calcular a distância desejada. Modelo Matemático COMO?

10 PROBLEMA!! O Triângulo AOB é obtusângulo e a resolução deste problema consiste em determinar a medida do lado AB. Para resolvê-lo vamos usar: Modelo Matemático LEI DOS SENOS

11 Lei dos Senos Relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Demonstração!

12 Lei dos Senos PROBLEMA!! (Resolução) Pela lei dos senos, temos: 100 sen45º d d sen120º 3 Racionalizando: d 3 2 d 50 6m 2d Modelo Matemático 100 3

13 Lei dos Cossenos Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras. Demonstração!

14 Lei dos Cossenos Exercício: O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 5cm. Quais são as medidas das diagonais maior e menor do losango? 20º 5 5 x Diagonal menor (x)=1,7cm Diagonal maior (y)=9,8cm y

15 CONCEITOS BÁSICOS Arcos e ângulos O B A Arco AB AB Ângulo central AÔB Arco: parte da circunferência delimitada por dois pontos. Ângulo central: todo arco possui um ângulo que o subtende. Comprimento de circunferência: C 2 r

16 Arcos e ângulos Graus B Quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau (1º). A A B 1 ângulo reto = 90 2 ângulos retos = ângulos retos = ângulos retos = = 60 e 1 = 60

17 Arcos e ângulos Exemplo: Se α e β são arcos que medem, respectivamente, e , determine a medida de α + β: Resposta: α + β =

18 Arcos e ângulos Grados B A A 1 grado equivale a 1/400 da circunferência. Desta forma: 1 ângulo reto = 100gr 2 ângulos retos = 200gr 3 ângulos retos = 300gr 4 ângulos retos = 400gr B

19 Arcos e ângulos Radianos B B Equivalência: rad = 180 o O R A

20 Arcos e ângulos Exercício: Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se, com os lados do ângulo central α, um arco de comprimento 10,8 cm. Calcule, em radianos, a medida de α: Resposta: α = 1,2rad

21 Arcos e ângulos Exercício: Na figura abaixo, conhecidos o raio de 4 cm do arco de circunferência e ângulo central de 30, calcular o comprimento, em cm, do arco por ele determinado sobre a curva: 30 x 4 cm

22 Arcos e ângulos

23 Ciclo Trigonométrico y 1 B P + A A O 1 x - B

24 Arcos côngruos (ou congruentes) B - São arcos que possuem a mesma origem e extremidade. O α A - A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2. x = α + k2

25 Arcos côngruos (ou congruentes) Reposta: 2º quadrante, Expressão: k. 360

26 Introdução Seno e Cosseno seno B N P Teorema de Pitágoras: sen 2 α + cos 2 α = 1 A A O M x cosseno B

27 Seno Seno Cosseno y 1 y O x -1 O 1 x -1

28 Tangente t é paralela ao eixo y e tangente à circunferência unitária y P t T tg O A x

29 Redução ao primeiro quadrante 2 o quadrante: a = ( - x) y /2 t sen ( - x) = sen x cos ( - x) = - cos x tg ( - x) = - tg x a 0 2 O x x 3 /2

30 Redução ao primeiro quadrante 3 o quadrante: a = ( + x) sen ( + x) = - sen x cos ( + x) = - cos x tg ( + x) = tg x

31 Redução ao primeiro quadrante 4 o quadrante: a = (2 - x) y /2 t sen (2 - x) = - sen x cos (2 - x) = cos x tg (2 - x) = - tg x 0 2 a O x x 3 /2

32 Redução ao primeiro quadrante

33 Fórmula de adição e subtração de arcos sen (a + b) = sen (a) + sen (b)? cos (a + b) = cos (a). cos (b) sen (a). sen (b) cos (a b) = cos (a). cos (b) + sen (a). sen (b) sen (a + b) = sen (a). cos (b) + sen (b). cos (a) sen (a b) = sen (a). cos (b) sen (b). cos (a)

34 Lei dos Cossenos Exercício: Usando as fórmulas de adição, determine: a) sen(105º) e) sen(225º) b) cos (135º) f) cos (225º) c) cos (195º) g) cos (300º) d) sen(165º) h) sen(345º)

35 Fórmula de adição e subtração de arcos

36 Arco Duplo cos 2a = cos 2 a sen 2 a sen(2a) = 2. sen a. cos a

37 Arco metade cos a 2 = ± 1 + cos a 2 a sen = ± cos a 2 tg a 2 = ± 1 - cos a 1 + cos a

38 Transformação em produto sen x + sen y = 2. sen x + y 2. cos x y 2 sen x sen y = 2. sen x y 2. cos x + y 2 cos x + cos y = 2. cos x + y 2. cos x y 2 cos x cos y = 2. sen x + y 2. sen x y 2

39 Exercícios: Transforme em produto a expressão sen(60º) + sen(30º). Transforme em produto a expressão cos (5x) + cos (3x).

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