MATEMÁTICA FORMULÁRIO 11) A = onde. 13) Para z = a + bi, z = z = z (cosθ + i senθ)

Transcrição

1 [ MATEMÁTICA FORMULÁRIO 0 o 45 o 60 o cosec =, sen 0 sen sen cos tg cotg = sec =, cos 0 cos tg = sen cos, cos 0 cos sen, sen 0 sen + cos = ) a n = a + (n ) r ) A = onde b h D = ou y A = D y y a + an ) S n = n ) A círculo = πr ) a n = a q n ) Para z = a + bi, z = z = z (cosθ + i senθ) a + b 4) S = a 4) ( a) + (y b) = r - q 5) A p n n! = (n p)! 6) P n = n! 6) V cone = 7) C p n n! = 7) V p! (n p)! pirâmide = n p n p 8) T p + = a p 8) V esfera = 5) Se P() = a n n + a n - n a + a 0 e,,..., n são raízes de P(), então... n = ( n - a0 a A h b A b 4 π r h ) n A B A 9) d A,B = ( ) + ( y y ) B 9) V cilindro = πr h 0) d P,r = a 0 + by0 a + b + c 0) A total do paralelepípedo = Soma das áreas das faces

2 5) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. Dizer que a multiplicação de dois números negativos tem por resultado um número positivo é uma afirmação sem justificativa e que nada tem a ver com questões práticas. 0. O conjunto dos números racionais é suficiente para medir (com eatidão) todo e qualquer comprimento. 04. Seja um número inteiro diferente de zero. A eistência do inverso multiplicativo de só é garantida no conjunto dos números reais e no conjunto dos números compleos (já que _ ). 08. Os números como e π (e outros irracionais) só estão relacionados a coisas abstratas e distantes da nossa realidade. 6. Se no último aniversário de João, a soma de sua idade com a de seu pai e a de seu avô era 90 anos, e no dia de seu nascimento esta soma era 75 anos, então João está com 5 anos. Gabarito: 6 (6) Número de acertos:.8 (0,6%) Grau de dificuldade previsto: Fácil A única proposição correta era a 6, referente a um problema simples de aritmética. Observando que 58,48% dos candidatos incluíram essa proposição em sua resposta, percebe-se que, de fato, o problema é simples. Duas grandes causas de erro foram a consideração da proposição 0 como correta (40,6%) e da proposição 04, também, como correta (44,57%). Isso revela que os candidatos não têm o conhecimento esperado em relação aos conjuntos numéricos, em especial os relacionados aos números racionais e aos números reais. 6) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. sen para todo 0, π. 0. sen + cos para todo 0, π. 04. Para qualquer arco pertencente à interseção dos domínios das cosec funções trigonométricas vale a igualdade = sec. cotg 08. Os gráficos das funções f () = sen e f () = 5sen se interceptam numa infinidade de pontos. 6. Os gráficos das funções g () = cos e g () = + cos não possuem ponto em comum.. Os gráficos das funções h () = sen e h () = sen (+) se interceptam numa infinidade de pontos.

3 Gabarito: 6 ( ) Número de acertos: 78 (0,87%) Causa espanto ver o baio conhecimento dos candidatos, em relação à trigonometria. Não se trata de uma dificuldade isolada em uma ou duas proposições, por eemplo, pois apenas,6% dos candidatos assinalaram 5 (das 6 proposições certas) como corretas, e 0,54% dos candidatos assinalaram como corretas 4 dessas proposições. Talvez o fato de todas as proposições serem corretas tenha colaborado para o baio desempenho dos candidatos nesta questão. Essa situação eige que esse conteúdo seja mais trabalhado no Ensino Médio e cobrado com mais profundidade. 7) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. O conjunto solução da inequação log ( 9) log ( ) é S = (, 4] [, + ). 0. Para todo real diferente de zero vale ln < e. 04. log 60 = log + log + log Considere as funções f() = a e g() = log a. Para a >, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a <, temos f decrescente e g crescente. 6. A equação e = e não possui solução inteira.. Se log N =,4 então log N = 6,84. Gabarito: 04 (04) Número de acertos: 90 (0,09%) Os conteúdos de logaritmos e eponenciais são amplamente eplorados no Ensino Médio e, mesmo assim, o desempenho dos candidatos foi abaio do esperado. Porém, apesar de apenas 0,09% dos candidatos terem acertado a questão, observa-se que a única proposição correta (04) foi incluída na resposta de 56,75% dos candidatos.

4 8) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. O valor numérico do polinômio p() = para = i é p(i) = 4 4i. 0. O conjugado do número compleo z = + i i é + i. 04. O determinante + i i módulo desse número compleo é (um). 0 define um número compleo. O 08. A forma trigonométrica do número compleo z = i é 5π 5π z = cos + i sen. 6. Dadas as funções f() = + e g() = +, o valor do f ( + i) i quociente é +. g( i) 5 5 Gabarito: 7 ( ) Número de acertos: 90 (,4%) Além do grau de dificuldade obtido ter sido maior do que o esperado, chama a atenção o fato de que 6,% dos candidatos assinalaram como única resposta correta a proposição 04, que é justamente a única errada. Buscando-se todos os candidatos que incluíram essa única proposição incorreta em sua resposta, chega-se ao percentual espantoso de 4,0%. A perpleidade se torna ainda maior se observarmos que, para se verificar que a proposição em pauta está errada, basta calcular o determinante de uma matriz de ordem, que dá zero e, portanto, não tem módulo igual a (um). Por outro lado, observa-se que 55,7% dos candidatos obtiveram acerto parcial na questão. O resultado aqui obtido aponta para a necessidade de um estudo mais aprofundado, no Ensino Médio, em relação ao conteúdo de números compleos.

5 9) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. Uma P.A. e uma P.G., ambas crescentes, têm o primeiro e o terceiro termos respectivamente iguais. Sabendo que o segundo termo da P.A. é 5 e o segundo termo da P.G. é 4, a soma dos 0 primeiros termos da P.A. é Uma empresa, que teve no mês de novembro de 00 uma receita de 00 mil reais e uma despesa de 50 mil reais, tem perspectiva de aumentar mensalmente sua receita segundo uma P.G. de razão 5 6 e prevê que a despesa mensal crescerá segundo uma P.A. de razão igual a 55 mil. Neste caso, o primeiro mês em que a receita será maior do que a despesa é fevereiro de Suponha que um jovem ao completar 6 anos pesava 60kg e ao completar 7 anos pesava 64kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 6 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão, então ele nunca atingirá 68kg. 08. Se os raios de uma seqüência de círculos formam uma P.G. de razão q, então suas áreas também formam uma P.G. de razão q. Gabarito: 07 ( ) Número de acertos: 48 (4,90%) Aparentemente esta questão reflete, pelo menos em parte, a preocupação dos candidatos em não assinalarem proposições incorretas, pois 6,9% deles assinalaram como resposta apenas duas das três proposições corretas, e 6,8% apenas uma das três proposições corretas (não tendo assinalado proposição incorreta). Somando esses percentuais ao dos que acertaram a questão, chega-se a 48,6%, o que poderia sugerir que a questão apresentou, de fato, um grau de dificuldade médio, como previsto. A análise dos erros cometidos leva a crer que, além da dificuldade matemática, os candidatos apresentaram dificuldade considerável na compreensão dos enunciados.

6 0) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00, ou por R$ 0,00 de entrada e mais pagamentos mensais de R$ 0,00, então a loja está cobrando mais do que 0% ao mês sobre o saldo que tem a receber. 0. Se o produto P é vendido por R$ 0,00 pela loja A e por R$ 40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 00% acima do preço praticado pela loja A, e que a loja A está praticando um preço 00% menor do que o praticado pela loja B. 04. Se numa área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta 50% a cada mês, então a função t n(t) = N fornece o número (aproimado) de pessoas afetadas pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área. 08. Admita que a função n(t) = N t forneça o número aproimado de pessoas atingidas por uma epidemia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto afirmar que, num aglomerado urbano com habitantes, não ocorrendo aumento populacional, 8 meses após eistirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal. Gabarito: ( ) Número de acertos: 699 (7,8%) Grau de dificuldade previsto: Difícil Somando-se aos 7,8% dos candidatos que acertaram a resposta desta questão os 4,8% e os,8% dos que obtiveram acertos parciais, assinalando, respectivamente, 0 e 0 das proposições corretas, chega-se a 45,44% de acerto, o que poderia apontar para um grau de dificuldade médio da questão. Surpreende, no entanto, nessa questão, que 5,76% dos candidatos tenham assinalado a proposição 0 como correta, isto é, que tenham considerado correto que um preço 00% menor do que 40 reais é um preço de 0 reais.

7 ) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. A solução da equação ( + )! + ( + )! = 8 ( + )! é 0 (zero). 0. A solução da equação A, = 4 A, é Um time de futebol de salão é formado por 5 jogadores. Dispondo de 8 jogadores, podemos formar 64 times de futebol de salão. 08. O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra BRASIL, que começam com B e terminam com L, é No desenvolvimento do binômio ( ) 6 é. Gabarito: 7 ( ) Número de acertos: 65 (4,08%), o termo independente de Transparece de forma clara, nesta questão, a preocupação dos candidatos em não assinalarem proposições incorretas, pois, somando ao percentual (4,08%) dos candidatos que acertaram a questão, o percentual dos que obtiveram acertos parciais, chega-se a 78,47%. Isso leva a concluir que, apesar do baio índice de acerto total, a questão era fácil, ou, no máimo, apresentava um grau médio de dificuldade. ) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem é Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem. 04. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas. 08. A soma das raízes da equação = 0 é O sistema y = 0 + y = 0 é indeterminado. Gabarito: 08 (08) Número de acertos:.70 (,09%) Grau de dificuldade previsto: Fácil Chama a atenção aqui que a única proposição correta (08) fez parte da resposta de 4,% dos candidatos, enquanto 5,% deles incluíram em sua resposta a proposição 6, que está incorreta e é muito simples, pois trata de um sistema de equações lineares com duas variáveis que têm solução única e pode ser resolvido de uma forma direta e até mesmo mentalmente.

8 ) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. Para que o polinômio p() = (a + b) + (a b + c) + (b + c 6) seja identicamente nulo, o valor de c é O resto da divisão do polinômio por + é Dado o polinômio p() = é correto afirmar que é raiz de multiplicidade para p(). 08. A equação polinomial 4 + = 0 possui as raízes a, b e c. Logo, a soma a + b + c é igual a. Gabarito: 0 (0 + 08) Número de acertos:.94 (,4%) Nesta questão,,% dos candidatos obtiveram acerto parcial. Somando esse percentual ao dos que acertaram integralmente a questão, obtém-se 5,6%, confirmando o grau médio de dificuldade previsto. Observa-se, nesta questão, uma dificuldade considerável dos candidatos, relativa às relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação polinomial. 4) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. Os catetos de um triângulo retângulo medem 0cm e 50cm. Pelo ponto do menor cateto, que dista 6cm do vértice do ângulo reto, traçase uma reta paralela à hipotenusa. O menor dos segmentos determinados por essa reta no outro cateto mede 0cm. 0. Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados correspondentes proporcionais. 04. Num triângulo isósceles com 4cm de altura e 6cm de base, cada um dos lados iguais mede 60cm. 08. Uma rampa plana com 0m de comprimento faz um ângulo de 5 o com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe inteiramente a rampa eleva-se verticalmente 9,66m. Dados: sen 5 o = 0,59; cos 5 o = 0,966 e tg 5 o = 0,68. Gabarito: 0 (0 + 0) Número de acertos:.08 (4,75%) Pode-se dizer que esta questão foi fácil, pois,49% dos candidatos obtiveram acerto parcial, o que fornece 46,4% dos candidatos que não assinalaram proposição errada em sua resposta. É provável que, se não eistisse o medo de assinalar proposição incorreta na resposta, esta questão tivesse atingido um percentual de acerto bem maior. Surpreende, no entanto, que 5,0% dos candidatos tenham assinalado a proposição 08 como correta, mostrando que não distinguem o seno do cosseno, em suas formas mais simples.

9 5) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm, é: Assinale no cartão-resposta o resultado numérico encontrado. Gabarito: 4 (Questão aberta) Número de acertos:.58 (,05%) Grau de dificuldade previsto: Difícil Trata-se de uma questão aberta sobre geometria espacial, na qual o candidato necessitava, entre outras coisas, de uma capacidade de visualização espacial de um sólido. A dificuldade esperada se confirmou. 6) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) 0. + y + 6y + = 0 é a equação da circunferência de raio r = que é concêntrica com a circunferência + y + 6y + 9 = O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(, ) e B(, ) é. 04. Sabe-se que o ponto P(p, ) é eqüidistante dos pontos A(, ) e B(, 4). A abscissa do ponto P é. 08. As retas r: y + 5 = 0 e s: 4 6y = 0 são perpendiculares. 6. O ponto P(, 4) é um ponto da circunferência de equação + y + 4y = 0. Gabarito: 06 (0 +04) Número de acertos:.8 (4,5%) Levando em consideração a preocupação dos candidatos em não assinalar proposição errada, e que,7% deles obtiveram acerto parcial nesta questão, pode-se considerar confirmado o grau de dificuldade médio previsto para ela. Chama a atenção o fato de 4,7% dos candidatos terem assinalado como correta a proposição errada 08, que versa sobre retas perpendiculares. Isso revela que o assunto talvez esteja sendo pouco eplorado no Ensino Médio.