Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente B

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1 Gabarito Etensivo MATEMÁTICA volume Frente B sen cos tan ) E y=+8= sen0 y y 8 cateto oposto ipotenusa 0) m Seja O a origem no solo alinado verticalmente com o bastão. A medida OB será a altura da colina. Importante observar que o triângulo AOC é isósceles com as medidas AO OC. tg0 cateto oposto cateto adjacente. 9 9 m 6

2 0) m Seja a medida entre o prédio maior e a base da escada que está apoiada. Também, seja y a medida da entre a base do prédio menor e a base da escada nele apoiada. cos cos5 y y y y. y Distância entre os prédios = 0+=m 0) A Seja QR tg0 a b 0 a b 0 0 a b tg60 a b a b a b a b a b a b 5 Mas o cateto a b multiplicado por fica: unidades

3 05) B Seja a altura da parte do prédio (Cateto oposto ao ângulo α) em que se forma um triângulo retângulo. Com o valor do seno de α podemos encontrar o cosseno e tangente de α utilizando a relação fundamental sen cos e a fórmula da tangente em função de seno e cosseno. Para sen 5, inicialmente calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ângulo. sen cos cos cos 9 cos 5 cos 5 sen tg cos 5 5 tg. 5 5 tg Tangente de α em função dos catetos: tg 8, 8,, Logo, + altura da casa = altura do prédio =,+,8 = 6 06) A Seja a altura da montana. cat.oposto tg0 cat.adjacente tg m 07) A Altura da rampa = 5cm + 5cm = 0cm = 0,m= cateto oposto ao ângulo de 0. = comprimento da rampa. 0, sen 0, 0,05 0, 0,05 6m

4 08) E tg0 80 y 80 y tg60 y y y 80 y y 80 y 80 y y y 0 69, y y 80 y 0 Altura do prédio é igual a mais a altura da pessoa que é,7m. Logo, +,7 = 69,+,7 7m 09) C cos m 0) A cos60 0 L L 0 0 L H tg60 0 H 0 H 0 sen0 0 L L 0 H L L +L =0+,6 L +L 5,6m L,6 ) C

5 tg60,8,8,8, ) D Conforme os dados do eercício, podemos montar o esquema da figura abaio. Para calcular a distância AC =, basta aplicar o teorema de Pitágoras. 6 (8 ) ) Observe que a (altura) é a mesma medida do cateto adjacente no triângulo: Logo, com relação: sen sen0 00 ) cat.oposto ipotenusa 00m 00 Seja F o ponto de interceptação do segmento AC no segmento DE. Observe ainda que o ângulo DFA mede 0 fazendo com que esse triângulo seja isósceles. Seja = DF = AE :

6 tg DF FA cos Portanto, AB ) Seja a distância entre o ponto B e o pineiro. tg( ) tg( ) d d tg( ) tg( ) tg( ) d d tg( ) tg( ) tg( ) tg( ) tg( ) tg( ) tg( ) tg( ) tg( ).tg( ) d d tg( ) tg( ) tg( ).tg( ) d.tg( ).tg( ) tg( ) tg( ) d d 6) C Observe que a ipotenusa do triângulo destacado é,5m

7 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado para obter y.,5,5 y Seja z = y+ y 6, 5, 5,00,9,5 z y m z,96 z,6 +y=,6 +=,6 =,6 7) D tg tg tg tg tg PT tg PT tg PT tg 0 PT 0 PT PT 0 0 0m 8)

8 sen y cos60 8 y 8 y Y+=+=8 0 8 z z 6 z 6 Altura do poste: z 6 6 m 9) C Seja a altura da torre e a distância entre a torre e o ponto de observação em no qual formou-se um ângulo β tal que tg : tg60 rad 60 tg 6

9 0) a) Seja a distância entre P e Q: PQ dm Seno do ângulo BPQ (α): No triângulo BPQ, a distância PB = ipotenusa = y y ( ) y 8 y 5 y sen dm Cateto oposto ipotenusa sen. sen b) O ângulo da roda maior descreve um ângulo de 60. Dessa forma a distância percorrida pela bicicleta numa volta completa da roda maior (60 ) é, D r dm Comprimento da circunferência menor C =πr C =π C =π dm Seja α o ângulo descrito pelos raios da roda menor, e observe a relação envolvendo o comprimento da circunferência menor e a distância percorrida pela bicicleta:

10 D 60 C Comprimento da circunferência maior C =πr= C =6π, A relação entre os comprimentos C e C é C 6,5 C Isso significa que a quando a volta maior dá uma volta completa, a roda menor dá,5 volta. Nessas condições, para 80 voltas da roda maior, a roda menor dará,580=0 voltas ) Sendo L = 0 cm e L = 0 cm: tg 0 0 tg,5,5,5 i 0 tg 0,5 tg 0, ii Juntando i e ii, temos:,5 7 7,5,5m

11 ) D = OA 0 sen0 Ângulo  0 =60 y=a 0 A y cos60 y 0,5 OA =-0,5=,5 z=a A z sen0,5 z,5,5 z ) C Seja o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaio. tg cm Cada degrau mede 0 cm de comprimento. Como o comprimento orizontal da escada é de 80 cm, então, para calcular a quantidade de degraus, basta dividir o comprimento da escada pelo comprimento do degrau. 80 cm degraus 0 cm ) D Considere BE : cos6,8 0,96,8,8 0,96 m Como o comprimento do telado é de m, e esse comprimento deve ser formado por duas ecotelas com,0m cada uma, portanto,+,=,m. Logo, o transpasse será de 0cm 5) D Seja AD e y DO :

12 sen60 r AD r r r y r r r y y r r r r DB r r BE DO CE r r AD DB BE CE r r r r r AD DB BE CE r r AD DB BE CE r 6) B B = Distância do pontos A ao ponto C 8 sen5 sen )..cos B 6 9 cos B cos B 6 cosb 0 correto..cos A 9 6 6cos A 6cos A 0 9 cosa 6 0 correto..cos C 9 6 cos C cos C 5 7 cosc 8

13 sen C cos C sen C cos C sen C 5 sen C sen B cos B sen B cos B sen B 5 sen B 6 5 senc 8 0 correto 5 senc 08 correto O triângulo ABC é obtusângulo, pois cos B 90 B 80 Logo, a resposta correta é =. (6 correto) 8) A Com os dados o triângulo fica. Observe ainda que o ângulo 75 = 5 +0 Para calcular os lados a fim de obter o perímetro, necessitaremos calcular o valor do seno de 75. Utilizaremos o seno de arco duplo: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) a sen75 =sen(5 +0 ) sen5 sen60 sen a b sen a cos b cos a sen b a sen 5 0 sen5 cos0 cos 5 sen0 sen a. 6 sen 5 0 a sen 5 0 sen a 6

14 b sen5 sen75 b 6 b 6 b 6 b 6 b b 6 6 b Perímetro: P = a + b + c P 6 P 6 cm 9) C O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior lado. Com a Lei dos cossenos podemos calcular o cosseno de A: cos A 8cos A 5 6 cosa sen A cos A sen A sen A 6 5 sen A 6 sena 5

15 0) C sen5 sen Seja y a altura do edifício CD. y tg0 5 6 y 5 6 y y m Agora, dividindo o resultado por : m ) B 6 8 sen0 senb 6 8 senb 8 6senB 6senB senb ) C Esse triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Sem perda de generalidade considere o triângulo

16 ..cos 8cos 8 cos 7 8..cos cos 5 cos Logo, os cossenos desses ângulos são: 7, e 8. ) cosb 5 sen B cos B sen B sen B 5 6 sen B 5 senb Pela lei dos cossenos: ( ) ( ) ( )( ) cos B ( ) ( ) ou 0 Não serve Logo, os lados do triângulo são, e 5. Agora basta calcular a altura y y senb y 5 5 0

17 y 5. 5 y ) D Errata: Considere CBD=90. Observe que ABD Com a lei dos cossenos para cos50 cos0 e =AD:..( cos0 ) ) A Com o ângulo ABC cos50 =-cos cosB 50, podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância =AC e m 6) E PSQ 60 PQS 0 Seja PQ=: tg0 PQ RS RS QS y y y y QS QR z z z z 7 QR 7

18 Aplicando a lei dos senos com sen(0 )=sen(60 ) no triângulo QRS 7 sen sen60 7 sen 7. sen 7 sen sen 9 sen.7 sen 7) OAP 0 BAP 60 APB 5 AP y AB y sen0 sen0 y y y y. y sen5 sen75 Pelo eercício 8, sen75 = sen AB km 6

19 8) MB BN No triângulo MBN dispomos da medida dos três lados. Dessa forma podemos utilizar a lei dos cossenos no ângulo B : cosb 7 cos B 8 7 cos B 8 cos B 7 8 cos B 8 cos B A 80 B cos A cos(80º B) Com a Lei dos cossenos em DAM : Seja, DM.cos A

20 9) B Errata, considere o ângulo 05 no lugar de 50 : Considere primeiramente o triângulo ABC, com B 5 e BC : 50 sen0 sen5º Agora, basta calcular a altura do triângulo retângulo BDC. sen ,5 m 0) E O ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo do triângulo, nesse caso calculemos o cosseno relativo ao lado +: cos ( ) cos ( ) cos

21 cos ( ) ( )( ) cos ( ) ( ) cos ) B É necessário calcular os lados e y do triângulo: Com perímetro medindo 0m, y 8 0 y y y () Lei dos cossenos com lado y: y 8 6 cos 60 y 6 6. y 6 8 () Utilizando a equação () em (): m y 5 y y ) A 7m Seja AB BC e pela lei dos cossenos em 0, cos 0..

22 Altura do triângulo ABC: Para cálculo da área, vamos utilizar a fórmula: Área AB.BC.sen0 Área.. Área Área. ) B O Triangulo AOC é retângulo com ipotenusa AC = 5. Nessas condições OA OC AC OC 5 OC Seja α o ângulo OCD que é igual ao ângulo ODC. Então, o DOC 80 sen sen cos cos cos 9 cos Agora, para calcular a área do triângulo OCD, basta utilizar a mesma fórmula do eercício anterior, considerando que sen(80 -α)= sen(α). Devemos utilizar a fórmula: sen(α)= sen(α).cos(α).

23 Área..sen( ) Área..sen( ).cos( ) Área 6.sen( ).cos( ) Área 6.. Área 9 ) B Utilizaremos uma fórmula da bissetriz (triângulo) AC.AB A BISSETRIZ(A).Cos AC AB Seja =AB o 90.Cos OBS: cos5.. 5 Agora, basta utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a ipotenusa BC: BC AC AB BC 9 BC 9 BC BC BC ) C (a b c)(a b c) ab a ab ac ab b bc ac bc c ab a ab b c ab Isolando c:

24 a ab b c ab c a ab b ab c a b ab (A) Mas pela lei dos cossenos em C : c a b abcos C (B) Fazendo (A) = (B): a b abcosc a ab b ab cos C a ab b a b abcosc cos C ab ab cos C Logo, C 60 ab 6) A Seja =AB AC= ()...cos Então, AB é um inteiro par! Com a lei dos cossenos em β que é o ângulo oposto ao lado : 6.6..cos 6...cos 8.cos 6 cos 6 8 cos. cos. cos 0,9809 O Cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante, e como ângulo 0. 0,9, podemos concluir que o

25 7) B No triângulo BAD com a lei dos cossenos: DB 6..6.cos0 DB cos0 DB DB DB 88 DB 88 DB 96. DB BD AC sen0 AC AC. AC 6 8) D Pela lei dos senos, temos que diferente, sen a sen c a c sen a 5a b sen b 5 ou 5c b a b c c 5c c c 5c c. a b c sen sen sen, ou ainda escrevendo a mesma lei de forma c Como a=c, a

26 a b c b b 0 Maior lado, b=0. 9) D Seja b o lado oposto ao vértice B. Pela lei dos cossenos: b.b.cos 6 b bcos b b cos 5 0 Com a fórmula de Báscara: b b b b ( cos ) ( cos )..( 5). cos cos 60 cos (cos 5) cos cos 5 b cos cos 5 Interessante que até aqui já dispomos de um resultado válido, no entanto aplicando a igualdade fundamental da trigonometria: cos sen cos sen b cos sen 5 b cos 6 sen 50) B 5) E O é o centro da circunferência de raio AO=OB Como o comprimento de arco menor AB é cm, o perímetro em cm é igual:.

27 5) C sen() sen cos cos cos 69 5 cos 69 cos 5 Resposta: 5, pois está no segundo quadrante. 5) A sen(), 5 tg =? sen cos cos 6 5 cos 5 cos 5 sen() 5 tg(). cos() 5 tg()

28 5) cos 5 sen cos sen 5 9 sen 5 sen sen sen() 5 tg. cos() 5 tg 55) E Dividimos 555 por 60, e analisamos o resto da divisão = 5. Este é o ângulo equivalente e está no terceiro quadrante, e seu ângulo côngruo é = ) A sen() m 0 m m m m 57) sen() 7 sen() 7 ( ) 7 y y 58) C cos, m

29 m 0 m 0 m m m 59) C k 0 k 0 k 0 k 60) A sen 0 e cos 0 Q cos 0 e tg 0 Q sen 0 e cot g 0 Q 6) C I. sen < sen (falso) II. cos < cos (falso) III. cós < sem (verdadeiro) 6) sen0 sen0.log 7 5 Temos que: sen 0 = -sen 0 Então, sen0 sen0.log 0.log

30 6) (V) sen cos Relação fundamental (F) sen sen sen(.) sen.sen (V) sen (sen) (V) cos 0 (V) sen7 =cos7 sen()=cos(90 -) (V) sen 0 + sen 70 = sen70 =cos0 Relação fundamental (V)tg0.tg50 = sen0 cos 50 Considere :, cos 0 sen50 sen0 sen50 cos 50 sen50. =. cos 0 cos 50 sen50 cos 50 6) Alternativa falsa. cos 0 e tg 0, então 65) ra C AB a C AB 60 a 0 cos0 cos 60º

31 66) D Da letra A à R teremos 8 cadeiras Move-se 5 6 de uma volta P 6 67) I. cos(-)=-cos() Falso II. cos sen() Verdadeiro III. cos( ) cos() 0 cos() cos() 0 Verdadeiro 68) A sen(a) cos, então a I. a k Verdadeiro k II. sen a sen Verdadeiro sen(a) sen cos cos sen III. sen( a) cos( ) Falso 69) 0. Falso, sen5 sen5 7 sen sen 0. Falso 80, 80 57, 0. Verdadeiro 0min min =.0 =0 oras = 0 +0 = = Verdadeiro

32 r = 8 L = cm R=cm =.a 6 a 7 6. Falso p.d.p 5 rad Soma: = 70) C Dados um triângulo de lados a, b e c; a relação entre a medida da mediana relativa à ipotenusa: (b c ) a m, como o triângulo é retângulo, e a for a ipotenusa, logo: a a m a m triângulo proposto m bc a bc a a (cos )(cos ) b a Mas, são ângulos complementares, pois o triângulo é retângulo. sen cos. (cos )(cos ) (cos )(cos ) sen( ) sen ( ) cos ( ) cos ( ) cos( ) A resposta negativa não tem validade, pois o ângulo está no primeiro quadrante. cos( ) Usando a relação trigonométrica: cos ( ) cos ( ) cos ( ) :

33 cos ( ) cos( ) 7) C, N?., N 7,85 0,8 Logo, o maior valor de N é 7. Com isso, 7.0,8 a 5, 6 a., a 0,68 7) B 5. R 5 R Restaurante 6 Maria. R R Lanconete 6 Restaurante R Carmem R R R R( ) Lanconete R. 6 6 R R R R( ) Restaurante R. 6 6 Sérgio R R R R( ) Lanconete R. 6 6 I. Correta II. Correta III. Correta 7) A A B 60 R L B C 5 R L ABC = ABC =.00km 600km 800km

34 7) L R R R L 9600km