5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

Transcrição

1 MATEMÁTICA CADERNO CURSO D ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Logaritmos: Definição e Eistência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = ( ) = = = = d) log 8 = 8 = ( ) = = = = e) log 9 7 = 9 = 7 ( ) = = = = f) log 8 () = 8 = ( ) = = = = g) log 7 (9) = 7 = 9 ( ) = = = = ) I) log = log = II) log = = ( ) = = = = 7) I) log () = = = = = II) log = y y = y = y = III) log = 8 III) log log = = = IV) M = log () log log = + = + = + = = ) log = = = ( ) = = = = ) log 777 = = 777 = = ( ) = = ) Sendo b a base procurada, onde b 0 e b, temos: log b = b = b = b 8 8 = b = b = 8) I) log 8 = y + = 8 y + = ( ) y + = y + = y + y = II) log 9 y = 9 9 y = 9 ( ) y = 9 y = 9 y = 9 + y = 9 y = III) + y = 9 y = y = = y = = y = 9) Se a e b são as raízes da equação = 0, então a. b = 0 Assim, log = log = log 0 = ab 0 0) Fazendo log a b = a = b, temos: a log a b = a = b

2 n Módulo Propriedades dos Logaritmos ) log b 7 + log b log b = log b (7) + log b log b = log b ( ) + log b log b = log b + log b log b = log b ( ) log b = log b = log b = b = = b = b ) log (,9) log (,) = log,9 = log 8, Fazendo log 8 = = 8 ( ) = = = = Portanto, log (,9) log (,) = 7) log = log y + log y + log y log = log y + log y + log y log = log (y y y ) log = log y = y () = y = y = y a 8) Se log c a =, log c b = e y = b c, então: b c log c y = log c = log c (a b. c. b. c ) = a b c b. c = log c (a. b. c. b. c ) = log c (a. b. c ) = = log c a + log c b + log c c = = log c a log c b log c c = =... = 9 = ) log b log a = log = = b = 8 a b a b a 9) Se log = e log = y, então: log 7 = log ( ) = log + log = = log + log = + y ) Se log 0 =,09, então: log 0, = log 0 = log 0 log 0 00 =,09 = 0,09 00 ) log m = log log m + log = log (m ) = m = 0 00 m = m = 0) log m log m = log log m log m = log log m = log log m = log log m = log m = ) log = log b + log c log a log = log b + log c log a log = log (b c ) log a log = log = bc bc a a ) I) log ( + ) log () = log ( + ) log () = ( + log ) ( + ) = = ( + ) = = 8 ( ) ± ± 8 + = 0 = = Como a é o menor valor de, temos que: a =

3 II) log = log = a = log = log = log = log = log ) = log log 7 log = log 7 log = log log log log = log = log = log log log log = = ) log (7 ) + log + log ( ) = 0 [. log 7 + log 7 log ] + log = 0 [. log 7 + log 7 log + log ( 7)] = 0 ( log 7+ log 7 log + log + log 7) = 0 (. log 7 + log 7) = 0 log 7 ( + ) = 0 = 0 ou + = 0 = 0 ou = ) Se log = a e log = b, então: log + log log = log + log log = log = log + log = log log = log + log = log = = = log a a 7 ) log a + log a = log a + log a = log a a log a a log a log a log + = a log a + = log a a log a a log a + log a = 0 log a = log a = a = a = ) I) log 0 = log 0 = II) Se a + b = 8ab, então: (a + b) log = log a + ab + b 8ab + ab = log = ab ab = log = log 0 = log ( 0) = log + log 0 = 0ab ab + 7 = + = = 7) y = y = log log + log 9 y = y log + = log 9 y = log + log y = y = log + log y = y = log ( y) = y = y = y = fi y = 7 y = = 7 = 9 y = fi + y = 9 + = = 8) I) Observe que: + = II) população atual: P população após ano: P população após anos: P t população após t anos: P. III) Devemos ter: P log t log t t = P t = = log t log = log = log t (log 00 log 9) = log t [ log( )] = log t ( log log ) = log t ( 0,0 0,8) = 0, t (0,0) = 0, 0, t = = 0,0 Resposta: t = anos ab 00 9

4 9) Para log 0 = m e log 0 = n, temos: log 0 log 0 ( ) log 0 + log 0 m + n log = = = = log 0 0 log 0 0 log 0 m log 0 0) I) log 8 = log = log = log = log log log II) log = = = = log log II) log + log( ) = 0 log + = = ( + ) = ( ) + = 0 + = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 ou =. < < III) fi = 0 = 0 ou = + = 0 = log = log ( ) = [log + log ] + + = + = = ) log = log + log 8 log = log ( 8) = 8 8 = 0 ( 8) = 0 = 0 ou = 8 Pela condição de eistência dos logaritmos, 0. Assim, S = {8} ) I) p = log = p log 00 log 0 log 0 log 00 = = = = log p p log ( ) [log + log ] [p + ] = = = = p p p n Módulo Resolução de Equações Logarítmicas ) log + log ( ) = log log [ ( )] = log ( ) = = 0 = ou = 9 Pela condição de eistência dos logaritmos, devemos ter, então a única solução é = 9. ) log ( + ) + log ( ) = log Pela condição de eistência dos logaritmos, devemos ter: a) ( + ) 0 b) ( ) 0 c) 0 e Assim, (a) (b) (c) Desta forma, log [( + ) ( )] = log log ( ) = = = = ± Pela condição de eistência dos logaritmos, temos S = {} ) I) Condições de eistência: < < + > 0 > > 0 < p + p ) a) I) f() = log (9 ) = 9 = = = 9 Para > 0, temos: = = = V f = II) g() = log = = = = 7 V g = {7} b) + f() + g() = + log (9 ) + log = = + log 9 + log + log = = + +. log. log = + log ). log y + (log y) =. log y + = log y y = y =. log y + log y = y =. log y = y = log y = y = = y y = = y y y = 0 = y y = ou y = =, pois e y y = Assim, + y = + = 0

5 7) log + log y = log log y = log + log y =. log = log + log y = log = log + log y = = + log y = = log y = = y = 8 = fi V = {(; 8)} n Módulo Função Logarítmica ) + 0 ou, pois o gráfico de g() = + é do tipo: () = y 8) log ( ) log y = log = y. log ( ) log y =. log = y + log = log () y Logo, D(f) = / ou ) ,, pois o gráfico de g() = é do tipo: = y + = y + = y + = y + y + = y + = y = y + + y = y = = y = log 9) log ( ) log = log ( ) = log log log ( ) = log ( ) log = log ( ) log = log ( ) = = + = 8 + = 0 8 ± 8 8 ± = = = +, pois > ( ) Assim, temos: D(f) = ) O campo de definição de uma função é o conjunto para o qual a função está definida. Em outras palavras, o campo de defi - nição é o mesmo que o domínio da função. Desta forma, pela condição de eistência dos logaritmos, temos: D(f) = { + 0 e + 0 e + } Assim sendo: a) + 0 ou, pois o gráfico de g() = + é do tipo: 0) Sendo log, = 0,8, temos: log log = 9 log = 9 log = 9 log = 9 log = 9 log = 9 9. log, = 9. 0,8 = 9 = = 0 0,8 b) + 0 c) + 0

6 De (a) (b) (c), temos: Portanto, temos a seguinte figura: (AC) = + 8 AC = + AC = 80 = ) Portanto, D(f) = / 0 ou 0 ou ) Se os pontos (, ) e (, 0) pertencem ao gráfico de f() = a b log, temos: I) f() = a b log = a b 0 = a = II) f() = 0 b log = 0 b log = log b = log b = Logo, a + b = + = ) A CDE = 0% de A ABDE ( ) ( log ) 0 (log + ) ( ) = 00 log = (log + ) ( log ) = log + 0 log = log + log = 8 log = log = = = = 8 7) Fazendo = 0 em (I), temos: y = 0 y = OP = Fazendo y = 0 em (II), temos: log = 0 = 0 = OQ = Desta forma, A(, ) Fazendo = em (I), temos: y = = D(, ) Fazendo y = em (II), temos: log = = = 9 B(9, ) e C(9, ) Para = a, temos: y = log (a + b) (a b) = 0 (a b) = (a + b) 0 a b = b = a Para = a, temos: y = log (a + b) (a b) = log (a + a ) [a (a )] = log (a ) (a + ) = a + = (a ) a + = a a + a a = 0 a (a ) = 0 a = 0 (não serve) ou a =

7 8) I) log 0 + log 0 ( + ) log 0 + log 0 ( + ) log 0 0 log 0 [ ( + )] log 0 0 ( + ) ) log 0 ( ) log 0 0 log 0 ( ) log FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Progressões Geométricas Verificando as condições de eistência dos logaritmos, tem-se: II) 0 III) + 0 Assim, ) Por eemplo, q = e a = (a n ) = ( ; ; ; 8;...) estritamente decrescente. ) Considerando a P.G. (0 000; 000; ), a razão é a 000 q = = =, e o terceiro termo é a a = a. q = 000., = 00 Portanto, S = { 0 } 9) log 0, [log (0,) ] log 0, ( + ) log (0,) + ( ) log 0, + ( ) log + ( ) ( ) log Pela condição de eistência dos logaritmos, devemos ter: + 0 Portanto, S = 0) I) log ( + ) log ( ) log log ( ) ( + 7). ( ) 0 II) Analisando a condição de eistência dos logaritmos, te - mos: Portanto, S = 7 ; 7 ) A sequência em questão é uma progressão geométrica de ọ termo a = e razão q =. Como a n = a. q n, o ọ termo é a = a. q 0 =. 0 = 0. 0 = 0. 0 = 087 e < 087 < ) Na progressão geométrica dada tem-se a = e q = e, utilizando o termo geral a n = a. q n, resulta a = a. q 0 =. 0 = = = Resposta: ) Em 90, a pintura valia 00 dólares. Em 9, a pintura valia (. 00) dólares. Em 9, a pintura valia (. 00) dólares. Em 00, a pintura valia ( 0. 00) dólares = 000 dólares. 0 ) I) horas = 80 min = 9. 0 min II) Após horas, o número de bactérias da espécie que divide-se em duas a cada 0 minutos, é o 9 ọ termo da P.G. (,,, ), assim, a 9 = a. q 8 =. 8 = 8 III) horas = 80 min =. 0 min IV) Após horas, o número de bactérias da espécie que divide-se em duas a cada 0 minutos, é o ọ termo da P.G. (,,, ), assim, b = b. q =. = a 8 9 V) A relação pedida é = = = 8 b 7

8 7) Na P.G.(; a; ), tem-se a = e q = a. Se a 9 =, então: a 9 = a. q 8 fi =. a 8 8 = a 8 8 a = ± 8 = ± 8) A cada ano que passa, o valor do carro passa a ser 70% do valor do ano anterior (00% 0% =70%). Se v é o valor do ọ ano, no oitavo ano, o car ro estará valendo a 8 = a. q 7 = v. (0,7) 7 = (0,7) 7. v II) Se (; y; z) é um P.A. com + y + z = e razão r = q = 9, tem-se: + y + z = = y 9 y + y + y + = = y 9 z = y + 9 z = y + 9 y = = y 9 y = = z = y + 9 z = 9) Sendo a =, q =, a n = 79 e a n = a. a n, resulta 9 79 =. n. = n 8 = n n = 8 n = 9 9 n Módulo Propriedades da Progressão Geométrica ) Se ( ; ; ) é uma P.G., então: () =. =. = =. = = = = 9 ) Se, +, estão em P.G., nesta ordem, então ( + ) = ( ) + + = + = 8 = =. 8 ) Se (log a; log b; log c) é uma P.A., então: log a + log c log b =. log b = log a + log c log b = log(a. c) b = a. c fi (a; b; c) é uma P.G. ) Se ( + ; + ; + ) é uma P.G., então: ( + ) = ( + ). ( + ) = = Assim, para =, tem-se a P.G. (; ; 9), cuja razão é 9 q = = = ) I) Se ; a; 7 é uma P.G,. com a > 0, tem-se: a = a. q 7 =. q q = 8 fi q = 9, pois a > 0 ) Na P.G.(; ; 8; ), temos a = e q =. Então, a = a. q 0 =. 0 O produto dos primeiros termos da P.G. é P = (a. a ) = (.. 0 ) =. 0 = =. 0 e todos os termos são positivos. Resposta: P =. 0 7) I) a = fi a n = a. q n = n = q = II) P n = (a. a n ) n = 9 fi n = 9 n n = 9 n n = 9 n n = 0 fi fi n =, pois n > 0 n Módulo Propriedades da Progressão Geométrica a. (q n ) ) Na P.G. (; ; ; 8; ; ), sendo S n =, tem-se: q a. (q 0 ). ( 0 ) S 0 = = = 0 = ( ) = q ) I) P.G.(; ; 9; ) q = n. ( 7 ) 8 II) S 7 = = = 09 n ) A quantidade de área desmatada a cada ano, em m, são os termos da progressão geométrica (; ; ; ; ). A área total desmatada nos n anos em que ocorreram desmatamentos, em m, é a soma dos n primeiros termos dessa progressão. 8

9 Desta forma: a. [ n [q n ] ] S n = = = 8 q n = 7 n = 8 = 7 n = 7 Resposta: n = 7 ) O número de gotas que vazaram a cada hora são os termos da progressão geométrica (; ; ; 8; ) Durante as horas do dia vazaram S =. ( ) gotas, correspondente a = 0 litros, ou seja, 0 litros. 8) Para 0 = e n = a. n, tem-se: = a. 0 = a. = a = a. = a. a = a = a. = a. a = a Assim, a sequência ( ; ; ; ) = (a; a ; a ; ) é uma P.G. de primeiro termo = a e razão q = a a) Quando a =, tem-se a P.G. (; ; ; ), assim, =. q 0 = a. a 0 = a = = 08 b) Quando a =, tem-se a P.G. (; ; ; ), assim,. ( 8 ). ( ) = S 8 = = =. 0 = = 980 Resposta: a) = 08 b) = 980 ) a. (q n ) S n = q a =. ( n ) fi 80 = q = S n = 80 n = 0 n = n = 8 n = 8 ) I) a = 0 a = 0 a. q = 0 a. q = 0 a q 0 = = q = 8 q = a q 0 q 8 n Módulo Propriedades da Progressão Geométrica ) I) = = 9 II) Para poder fazer o empilhamento indefinidamente, h. Portanto, o menor valor é. II) a. q = 0 fi a. ( ) = 0 a = 0 0. [( ) 8 ] 0 III) S 8 = = = 80 ) Os triângulos equiláteros construídos de acordo com o enunciado terão as medidas dos lados constituindo uma progressão geométrica de primeiro termo cm e razão, isto é: (,,, ). 7) Sendo a =, a n = e S n = 8, tem-se: a I) S n =. (q n ) a q n a = = q q a q n. q a a n. q a = = fi q q q fi 8 = 8q 8 = q q 8q = q = II) a n = a. q n fi =. n = n fi = n = n n = III) Para q = e n =, tem-se q > n 9

10 A soma S dos perímetros da infinidade de triân gulos cons - truídos, em centímetros, é dada por: S = S =. ( ) =. = = ) A soma das áreas dos infinitos círculos é S = , que é a soma dos infinitos termos da P.G. em que a = 9 e q =. a Logo, S = 9 9 = = = = q a a ) I) S =, em que a = e q = fi q a fi S = = a II) log S = fi log = = a = a a 7) 9... = 7 = 9 7 = + = 0 = ou = O conjunto solução da equação é ;. FRENTE TRIGONOMETRIA n Módulo Estudo da Função Seno ) Para variando de 0 a 0, a epressão ( sen ) assume valor mínimo quando sen é máimo, ou seja, quando sen =. Assim, para sen =, tem-se sen = = ) I) 90 = fi 0 é ạ determinação positiva II) sen 90 = sen 0 = sen 0 = Resposta: , ) I), II)., =,8 a ) I) S =, em que S = e q 8 a = 8 fi = q 8 8 = q q = 8 q = q = II) O quinto termo dessa progressão é a = a. q = 8. = 8. = ) = 0 = 0 7 = 0 =. 0 = 0 7 III), < <,8 fi < < fi 7 fi sen < sen < sen fi < A < 0 ) sen ; sen ; sen ; ; sen ; = n = ; ; ; é uma sequência estritamente decres - cente, de termos positivos e tende a zero. 0

11 ) sen = 0 9) sen q fi Resposta: 0) cossec = = sen = sen Para 0, temos = 0 ou = ou = Resposta: V = {0; ; } ) sen = Para 0, temos = ou = Resposta: V = ; Para 0, temos = ou = Resposta: V = ; ) sen = 7) sen = A solução geral da equação, nesses pontos, é: = + n. ou = + n. Resposta: Œ = + n. ou = + n. (n Œ ) Para 0, temos = 7 ou = Resposta: V = 7 ; 8) sen = cos = = = fi fi sen =, pois Œ ọ quadrante n Módulo Estudo da Função Cosseno ) sen 90 + cos 0 + sen 70. cos 80 E = cos 0 + sen 0 = + + ( ). ( ) = = = + 0 Resposta:

12 ) Para =, temos: cos + sen sen y = = cos + sen cos + sen sen ( ) = = = + cos + sen Assim, se F() = cos, conclui-se que F < F(,) < F( ) < F 8) cos = ) Como cos para " Œ e >, não eiste arco tal que cos = 7 ) I) = + fi é a ạ determinação positiva II) =. + fi é a ạ determinação positiva III) sen. cos () = sen. cos 7 = ( ). ( ) = Resposta: Para 0, temos = Resposta: V = {} 9) cos = ) cos fi. cos fi fi. cos + fi fi f() fi Im(f) = [ ; ] ) Para " Œ, temos: cos 0 cos 0 cos + cos 8 8 Dessa forma: + = Para 0, temos = ou = Resposta: V = ; 0) sec = = cos = cos, 7) I) =,7 II), III),7 = 0,8 Para 0, temos = 0 ou = Resposta: V = {0; } ) sec = = cos = cos IV) Observando a figura, tem-se: cos,7 < cos, < cos, < cos 0,8 fi fi cos < cos, < cos < cos

13 Para 0, temos = ou = Resposta: V = ; ) cos = A solução geral da equação, nesses pontos é = + n. Resposta: V = Œ = + n., n Œ n Módulo Estudo da Função Tangente ) Para =, temos: A = sen + cos tg = = sen + cos tg = + 0 = 0 A solução geral da equação, nesses pontos, é: = ± + n. Resposta: V = Œ = ± + n, n Œ ) sen. cos = 0 sen = 0 ou cos = 0 Resposta: zero ) Para =, temos: sen +. tan. cos +. = = =. =. sen +. tan = =. cos A solução geral da equação, nesses pontos, é: = 0 + n. = n. Resposta: V = Œ = n., n Œ ) cos = cos = ± = ± = ± ) Se é raiz da equação tg m. cos + sen = 0, então: tg m. cos sen = 0 () m. + = 0 m + = 0 m + = 0 m = Resposta: ) Se tg = 0 07 > 0, pode pertencer ao ọ ou ọ qua - drantes, pois são os quadrantes nos quais a tangente é positiva. ) Para =, temos: y = cos + sen + tg sec 8 = = cos + sen + tg sec = cos = = = 0

14 ) 0) tg = ± tg = ou tg = I) sen 0 = sen 0 = II) cos 0 = cos 0 = III) tg 0 = tg 0 = IV) < < fi sen 0 < cos 0 < tg 0 7) I) 0 = II) 80 = III) 70 = IV) cos 0 + sen 80 + tg 70 = = cos 0 + sen 90 + tg 0 = = Para 0, temos = ou = ou = ou = 7 Resposta: V = ; ; ; ) I) cos a = sen a = fi cos a = 7, pois a Œ ọ quadrante sen a II) tg a = = = cos a 9 = = fi 8) I) fi a Œ sen a < 0 ọ quadrante cos a < 0 II) fi fi b Œ cos b < 0 ọ quadrante tg b < 0 cos b < 0 sen b > 0 III) fi fi g Œ sen g > 0 ọ quadrante cotg g > 0 sen g > 0 cos g > 0 9) tg = 0 ) I) cos = sen = fi cos =, pois Œ ọ quadrante II) tg = sen = = cos = = fi ) cotg = = tg = tg Para 0, temos = 0 ou = ou = Resposta: V = {0; ; }

15 Para 0, temos = ou = Resposta: V = ; ) cotg = = tg tg = =. = sen = fi sen = II) cos = sen = = III) tg sen = = = cos IV). sen 9. tg =. 9. = = 0 9 sen ) sen = cos = tg = cos Para 0, temos = ou = Resposta: V = ; ) tg = Para 0 < <, temos = ou = Resposta: V = ; ) cos + sen = 0 sen = cos sen = tg = cos A solução geral da equação, nesses pontos, é: = + n. Resposta: V = Œ = + n., n Œ n Módulo Estudo das Funções Trigonométricas ) Para cossec =, tem-se: I) cossec = fi = sen sen 7 Para Œ [0; ], temos = ou = ou =, portanto, soluções. ) sen Para que a função f() = sen + cos eista, devemos ter sen + cos 0 sen cos sen cos tg

16 sen. cos = 9) Sendo f() = sen e g() = tg, temos os seguintes gráficos: Assim, o domínio da função é (f) = + n. (n Œ ) + n. ) tg = Os pontos de encontro dos gráficos das funções são as soluções da equação f() = g(), assim, temos: sen sen sen = tg sen = sen = 0 cos cos sen = 0 sen = 0 ou cos = = n. cos A solução geral da equação é: = + n. = + + n. = + n. Resposta: Œ = + n., n Œ ) Para que a função f() = tg eista, devemos ter: + n. + n. (f) = + n., n Œ 7) A função y = tg( 0 ) não é definida para 0 = 90 + n. 80 = 0 + n. 80 = 0 + n. 90 Sendo 0 < < 90, temos, para n = 0, = 0 Resposta: 0 sen cos 8) tg + cotg = + = cos sen sen + cos = = sen. cos sen. cos Para 0 < <, a equação não tem solução, ou seja, não eis - tem pontos de encontro dos gráficos. Resposta: zero 0) Se < y <, então: tg y = + cotg y = + = + = + tg y + tg y = + tg y = + fi + + = 0 = = fi tg y = Resposta: = e y = sec + tg = m. tg = m n ) I) sec tg = n. sec = m + n m n tg = m + n sec = tg y = + = y = tg y = +

17 II) sec = + tg fi m + n = + m n m + m.n + n m m.n + n = + m + m.n + n = + m m.n + n ) m.n = m.n = ) Considerando a função g() = +, tem-se: b I) A abscissa do vértice é v = = = a II) A ordenada do vértice é y v = = = a Representando graficamente as funções g() = + e f() = sen, temos: ) I) Se a é a área de cada um dos triângulos equiláteros que formam o heágono central de área, então, = a. II) A soma das áreas dos triângulos ACE e BDF é 9a + 9a = 8a =. a = Como os gráficos não possuem intersecção, a equação sen = + f() = g() não tem solução. Resposta: zero O pentágono hachurado tem área S correspondente a dois triângulos equiláteros de lado, assim, tem-se:. S =. = FRENTE GEOMETRIA PLANA n Módulo Razão Entre as Áreas de Figuras Semelhantes e Área dos Polígonos Regulares ) ) I) A área do quadrado ABCD, em cm, é S = = II) AE = AF = =, em cm. III) A área do triângulo AEF, em cm, é AE. AF. S = = = 8 IV) A área S do octógono, em centímetros quadrados, é: S = S. S =. 8 = = I) = fi R = = =.. II) S =.. R =.. ( ) = =.. =. (. ) 7

18 ) S a OAB + S OBC. S OAB. II) S ABC = = = S OAB =. AC III) S ACM = =. a. IV) S ABCM =. S HEX fi S ABC + S ACM =. S HEX fi ) I) S HEX =. S OAB fi =. S OAB S OAB = S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC = = = S OAB = a.. a. a. fi + =.. a a a + = a + = a = a = 8 V) Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACM, temos: a (AM) = (AC) + = (a. ) + = a a 9a + = fi 7a fi AM = 8) I) O polígono regular de n lados é formado por n triângulos isósceles congruentes, como o da figura a seguir: 7) I) S HEX =. S OAB fi =. S OAB S OAB = = S OAB + S OBC. S OAB II) S ABC = = = S OAB = III) S PENT = S HEX S ABC = = II) Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: fi b b + a = r = r a fi = r a b =. r a III) A área do polígono de n lados é dada por b. a. r a. a n. = n. = na r a b a. a. I) AH = HC = fi AC =. = a. 9) Sendo R o raio do círculo maior (figura I) e r o raio de cada círculo menor (figura II), tem-se: I).. R =... r R =. r II) s =. r III) S =. R =. (. r) =. 9. r = 9.. r = 9. s 8

19 0) ) 00 00! ! = = = = !.! 98!.. + ) Se = 7, podemos ter: I) = = 0 0 fi + < < < M é ponto médio de BC I) fi N é ponto médio de BD fi MN // CD CD e MN = = II) A área do triângulo BCD é A = b b. h h b h MN.. III) A área do triângulo MNP é = = b. h b. h b. h = = =. =. A 8 S ABC ) I) S ABC =. S ADE = S ADE II) Se a razão de semelhança entre duas figuras semelhantes é, a razão entre as áreas dessas figuras é, então: S ABC BC BC BC = fi = fi = S ADE DE DE DE fi = ou = II) Para, tem-se: ( + )! ( )!. = 7.!( )!!( )!. ( + ).. ( )! 7. ( )! =.... ( + ). 7 ( + ). = = = + = 0 =, pois Resposta: V = {; ; } 7) n = n 0 = p ou + p = n, pois se + p = n os p números binomiais são complementares. 8) = 0 = 7 ou = = ou = = ou = Resposta: V = {; } n Módulo Fatorial, Número Binomial e Triângulo de Pascal!. 0. 9! ) = =. 0 = 0 9! 9! )! 0!. 0. 9! 0. 9! 0. 9!. ( ) = = 9! 9! 9! = = 0. 0 = 00 9) Utilizando a Relação de Stifel, observando as duas linhas do Triângulo de Pascal acima, tem-se: = (n + )! (n + ). n. (n )! ) = = (n + ). n = n + n (n )! (n )! ) (n + )! + (n + )! =. (n + )! (n + ). (n + ). (n + )! + (n + ). (n + )! =. (n + )! (n + ). (n + ) + (n + ) = n + n + n + + n + = n + 8n = 0 n. (n + 8) = 0 fi n = 0, pois n 0) m m m m m 0 p p m m m m m m m 0 p p m m I) m e m são números binomiais complementares, p m p pois p + m p = m, então, m = m = p m p 9

20 II) Utilizando a Relação de Stifel, observando as duas linhas do Triângulo de Pascal acima, tem-se: m + m = m fi p p p fi 0 + m = m = p p ) = = =, pois 0 = 0 é a soma de todos os números binomiais da linha. Resposta: ) = = = = = = 0 Resposta:! ) = = = = =!!...! = =. = 0, pois é a soma dos primeiros...! elementos da coluna, e o resultado localiza-se na linha seguinte ( + = ) e na coluna seguinte ( + = ), em relação ao último binomial somado. Resposta: 0 ) + 7 = = = 0 = 0 7! 7...! = = = 7. =, pois é a soma dos!!!... primeiros elementos de uma diagonal, e o resultado localizase abaio do último binomial somado. Resposta: 0 ) p 0 = = = p =! ! = = =!!.....! Resposta: m ) m m m m m = = 0 m = 0 m = 9 m = 9 n Módulo Teorema do Binômio e Termo Geral ) I) Os coeficientes da linha do triângulo de Pascal são,,, e. II) ( y) = y 0 y + y y + 0 y = = y + y y + y 0 ) I) Os coeficientes da linha do Triângulo de Pascal são,,, 0,, e II) ( ) = = ) I) No desenvolvimento de ( + ) 0, com epoentes decres - 0 centes de, o termo geral é T + =. ( ) 0. II) Fazendo =, obtém-se o ọ termo, assim: 0 T =. ( ) 0. = = 90. Resposta: 90 ) I) No desenvolvimento de +, o termo geral é T + =. ( ). =. 8. II) Para obter o termo em, devemos ter 8 = =, assim: T =. 8.. = =. ) I) No desenvolvimento de +, o termo geral é T + =. ( ). ( ) =.. = =. II) Para obter o termo em, devemos ter = =, assim, não eiste o termo pedido, pois œ. Observe que deve ser um número natural entre 0 e para que se tenha o binomial 0 Resposta: não eiste 8 = ) I) No desenvolvimento de +, o termo geral é 8 T + = = = II) Para obter o termo independente de, isto é, o termo com 0, devemos ter 8 = 0 =, assim, o termo é T + = T ( ọ termo) 7) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( + y) é obtida fazendo = e y =, assim: S = (. +. ) = ( + ) = = Resposta: 8) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( y) 0 é obtida fazendo = e y =, assim: S = ( ) 0 = 0 0 = 0

21 n Módulo Arranjos ) Já que os livros são diferentes, o número de maneiras de distribuir esses livros é A, =. = 7 ) Eistem 0 maneiras para escolher o coordenador, 9 maneiras para o secretário e 8 para o digitador, assim, o número de equipes é = 70 ou A 0; = = 70 ) Números de algarismos são do tipo C D U. Dispondo dos algarismos de 0 a 9, sem repetição, para formar números maiores que 00, o número de possibilidades é: I) para C (,, 7, 8 ou 9) II) 9 para D (deve ser diferente de C) III) 8 para U (deve ser diferente de C e de D) Assim, a quantidade pedida é = 0 Resposta: 0 ) Números de algarismos são do tipo M C D U. Dispondo dos algarismos de 0 a 9, sem repetição, para formar números ímpares, o número de possibilidades é: I) para U (,,, 7 ou 9) II) 8 para M (deve ser diferente de U e diferente de zero) III) 8 para C (deve ser diferente de U e de M) IV) 7 para D (deve ser diferente de U, de M e de C) Assim, a quantidade pedida é = 0 Resposta: 0 ) Números de algarismos são do tipo M C D U. Dispondo dos algarismos de 0 a 9, sem repetição, para formar números pares, eistem duas situações: I) Se o número terminar com zero, o número de possibili - dades é 9 para M, 8 para C e 7 para D, totalizando = 0. II) Se o número não terminar com zero, o número de possi - bilidades é para U (,, ou 8), 8 para M (deve ser diferente de U e diferente de zero), 8 para C e 7 para D, totalizando = 79 Assim, a quantidade pedida é = 9 Resposta: 9 ) Dispondo dos algarismos,, e, sem repetição, podem ser formados: I) Números com algarismo, num total de II) Números com algarismos, num total de. = III) Números com algarismos, num total de.. = IV) Números com algarismos, num total de... = Assim, a quantidade pedida é = 7) Com clubes de futebol, o número de possibilidades para escolher o time que joga no seu campo é e o número de maneiras para escolher o seu adversário é. Assim, o total de jogos é. = 8 ou A, =. = 8 Resposta: 8