5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

Transcrição

1 MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Logaritmos: Definição e Existência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = ( ) = = = = d) log 8 = 8 = ( ) = = = = e) log 9 7 = 9 = 7 ( ) = = = = f) log 8 () = 8 = ( ) = = = = g) log 7 (9) = 7 = 9 ( ) = = = = ) I) log = log = II) log = x x = ( ) x = x = x = x = 7) I) log () = x x = x = x = x = II) log = y y = y = y = III) log = 8 III) log log = = = IV) M = log () log log = + = + = + = = ) log = = = ( ) = = = = ) log 777 = = 777 = = ( ) = = ) Sendo b a base procurada, onde b 0 e b, temos: log b = b = b = b 8 8 = b = b = 8) I) log 8 x = y + x = 8 y + x = ( ) y + x = y + x = y + x y = II) log 9 y = x 9 9 y = x 9 ( ) y = x 9 y = x 9 y = x 9 x + y = 9 x y = III) x + y = 9 x y = y = x = x y = = y = 9) Se a e b são as raízes da equação x 7x + 0 = 0, então a. b = 0 Assim, log = log = log 0 = ab 0 0) Fazendo log a b = x a x = b, temos: a log a b = a x = b

2 n Módulo 8 Propriedades dos Logaritmos ) log b 7 + log b log b = log b (7) + log b log b = log b ( ) + log b log b = log b + log b log b = log b ( ) log b = log b = log b = b = = b = b ) log (,9) log (,) = log,9 = log 8, Fazendo log 8 = x x = 8 ( ) x = x = x = x = Portanto, log (,9) log (,) = 7) log x = log y + log y + log y log x = log y + log y + log y log x = log (y y y ) log x = log y x = y (x) = y x = y x = y a 8) Se log c a =, log c b = e y = b c, então: b c log c y = log c = log c (a b. c. b. c ) = a b c b. c = log c (a. b. c. b. c ) = log c (a. b. c ) = = log c a + log c b + log c c = = log c a log c b log c c = =... = 9 = ) log b log a = log = = b = 8 a b a b a 9) Se log = x e log = y, então: log 7 = log ( ) = log + log = = log + log = x + y ) Se log 0 =,09, então: log 0, = log 0 = log 0 log 0 00 =,09 = 0,09 00 ) log m = log log m + log = log (m ) = m = 0 00 m = m = 0) log m log m = log log m log m = log log m = log log m = log log m = log m = ) log x = log b + log c log a log x = log b + log c log a log x = log (b c ) log a log x = log x = bc bc a a ) I) log ( + x) log (x) = log ( + x) log (x) = ( + log x) ( + x) = = x x ( + x) = 8x + x + x = 8x ( ) ± ± 8 x x + = 0 x = = Como a é o menor valor de x, temos que: a =

3 II) log = log = a = log = log = log = log = log ) x = log log 7 log = log 7 log = log log log log = log = log = log log log log = = ) x log (7 x ) + log + log ( x ) = 0 x [x. log 7 + log 7 log ] + x log = 0 x [x. log 7 + log 7 log + log ( 7)] = 0 x (x log 7+ log 7 log + log + log 7) = 0 x (x. log 7 + log 7) = 0 x log 7 (x + ) = 0 x = 0 ou x + = 0 x = 0 ou x = ) Se log = a e log = b, então: log + log log = log + log log = log = log + log = log log = log + log = log = = = log a a 7 ) log a + log a = log a + log a = log a a log a a log a log a log + = a log a + = log a a log a a log a + log a = 0 log a = log a = a = a = ) I) log 0 = log 0 = II) Se a + b = 8ab, então: (a + b) log = log a + ab + b 8ab + ab = log = ab ab = log = log 0 = log ( 0) = log + log 0 = 0ab ab + 7 = + = = 7) x y = x y = log log x + log 9 y = y log x + = log 9 x y = log x + log y = x y = log x + log y = x y = log (x y) = x y = x y = x y = fi x x y = 7 x y = x = 7 x = 9 y = fi x + y = 9 + = = 8) I) Observe que: + = II) população atual: P população após ano: P população após anos: P t população após t anos: P. III) Devemos ter: P log t log t t = P t = = log t log = log = log t (log 00 log 9) = log t [ log( )] = log t ( log log ) = log t ( 0,0 0,8) = 0, t (0,0) = 0, 0, t = = 0,0 Resposta: t = anos ab 00 9

4 9) Para log 0 = m e log 0 = n, temos: log 0 log 0 ( ) log 0 + log 0 m + n log = = = = log 0 0 log 0 0 log 0 m log 0 0) I) log 8 = k log = k log = k log = log log log II) log = = = = log log k k II) log x + log( x) = 0 log x + x = 0 0 x + = x ( x + ) = ( x) x + = 0x + x x x = 0 x x = 0 x (x ) = 0 x = 0 ou x =. < x < III) fi x = 0 x = 0 ou x = x + x = 0 = log = log ( ) = [log + log ] k k k k k + k + = + = = k k k ) log x = log x + log 8 log x = log (x 8) x = 8x x 8x = 0 x (x 8) = 0 x = 0 ou x = 8 Pela condição de existência dos logaritmos, x 0. Assim, S = {8} ) I) p = log = p log 00 log 0 log 0 log 00 = = = = log p p log ( ) [log + log ] [p + ] = = = = p p p n Módulo 9 Resolução de Equações Logarítmicas ) log x + log (x ) = log log [x (x )] = log x (x ) = x x = 0 x = ou x = 9 Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter x, então a única solução é x = 9. ) log (x + ) + log (x ) = x log x Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter: a) (x + ) 0 x b) (x ) 0 x c) x 0 e x Assim, (a) (b) (c) x Desta forma, log [(x + ) (x )] = x log x log (x ) = x = x = x = ± Pela condição de existência dos logaritmos, temos S = {} ) I) Condições de existência: < x < x + > 0 x > x > 0 x < p + p ) a) I) f(x) = log (9x ) = 9x = x = x = 9 Para x > 0, temos: x = = = V f = II) g(x) = log x = = x = = 7 V g = {7} x b) + f(x) + g(x) = + log (9x ) + log = x = + log 9 + log x + log x = = + +. log x. log x = + log x ). log y x + (log x y) =. log y x + = log x y x y = x y =. log y x + log y x = x y =. log y x = x y = log y x = x y = x = y x y = x = y y y = 0 x = y y = ou y = x =, pois x e y y = Assim, x + y = + = 0

5 7) log x + log y = log x log y = log x + log y =. log x = log x + log y = log x = log x + log y = x = + log y = x = log y = x = y = 8 x = fi V = {(; 8)} n Módulo 0 Função Logarítmica ) x x + 0 x ou x, pois o gráfico de g(x) = x x + é do tipo: ()x = y 8) log (x ) log y = log x = y. log (x ) log y =. log x = y + x log = log () y Logo, D(f) = x / x ou x ) x + x + 7 0, x, pois o gráfico de g(x) = x + x + 7 é do tipo: x = y + x x = y + x = y + x = y + y + = y + = y x = y + x + y = y = x = y = log x 9) log (x ) log x = log (x ) = log log log (x ) x = log (x ) log x = log (x ) log x = log (x ) x = = x x + = x x 8x + = 0 8 ± 8 8 ± x = = x = +, pois x > (x ) x Assim, temos: D(f) = ) O campo de definição de uma função é o conjunto para o qual a função está definida. Em outras palavras, o campo de defi - nição é o mesmo que o domínio da função. Desta forma, pela condição de existência dos logaritmos, temos: D(f) = {x x x + 0 e x + 0 e x + } Assim sendo: a) x x + 0 x ou x, pois o gráfico de g(x) = x x + é do tipo: 0) Sendo log, = 0,8, temos: x log x log x = 9 log = 9 log = 9 x x x log = 9 x log = 9 x log = 9 9 x. log, = 9 x. 0,8 = 9 x = x = 0 0,8 b) x + 0 x c) x + x 0

6 De (a) (b) (c), temos: Portanto, temos a seguinte figura: (AC) = + 8 AC = + AC = 80 = ) Portanto, D(f) = x / x 0 ou 0 x ou x ) Se os pontos (, ) e (, 0) pertencem ao gráfico de f(x) = a b log x, temos: I) f() = a b log = a b 0 = a = II) f() = 0 b log = 0 b log = log b = log b = Logo, a + b = + = ) A CDE = 0% de A ABDE ( k) ( log k) 0 (log k + ) ( k) = 00 log k = (log k + ) ( log k) = log k + 0 log k = log k + log k = 8 log k = log k = k = k = k = 8 7) Fazendo x = 0 em (I), temos: y = 0 y = OP = Fazendo y = 0 em (II), temos: log x = 0 x = 0 x = OQ = Desta forma, A(, ) Fazendo x = em (I), temos: y = = D(, ) Fazendo y = em (II), temos: log x = x = x = 9 B(9, ) e C(9, ) Para x = a, temos: y = log (a + b) (a b) = 0 (a b) = (a + b) 0 a b = b = a Para x = a, temos: y = log (a + b) (a b) = log (a + a ) [a (a )] = log (a ) (a + ) = a + = (a ) a + = a a + a a = 0 a (a ) = 0 a = 0 (não serve) ou a =

7 8) I) log 0 x + log 0 (x + ) log 0 x + log 0 (x + ) log 0 0 log 0 [x (x + )] log 0 0 x (x + ) 0 x + x 0 x + x 0 0 x ) log 0 (x ) log 0 0 log 0 (x ) log x 0 x 0 ) log x =,77 = 0,77 = = + 0,77 = + 0,88 =, 88 A característica é e a mantissa é 0,88. Verificando as condições de existência dos logaritmos, tem-se: II) x 0 III) x + 0 x Assim, ),. = ( + 0,). = +, = = + + 0, = + 0, =, ), +,00 + 0,700 = = + 0, + ( + 0,00) + 0,700 = = +, = + + 0, = + 0, =, Portanto, S = {x 0 x } 9) log 0, [log (0,) x ] log 0, (x + ) log (0,) x x + (x ) log 0, x + (x ) log x + (x ) ( ) log x + x + x + x x x Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter: x + 0 x Portanto, S = x x 0) I) log (x + ) log (x ) log log x + x x + x + 0 x x x + (x ) x x x ( x + 7). (x ) 0 x II) Analisando a condição de existência dos logaritmos, te - mos: x + 0 x 0 x x Portanto, S = 7 ; x 7 ) a) log 00 = log ( 0 ) = log + log 0 = 0,0 + =,0; b) log 0,00 = log ( 0 ) = log + log 0 = 0,0 = =,99 =,0; c) log = log ( ) = log + log = 0,0 + 0,77 = 0,778; d) log 0 = log ( 0) = log + log 0 = 0,778 + =,778; e) log, = log = log log 0 = log ( ) = 0 = log + log = 0,77 + log 0 = = 0,77 + log 0 log = 0,77 + 0,0 = 0,7; f) log 8 = log log 0,77 = log = = = log 0,0 =,87 =,9 ) log = log = log = log 0 = = [log 0 log ] [ 0,] =, 7) = x log = log x log = log x 0, = log x log x =, x = 0, x = 0 0, 0 x = 0 0 Assim sendo, p = 0 e q = 8) Se N(t) = 0 t, então: I) Para t = 0 N(0) = 0 0 N(0) = 0 é a quantidade inicial de bactérias II) Para N(t) = 00 N(0), devemos ter: 0 t = 00 0 t = 0 log t = log 0 0 t log = t 0, = t = = 0, 0 III) h = h = + h = h + h = h0min 7

8 9) Como a calculadora possui digitos, quando digitarmos o número e apertarmos a tecla log, o resultado que irá aparecer será: Após apertar a ạ vez: mantissa log = 0,... 0 com 0 casas decimais Após apertar a ạ vez: mantissa log (0,...) =,... 0 com casas decimais Após apertar a ạ vez: mantissa log (,...) = 0,... 0 com casas decimais Após apertar a ạ vez: log (0,...) 0 Pela definição de logaritmos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, se apertarmos a tecla log pela ạ vez a mensagem erro irá aparecer no visor. 0) x = ( ) x = ( ) x = log ( ) x = log ( ) x log ( ) = log ( ) log ( x = ) log + log = = log ( ) (log + log ) 0,0 + 0,8 0,90 + 0,8,8 8 = = = = = (0,0 + 0,8) 0,78, FRENTE TRIGONOMETRIA n Módulo 7 Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo (continuação) sen x + sec x + tg x cos x cos x ) = = cos x + cotg x cos x cos x + sen x + sen x + sen x cos x cos x = = = sen x. cos x + cos x sen x + sen x sen x =. = cos x cos x. ( + sen x) sen x =. = (sec x). (tg x) cos x cos x cos x. ( + sen x) sen x 9 78 ) f(0 ) = sen 0 + cos 0 + cotg cossec 0 tg 0 sec 0 f(0 ) = f(0 ) = f(0 ) = f(0 ) = ) sen a + cos a = m fi (sen a + cos a) = m fi fi sen a + sen a. cos a + cos a = m fi fi sen a. cos a = ) y = (sec a cos a). (cossec a sen a). (tg a + cotg a)= sen a cos a = cos a. sen a. + = cos a sen a cos a sen a cos a sen a sen a + cos a =.. = cos a sen a sen a. cos a sen a cos a =.. = cos a sen a sen a. cos a = sen a. cos a. = sen a. cos a sen a sen b cos a + cos b ) y = + = cos a cos b sen a + sen b (sen a sen b).(sen a + sen b)+(cos a + cos b).(cos a cos b) = = (sen a + sen b).(cos a cos b) (sen a sen b) + (cos a cos b) = = (sen a + sen b).(cos a cos b) = = 0 (sen a + sen b).(cos a cos b) ) Para tg x = t, temos: y = m sen x + sen x. cos x sen x cos x tg x + tg x = tg x = t + t t sen x sen x. cos x + cos x cos x = sen x cos x cos x cos x t. (t + ) = (t + ).(t ) t = t = 8

9 tg a + tg b tg a + tg b 7) = = cotg a + cotg b + tg a tg b tg a + tg b tg a. tg b = = (tg a + tg b). = tg a. tg tg b + tg a b (tg a + tg b) tg a. tg b n Módulo 8 Arcos de Circunferência e Arco ou Ângulo Trigonométrico ) C =.. R =.. cm = 0. cm Resposta: 0. cm comp ( AB) cm cm ) a = fi, = r = = 0 cm r r, Resposta: 0 cm 8) Para cos x =, temos: cossec x sec x sen x cos x y = = = cotg x cos x sen x cos x sen x sen x. cos x cos x sen x sen x = =. = cos x sen x sen x. cos x cos x sen x sen x 0. rad ) I) a = 0 = = rad 80 comp ( AB) comp ( AB) II) a = fi = r cm comp ( AB). cm, cm = = =,7 cm Resposta:,7 cm ) = = = cos x 9) Para tg a =, temos: sen a cossec a sen a sen a y = = = sec a cos a cos a cos a I) Se o perímetro do setor circular é igual ao perímetro do quadrado, então, x + R + R = R x = R II) Pela definição de medida de arco, em radianos, temos: x R a = = = R R sen a cos a sen a sen a = = = cos a cos a sen a cos a ) cos a cos a cos =. a = = sen a sen a sen a = cotg a = = = 8 tg a 8 0) Para sen x =, temos: cos x sen x = (cos x + sen x).(cos x sen x) = =. ( sen x sen 7 x) = = comp ( AB) 0 cm a = = r 0 cm = Resposta: rad ). rad, = = rad 80 rad 0,09 rad Resposta: 0,09 rad 9

10 7) 0) I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 0 II) x + a = 0 fi a = 0 x = = 0 Resposta: 0 I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 0 II) x + a = 90 fi a = 90 x = = 8 0 8) ) I) Verdadeira, pois para o ponteiro das horas, temos: tempo ângulo 0 min 0 t. 0 t fi a = = graus t min x 0 II) Verdadeira, pois para t =, temos: a = graus = I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = 7, = 7 0 min x 0 III) Verdadeira, pois: II) x + a = 90 fi a = 90 x = = 8 0 Resposta: 8 0 9) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min 0. 0 fi x = = min x 0 Portanto, x + a = 0 + fi + a = a = I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 0 min fi x = = 0 min x 0 II) x + a = 0 fi a = 0 x = 0 = Resposta: IV) Verdadeira, pois em minutos o ponteiro dos minutos percorre = da volta, assim, a extremidade descreve 0 um arco de... R =..,. 0 cm =, cm, pois R = 0 cm é a medida do ponteiro e corresponde ao raio da circunferência. 0

11 ) a) fi 000 = , portanto, a ạ 70 determinação positiva é ) b) 0 0 fi 0 =. ( 0 ) 0, assim, a ạ determinação negativa é 0, 0 portanto, a ạ determinação positi - va é 0 0 = 0 c) 8 = 8 fi =. +, portanto, a ạ determinação positiva é Respostas: a) 80 ; b) 0 ; c) ) Os arcos côngruos de 0 são do tipo 0 + n. 0, com n Œ. Assim, os arcos positivos menores que 00, são: I) Para n = fi = 00 II) Para n = fi = 0 III) Para n = fi = 00 IV) Para n = fi = 80 Resposta: 00, 0, 00 e 80 7) ) a) n. (n Œ ) b) + n. (n Œ ) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) 0 + n. 0 (n Œ ) f) 00 + n. 0 (n Œ ) comp ( AB) 0 cm a = = = r cm Resposta: rad ) a) + n. (n Œ ) b) n. (n Œ ) 8) c) + n. (n Œ ) d) + n. (n Œ ) e) n. (n Œ ) f) + n. (n Œ ) g) ± + n. (n Œ ) h) ± + n. (n Œ ) i) ± 0 + n. 0 (n Œ ) I) Se a corda AB mede 0 cm, então, o triângulo OAB é equilátero, portanto, A ^OB = a = 0 = comp ( AB) comp ( AB) II) a = fi = r 0 cm rad comp( AB) 0 = cm Resposta: 0 cm

12 n Módulo 9 Estudo da Função Seno ) Para x variando de 0 a 0, a expressão ( sen x) assume valor mínimo quando sen x é máximo, ou seja, quando sen x =. Assim, para sen x =, tem-se sen x = = Para 0 x, temos x = 0 ou x = ou x = Resposta: V = {0; ; } ) sen x = ) I) 90 = fi 0 é ạ determinação positiva II) sen 90 = sen 0 = sen 0 = Resposta: 7 7., ) I), II)., =,8 Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; 7) sen x = III), < <,8 fi 7 < < fi 7 fi sen < sen < sen fi < A < 0 ) sen ; sen ; sen ; ; sen ; = n = ; ; ; é uma sequência estritamente decres - cente, de termos positivos e tende a zero. ) sen x = 0 Para 0 x, temos x = 7 ou x = Resposta: V = 7 ; 8) sen x = cos x = = = fi fi sen x =, pois x Œ ọ quadrante 9) x sen q fi x x x Resposta: x

13 0) cossec x = = sen x = sen x cos + sen sen ( ) = = = + cos + sen ) Como cos x para "x Œ e >, não existe arco x tal que cos x = 7 ) I) = + fi é a ạ determinação positiva Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; ) sen x = II) =. + fi é a ạ determinação positiva III) sen. cos () = sen. cos 7 = ( ). ( ) = Resposta: ) cos x fi. cos x fi fi. cos x + fi fi f(x) fi Im(f) = [ ; ] ) Para "x Œ, temos: cos x 0 cos x 0 cos x + cos 8 x 8 Dessa forma: + =, 7) I) =,7 A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = + n. ou x = + n. Resposta: x Œ x = + n. ou x = + n. (n Œ ) II), III),7 = 0,8 n Módulo 0 Estudo da Função Cosseno sen 90 + cos 0 + sen 70. cos 80 ) E = = cos 0 + sen ( ). ( ) = = = + 0 Resposta: ) Para x =, temos: cos x + sen x sen x y = = cos x + sen x IV) Observando a figura, tem-se: cos,7 < cos, < cos, < cos 0,8 fi fi cos < cos, < cos < cos Assim, se F(x) = cos x, conclui-se que F < F(,) < F( ) < F

14 8) cos x = ) cos x = Para 0 x, temos x = Resposta: V = {} 9) cos x = A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = ± + n. Resposta: V = x Œ x = ± + n, n Œ ) sen x. cos x = 0 sen x = 0 ou cos x = 0 Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; 0) sec x = = cos x = cos x A solução geral da equação, nesses pontos, é: x = 0 + n. = n. Resposta: V = x Œ x = n., n Œ Para 0 x, temos x = 0 ou x = Resposta: V = {0; } ) sec x = = cos x = cos x ) cos x = cos x = ± = ± = ± Para 0 x, temos x = ou x = Resposta: V = ; A solução geral da equação, nesses pontos é x = + n. Resposta: V = x Œ x = + n., n Œ

15 FRENTE GEOMETRIA PLANA ) n Módulo 7 Triângulos: Definição e Propriedades ) x = 80 x = = 0 ) I) No triângulo ABC, temos: 0 + y + z = 80 (y + z) = 0 y + z = 70 II) No triângulo BCI, temos: x + y + z = 80 fi x + 70 = 80 x = 0 ) a + 90 = a 90 = a a = 0 7) Pelo Teorema do ângulo externo, x = x = 0 ) I) No triângulo AHC, temos: ^A = = 0 II) No triângulo AHS, temos: H ^SA = = 0 III) No triângulo BAS, temos: x = 80 x = = 0 I) A ^DC = 90 fi A ^DB = 90 0 = 0 8) II) ^C = ^C = 0 III) No triângulo BCD, C ^BD = = 00 ) x = 80 x = = 0 ^ I) B = = 0 II) r é a bissetriz de ^B, então C ^BR = III) B ^RA = + 0 = 8 Então, g = 80 g = fi g =

16 9) No triângulo BCP, tem-se: q + x + 80 q = 80 x = = 00 ) I) f + f = 80 f = 80 f = II) f + x = 90 x = 90 f = 90 = n Módulo 8 Triângulos: Classificação e Congruência ) Como NQ = NH então, q = N ^QH = N ^HQ = Pelo Teorema do ângulo externo, no triângulo NQH, b = + = 70 Como o triângulo MPN é isósceles, então ^ P = = 0 No triângulo PGH, 0 + a + = 80 a = 0 Logo, a + b + q = = 0 ) ) I) No triângulo ABC, temos: a + x + x = 80 a + x = 80 II) No triângulo BOC, temos: a + x + x = 80 a + x = 80 a + x = 80 a x = 80 III) a + x = 80 a + x = 0 a = 80 a = I) No triângulo ABD, AB = BD, então B ^DA = B ^AD = x II) C ^BD é ângulo externo do triângulo ABD, assim, C ^BD = x + x = x III) No triângulo BCD, BD = CD, então D^CB = C ^BD = x IV) y é ângulo externo do triângulo ACD, assim, y = x + x = x ) Se ^A = 0, então, no triângulo ABC, fi ^B = 80 e ^C = 80 ^ 80 0 B = fi

17 I) No triângulo ABC, BA = BC, então Â = ^C fi fi 80 y = 80 x x = y II) No ponto D, x + y + 80 = 80 fi x = y = 0 III) Â = ^C = = = 80 IV) Â + ^B + ^C = 80 fi 80 + ^B + 80 = 80 ^B = 0, portanto, A ^BC = 0 I) Como o triângulo ADC é isósceles, então: ^ 80 0 A = x = x = 7 II) Se A ^DC = 7, então, B ^DC = 0 III) Como AB = BC, então Â = ^C = 7, logo, B ^CD = 7 0 = IV) No triângulo BCD, y = 80 y = 0 Então, x + y = = 0 ) n Módulo 9 Polígonos: Definição, Classificação e Propriedades ) O icoságono tem 0 lados fi n = 0 n(n ) 0(0 ) d = = = 0. 7 = 70 7) x + x = 80 x = 80 x = 0, portanto, C ÂB = 0 Resposta: 0 Seja R, o raio da circunferência. Se MN = OP e OP = R, então MN = R a Logo, a = b + b a = b = b ) Seja n o número de lados do polígono, então: d n(n ) n = n = d n = n = n n n n n = 0 n 9n = 0 n = 9, pois n > ) O decágono tem 0 lados fi n = 0 S i = (n ). 80 = (0 ). 80 = = 0 0 ) a e = = e a i + a e = 80, então: 0 a i = 80 = ) I) a i = a e e a i + a e = 80 a e + a e = 80 a e = 80 a e = 0 0 II) a e = fi = n = 0 n = 8 n n Logo, o polígono é o octógono. ) 8) 7

18 A figura interna é um hexágono e S e = = ) I) a e = 0 = 0 = n = n = 8 n n n(n ) 8(8 ) II) d = = = 9. = 8) Polígono : n lados e d diagonais Polígono : (n + ) lados e (d + 9) diagonais (n + ). (n + ) n(n ) I) = + 9 (n + ). (n + ) n(n ) + 78 = n + n + n + 8 = n n + 78 n + n + n = 78 8 n = 0 n = n(n ) ( ) II) d = = = na = n a = ) I) S i = (n ). 80 = 0 n = 8 n = + n = n(n ) ( ) II) d = = = 7. = 77 é o total de diagonais III) O número de diagonais que passam pelo centro é n = = 7 IV) O número de diagonais que não passam pelo centro é 77 7 = 70 n Módulo 0 Quadriláteros Notáveis e Linhas Proporcionais ) (n ). 80 n Então, temos: Polígono : lados e diagonais Polígono : lados e diagonais Como o número de vértices é igual ao número de lados, a soma pedida é = x + x = 0 x = x = = 9) Sendo a o ângulo remanescente, temos: I) S i = (n ). 80 = a 80 n 0 = a a = 80 n 0 II) 0 < a < 80 0 < 80 n 0 < 80 0 < 80 n < < n <, < n <, fi n = III) a = = 0 0 = 80 ) ) I) x + x = 8 x = 8 x = II) x + y = 80 fi y = 80 y = 8 Logo, os ângulos medem:, 8, e 8. Resposta:, 8, e 8 0) Seja a o ângulo de cada vértice da estrela e o triângulo isósceles em cada ponta da estrela: a = 0 a = = 8 80 a 80 a é ângulo externo do polígono de n lados, assim: 0 = 70 = n. 80 na n ) Todo losango é um paralelogramo, pois tem lados opostos paralelos. ) I) O triângulo APB é isósceles, pois AB = AP, então A ^BP = A ^PB = a. II) P^AB = 90 0 = 0

19 III) No triângulo APB, temos: 0 + a + a = 80 a = 0 a = 7 ) I) O triângulo CDE é isósceles, pois CD = CE, então C ^ED = C ^DE = a II) D ^CE = = 0 III) a + a + 0 = 80 a = IV) No triângulo CEF, temos: C ^FE = 80 C ^FE = 0 = B ^FD Resposta: 0 AB A B 8 7) = fi = B C = B C = BC B C B C Resposta: cm I) 0 = x 0x = x =, AB =, II) 0 = y 0y = 9 y =,9 B C =,9 0 III) = z 0z = z =, C D =, B =, cm, B C =,9 cm e C D =, cm ) x + 0 x + 0 = x 8 x (x + 0). (x ) = (x 8)(x + 0) x x + 0x 0 = x + 0x 8x 0 x 0 = x = x+ x 00 = 8x x = Resposta: 8) 0 90 I) = 9x = 80 x = x II) = 9y = 0 y = 0 y III) = 9z = 0 z = z Resposta: m, 0 m e m 0 x / 9) = x =. x = 0) 9