Plano de Aulas. Matemática. Módulo 10 Ciclo trigonométrico (1 volta)

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1 Plano de Aulas Matemática Módulo 0 Ciclo trigonométrico ( volta)

2 Resolução dos exercícios propostos Retomada dos conceitos CAPÍTULO 0,07 rad _ 80 rad x? x. 0, 07 rad _ x rad 80 a), rad C x C x C 0 x C x b), 7 rad? x rad? 0 x C 7 x 7 C x 0? rad 7 0 C 0 7 x 7 C x 0 0? 0 a) rad De acordo com a construção, o ângulo de medida a e o de têm lados respectivamente perpendiculares, portanto são congruentes. 80 rad? rad _ rad 80 b) A medida de r é.00 m. Para calcular a medida de um arco determinado por um ângulo de, basta dividir uma circunferência em 7 partes.?,? r 00? 7 r r. 00 m 7 O ângulo mede rad 0?? x x, 7 80 rad x x rad O raio mede aproximadamente 8, m. 0 r 0? 00 r r. 8, m ? O ângulo mede 7 9 rad. 80 rad _ 0 x x 7 9 rad 7 O ângulo mede aproximadamente 8., rad _ 80,? 80 x x, 8 O comprimento do arco mede 8 cm. C x 0 C x? 0?? x x 8 cm A medida do ângulo corresponde a, rad. a 7, rad 0 d Seja r 0, m o raio das rodas dianteiras do trator; R 0,70 m o raio de suas rodas traseiras e V o número de voltas dadas pelas rodas traseiras. A distância percorrida pelas rodas é a mesma, portanto:?? 0, 70? V?? 0,? ( V. 00),?? V 0, 7?? V 0, 7??. 00,?? V 0, 7?? V 0, 7??. 00 0, 7?? V 0, 7??. 00 V 0, 7? 0, 7? V. 00?. 00 9

3 Cálculo da distância percorrida pelo trator:?? 0,70?.00?,? 0,70? c A parte inteira do quociente entre o arco completo rad e 0,8 rad indicará o número de fatias cuja medida do arco é de 0,8 rad:?,8 7,8 0,8 0,8 Logo, são 7 as fatias que medem 0,8 rad. O arco formado pelas 7 fatias perfará, rad (7? 0,8). Do total, sobrará 0,8 rad para a fatia N. d O comprimento de cada volta será de aproximadamente. m, km (?,? 00). O número de voltas será de aproximadamente 00,. 98, b O comprimento do pneu será de aproximadamente:? 0?,? 0, cm, m. Para percorrer km,.000 m, o número de voltas necessárias será: ,08, Assim, o número aproximado de voltas completas deve ser 98. a Observe o OJM na figura: P O, J M C ele caminhará. Esse arco relativo a 80 corresponde à meia volta do canteiro. João caminh de meia volta de todo o canteiro. Portanto:?? 0 a Como o aro rol,98 m, calcula-se o número de voltas dadas:,98,98,?,8 A cada volta, o ponto A torna a tocar o chão. Dada meia volta, o ponto A está na posição mais alta. Por isso, depois de, voltas, o ponto A estará no alto. Há apenas uma alternativa com essa opção, o que encerra a análise. CAPÍTULO a) O valor aproximado é de 0,. sen 0 sen 0. 0, b) O valor aproximado é de 0,97. sen sen 7. 0,97 c) O valor aproximado é de 0,77. sen 0 sen 0. 0,77 a) O valor aproximado é de 0,9. rad 80 rad x?80 x7 x sen sen 7. 0,9 b) O valor aproximado é de 0,9. rad 80 7? 80 7 y y rad y 7 sen sen sen 7. 0,9 0, cos cos 0 Se a 0, significa que falta a João percorrer dos 80 que formam o arco sobre o qual a) O valor é 0,. sen 8 sen 0, b) O valor é 0,. sen sen 0, c) O valor é 0,. sen 8 sen 0,

4 a) 0,8 sen ( a) sen a 0,8 b) 0,8 sen ( a) sen a 0,8 c) 0,8 sen ( a) sen a 0,8 0, 0,8 0,8 0, 0 a) Falsa. Os valores não são crescentes. b) Verdadeira. Na sequência apresentada, os valores das medidas dos ângulos diminuem e se aproximam de zero, apresentando, portanto, senos de forma estritamente decrescentes. c) Falsa. Não possui valores negativos, uma vez que todas as medidas da sequência são de ângulos do primeiro quadrante. d) Falsa. Não possui valores iguais, uma vez que a sequência é estritamente decrescente. e) Falsa. A sequência não forma uma progressão aritmética, uma vez que não ocorre a suposta razão da PA: CAPÍTULO c Na alternativa c, a ordenada das extremidades está acima do valor no eixo das ordenadas. d sen ( 0 ) sen ( 0 0 ) sen 0 sen 0 7 a Se sen a sen b e a está em QI e b em QII, eles são suplementares. Portanto, a b. 8 c 9 d sen ( a) sen a e sen ( a) sen a, o valor da expressão é. 7 7 tg, tg, tg, tg a) sen cos b) cos e 7 tg 0 b Os valores iniciais da sequência são,,,...

5 sen cos cos cos cos cos Como u [ QIII cos u, 0 cos u. Logo, tg u sen u cos u d tg tg? O menor valor de é. é mínimo se for máximo. Para isso, tem de ser mínimo e, como,. Portanto,. ( ) 7 b é mínimo se for máximo. Para isso, deve ser mínimo e, como,,,. Portanto, ( ). 8 b Os arcos de rad e rad são arcos do QI, 7 no qual os senos crescem conforme cresce o arco, o que significa que y sen x sen 7. Nesse mesmo quadrante, os cossenos são decrescentes, o que significa z cos w cos 7. Os arcos de rad e são menores que o de 7 rad, cujo valor do seno é igual ao do cosseno. Por isso, os valores de seno daqueles arcos são menores que os dos seus cossenos. A ordem crescente, portanto, é: y, x, z, w. 9 e Se tg 0 tg 0 ; sen 0 sen 0 cos 0 cos 0 e. Portanto: tg 0 sen 0 cos 0? 0 b Se sen 0 sen 0 ; cos 0 cos 0 e tg 0 tg 0,, cos 0, sen 0, tg 0., a ordem crescente é: c Se u 8, arco do QI próximo a 90, um esboço do ciclo trigonométrico é suficiente para determinar a ordenação:

6 T 0,, Apenas a alternativa c oferece essa opção para o valor de. cos x sen x a S O C O segmento tocu é o menor e corresponde a cos u. O segmento tosu corresponde a sen u, e o segmento trt u, a tg u., sen sen logo:? n? ( ) R e cos n, logo n.?, c Se sen x cos x, temos cos x sen x. Logo: sen x ( ) sen x sen x 0,, E isso confirma a alternativa correta. CAPÍTULO Às h às 0h. a) S ,,,,?? 0 (? ) 0 Essa sentença permite duas possibilidades: = 0 x = x =? 0 x x b) S 0,,,, sen x?? cos x 0? (sen x cos x) 0? 0 Essa sentença permite duas possibilidades: 0 x 0 x x 0 x x

7 a) S Sendo y, temos: sen x 0 y y y 0 y y Por isso: y x y x b) S {0, } Sendo y, temos: cos x? 0 0 y y 0 y y Por isso, x 0 x. Portanto, os valores de x são 0. c) S Sendo y, temos: sen² x? 0 0 y y 0 y y Por isso, x. e) S, tg² x? tg x tg x? tg x 0 Se tg x y, logo: 0 y y 0 y y Por isso, tg x x x. S {} C.E. : 0 x e x sen x cos x 0 0 x S,,, d) S,,, Sendo y, temos:?? y y y y 7 y Por isso, y x cos. S {}? cos x 0 y y y 0 y y y 7 x x x Logo, a soma das raízes é 9.

8 7 S 0,,,, ( ) sen x?? cos x???? 0 Por isso: 0 x = 0 x x 0 x x. 8 S Sendo y tg x, temos: tg x tg x 0 y y 0 y (y ) 0 y 0 y 0 y 0 y ± Por isso: tg x 0 x tg x x x 7 tg x x x 7,,, Logo, 7. 9 S Sendo y, temos:? sen x 0 y y 0 y y Por isso: x x x Como, x,, a raiz é. 0 S 0 x x 0, x < S. a) S { x [ x }? 0 b) S x [ x tg x 0 tg x 0 tg x a a cos a Logo, a a a

9 m 0 <, 0 < m, m m S{ x [ x x }? 0 sen x Substituindo (II) em (I), temos:? cos y cos y y 0 x 0 c ()? () Se 0 x 0 x x Caso contrário: x 0 x 7 d Pelas simetrias de arcos sabemos que. 8 b Apenas os arcos cujas extremidades estão indicadas no ciclo trigonométrico a seguir satisfazem a condição da inequação: y x x 0 e y 0 sen x cos y (I) sen x cos y (II) Exercícios de integração x e y 0 x y x y x y (x y) 00 y 00º y 0º x º 0º º x 800 x x ? 0 d O comprimento de uma circunferência de raio 00 m é igual a? 00 m, seja, 800 metros. Observe a regra de três para obter o com- primento do arco de o :? cos x 0 x x x x

10 A média aritmética das raízes da equação é:?? d Em uma PA a a a a, logo: Comprimento do )A'B' :?? Divisão entre os arcos: 0 0???? ? 0? 0? 0 O arco é do QI, portanto. Os primeiros termos da PA são: ; ; ;... A razão da PA é dada por r. O décimo é calculado por: a a ? D( f ) x [ 0 x x? 0 0 a O valor da expressão é modificado de acordo com o valor de x, que atribui valores ao 0x do qual se obtém o valor do seno. O maior valor do seno é e o menor,. Se o seno for, a expressão assume o valor ;? e se o seno for igual a, a expressão assume o valor.? ( ) 7 7 c Comprimento do )AB :? 0? S 9 7,,,? log 8 0? log 8 0 8?? log 8 0? P.G. : sen, sen,... P.G. :,,... a e q n an a? q a? 8 0 S 7, Sendo y, temos:?? sen x 8? sen x 0 y y 8y 0 y y ( y) 0 ( y) ( y ) 0 Por isso: y 0 y y y 0 y 7 x x 7

11 Gabarito Retomada dos conceitos CAPÍTULO 0,07 rad a), rad b), 7 rad a) rad b) r.00 m O ângulo mede aproximadamente rad. r 7 8, m 7 rad 9 7 Aproximadamente 8. 8 O comprimento do arco mede 8 cm. 9 A medida do ângulo corresponde a, rad. 0 d c d b a a CAPÍTULO a) O valor aproximado é de 0,. b) O valor aproximado é de 0,97. c) O valor aproximado é de 0,77. a) O valor aproximado é de 0,9. b) O valor aproximado é de 0,9. a) O valor é 0,. b) O valor é 0,. c) O valor é 0,. 8 a) 0,8 b) 0,8 c) 0,8 c d 7 a 8 c 9 d 0 b CAPÍTULO 7 7 tg, tg, tg, tg a) b) e tg d 7 b 8 b 9 e 0 b c a c

12 CAPÍTULO Às h às 0h. a) S,,, b) S 0,,,, a) S b) S { 0, } c) S d) S,, 7, e) S, S {} S, 7,, S {} 7 S 0,,,, 8 S 9 S 0 S a) S x [ x b) S x x a m S{ x [ x x } x 0 e y 0 c 7 d 8 b Exercícios de integração x e y 0 d d D( f ) { x [ 0 x x } a 7 c 8 S,, 7, 9 0 S 7, 9