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1 Lista ita eponencial e modulo Carlos Peioto. (Ita 07) Esboce o gráfico da função f: dada por f().. (Ita 07) Sejam S {(, y) : y } e área da região S S é S {(, y) : (y ) 5}. A a) 5. 4 π b) 5. 4 π c) 5. 4 π d) π e) π 3. (Ita 07) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de. Das afirmações: I. (log c b) (log c a) a b. II. logd c logd a logd b a b c b c a. III. log ab(bc) loga c é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) todas. 4. (Ita 06) Se é um número natural com 05 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de 7 é igual a a) 85. b) 86. c) 87. d) 88. e) (Ita 06) Considere as seguintes afirmações: I. A função f() log0 é estritamente crescente no intervalo ], [. II. A equação 3 possui uma única solução real. III. A equação ( ) admite pelo menos uma solução real positiva. É (são) verdadeira(s) Página de

2 a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 6. (Ita 06) Seja (a, a, a 3, ) a sequência definida da seguinte forma: a 000 e a log ( a ) para n. Considere as afirmações a seguir: n 0 n I. A sequência (a n) é decrescente. II. an 0 para todo n. III. an para todo n 3. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 7. (Ita 06) Seja f a função definida por f() log ( 8). Determine: a) O domínio D f da função f. b) O conjunto de todos os valores de Df tais que f(). c) O conjunto de todos os valores de Df tais que f() (Ita 05) Considere as funções f, f, f :, sendo f () 3, f () e f() igual ao maior valor entre f () e f (), para cada. a) Todos os tais que f () f (). b) O menor valor assumido pela função f. c) Todas as soluções da equação f() 5. Determine: 9. (Ita 05) Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a epansão decimal de é infinita e periódica, então é um número racional. II. n0. n ( ) III. ln 3 e log log é um número racional. É (são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III. 0. (Ita 04) Determine as soluções reais da equação em, 3 4 log0 6 log4 log log 6 00 Página de

3 4 n /. (Ita 04) A soma log 3 n log 8 é igual a a) 8. 9 b) 4. 5 c) 5. 6 d) 7. 8 e). /. (Ita 03) Considere as funções f e g, da variável real, definidas, respectivamente, por a b f e e a g ln, 3b em que a e b são números reais. Se f f, então pode-se afirmar sobre a função composta g f que a) g f ln 3. b) g f 0. c) g f nunca se anula. d) g f está definida apenas em : 0. e) g f admite dois zeros reais distintos. 3. (Ita 03) Determine o maior domínio D da função f : D, f log (4sen cos ). π ( ) 4 4. (Ita 03) Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações a b e ln a b ln 8 ln 5, um possível valor de a b é a). b). c). d). e) (Ita 0) Resolva a inequação em log 9 5 : (Ita 008) Para IR, o conjunto solução de = 5 - é a) {0, ± 5, ± 3 } Página 3 de

4 b) {0,, log 5 ( + 5 )} c) {0, (/)log 5, log 5 3, log 5 d) {0, log 5 ( + 5 ), log 5 ( + 3 ), log 5 ( - 3 )} e) A única solução é = 0 7. (Ita 007) Sejam e y dois números reais tais que e, e y e o quociente racionais. A soma +y é igual a a) 0. b). c) log 5 3. d) log 5. e) 3log e. e 5 y 4 e 5 são todos 8. (Ita 007) Sejam, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base n são números primos satisfazendo log n (y) = 49, log n (/z) = 44. Então, log n (yz) é igual a a) 5. b) 6. c) 67. d) 80. e) (Ita 005) Considere a equação em onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = ln a > 0. A soma das soluções da equação é a) 0. b) -. c). d) ln. e). Página 4 de

5 0. (Ita 004) Para b > e > 0, resolva a equação em :. (Ita 00) Os valores de, para os quais a função real dada por f() 5 6 está definida, formam o conjunto a) [0, ]. b) [-5, 6]. c) [ 5,0] [, ). d) (,0] [,6]. e) [ 5,0] [,6].. (Ita 00) Seja a função f dada por Determine todos os valores de que tornam f não-negativa. 3. (Ita 00) Sendo dado é igual a: Página 5 de

6 a) a n - b n b) a n - b n c) a n - b n d) b n - a n e) a n + b n 4. (Ita 00) Se a IR é tal que 3y - y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação a = 0 é: a) log 6 b) - log 6 c) log 3 6 d) - log 3 6 e) - log (Ita 000) Seja S = [-, ] e considere as afirmações: I. 4 < 6, para todo S. II. <, para todo S. 3 3 III. - 0, para todo S. Então, podemos dizer que a) apenas I é verdadeira. b) apenas III é verdadeira. c) somente I e II são verdadeiras. d) apenas II é falsa. e) todas as afirmações são falsas. 6. (Ita 000) Sendo um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a seguir A soma de todos os valores de para os quais (AB) = (AB) t é igual a a) 5 3. b) 8 3. Página 6 de

7 c) 3 3. d) 7. e) (Ita 999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação Então: a) S é um conjunto unitário e S ], + [. b) S é um conjunto unitário e S ], [. c) S possui dois elementos distintos S ]-, [. d) S possui dois elementos distintos S ], + [. e) S é o conjunto vazio. 8. (Ita 998) A inequação mostrada na figura adiante é satisfeita para todo S. Então: a) S = ] - 3, - ] [ -, + [ b) S = ] -, - 3[ [ -, + [ c) S = ] - 3, -] d) S = ] -, + ] e) S = ] -, - 3 [ ] - 3, + [ 9. (Ita 998) O valor de y IR que satisfaz a igualdade Página 7 de

8 a) b) 3 c) 3 d) 8 e) (Ita 997) O domínio D da função f() = ln [ π ( π ) π] ( 3π) é o conjunto a) D = { IR : 0 < < 3 π } b) D = { IR : < π ou >ð} c) D = { IR : 0 < π ou ð} d) D = { IR : > 0} e) D = { IR : 0 < < π ou ð < < 3 π } 3. (Ita 996) Seja a R, a >. Para que Página 8 de

9 valor de a é: a) b) 3 c) 5 d) 9 e) 0 3. (Ita 996) Se ( 0,y 0 ) é uma solução real do sistema log y log3 y 4y 4 então 0 + y 0 é igual a: a) 7 4 b) 9 4 c) 4 d) 3 4 e) (Ita 995) Se é um número real positivo, com e /3, satisfazendo: ( + log 3 ) / (log + ) - (log ( + )) / ( + log 3 ) = log ( + ) Página 9 de

10 então pertence ao intervalo I, onde: a) I = (0, /9) b) I = (0, /3) c) I = (/, ) d) I = (, 3/) e) I = (3/, ) Página 0 de

11 Gabarito: Resposta da questão : Dividindo a função em partes para esboçar: g() h() m() f() Resposta da questão : [A] Esboçando o gráfico de y e a circunferência definida por S S será a apresentada em amarelo na figura a seguir. (y ) 5, a região Página de

12 Calculando sua área, tem-se que essa será igual a um quarto da área do círculo menos a área de um quadrado de lado, ou seja: π 5 5π S S 4 4 Resposta da questão 3: [C] Analisando as afirmativas: [I] Verdadeira. Calculando: (logc b) a logc b b logb logcb b c b b c log a log a log b log a log log a b logc a logb a logc b logb a logc a logc b logca [II] Verdadeiro. Utilizando a relação obtida na alternativa anterior, pode-se escrever: logd c logd a logd b logd c logd a logd b logd a logd b logd c a b c a b c c a b b c a logd c logd a logd b logd c logd a logd b b c a b c a [III] Falsa. A igualdade só se verifica se o valor de a for igual ao valor de c, e b. No caso de números distintos, a igualdade não se verifica, pois: log ab(bc) loga c loga bc loga c loga bc loga c loga ab loga b loga c loga c loga a loga b loga ab loga b loga c loga c loga b loga b loga c loga c loga b loga c loga b loga b loga c loga c a c Resposta da questão 4: [D] Se é um número natural com 05 dígitos, então: Sabendo que: Página de

13 , , Logo, 7 terá 88 algarismos. Resposta da questão 5: [B] [I] Verdadeira. Para e pertencentes ao intervalo ], [ e. log0 log0 Portanto a função é crescente para todo real maior que. [II] Verdadeira. 3 3 log, 3 Portanto, a equação tem apenas uma solução real. 3 [III] Falsa. Se, portanto não é raiz da equação. Se Se ( ) ( ) 0 ( ) Portanto, a equação não admite nenhuma raiz real positiva. Resposta da questão 6: [D] a 000 a log ( 000) 3, 0 a log ( 3, ) 0, 3 0 a log ( 0, ) 0, 4 0 a log ( 0, ) 0, n 0 Portanto, a alternativa [D] é a correta. Resposta da questão 7: a) Condições para a eistência do logaritmo: Página 3 de

14 8 0 ou b) Portanto, o domínio da função será D ]4, [. f() log ( 8) 8 ( ) 4 9,5 Como,5 4, o conjunto pedido é o conjunto vazio. Ou seja S =. c) Teremos: log ( 8) log ( 8) log ou Como 4, concluímos que S, Resposta da questão 8: 3 a) f () f () , portanto o conjunto pedido será dado por: Daí a solução da equação será dada por 9 3 S,. b) Construindo os gráficos das funções f e f num mesmo sistema, temos: Página 4 de

15 De acordo com o gráfico o menor valor assumido por f() é f(0) c) Se ou, temos: ou (não convém) Portanto, 7 3 Se 9, temos: (não convém) ou 4 Portanto, 4. E o conjunto solução da equação f() 5 será dado por: Resposta da questão 9: [D] 7 S 4,. 3 [I] Verdadeira, pois toda dízima periódica admite uma fração geratriz. [II] Falsa. A soma indicada representa uma P.G infinita com a Daí, 3 n n0 e a razão q. [III] Verdadeira. Página 5 de

16 log log (racional) ln e log log 9 lne log Resposta da questão 0: log4 6 log 6 log 0 log00 6 log4 6 log4 6 log4 log 00 0 Calculando, inicialmente, o valor de 4 Substituindo o resultado acima na equaçăo pedida, temos: 3 4 log4 log4 3 log log 4log 6 3log log 7log 6 0 Fazendo log4 y, temos: 3 3 y 7y 6 0 y y 6y 6 0 y(y ) 6(y ) 0 y(y )(y ) 6(y ) 0 (y )(y y 6) 0 y ou y ou y 3. Logo: log4 4 log4 6 log S,, Resposta da questão : [D] 5 4 n 4 n log/ 3 log/ n n 3(n) 3(n ) 3 n (n ) log/ 8 log/ Resposta da questão : [E] Como f( ) f( ), segue que 4 e ( ) a ( ) b e b a ( ) a ( ) b e b a 4. Logo, e, portanto, a a 4 a 3 Página 6 de

17 b 3. Assim, g() n n n. A função composta g f é dada por 3 (g f)() n (e ) n 3 n. Para que a função g f tenha dois zeros reais e distintos o discriminante da equação 3 n 0 deve ser um número real positivo. De fato, como h :, definida por h() n, é uma função crescente, temos que n n 0. Daí, Δ 3 4 ( n ) 4 n 0 e, por conseguinte, g f possui dois zeros reais e distintos. Resposta da questão 3: Pelas condições de eistência dos logaritmos, vem sen 4sen cos ( 0) 4 5 k k Portanto, D,. 4 Resposta da questão 4: [A] Observando que a e b devem ser reais positivos, vem a b 4 a b a. 6b Página 7 de

18 Simplificando e substituindo, obtemos n (a b) n 8 n 5 n 8(a b) n 5 8(a b) 5 5 a b 8 5 b 6b 8 6b 0b 0 b ou b. 8 Portanto, como b implica em a e 4 b implica em 8 a, segue que a ou b a 4. b Resposta da questão 5: S ou log 9 log log ( 9) log > 5 6 > 0 Logo, < - ou > 3 Resposta da questão 6: [D] Resposta da questão 7: [E] Resposta da questão 8: [A] Resposta da questão 9: [B] Resposta da questão 0: S = 6 Página 8 de

19 Resposta da questão : [E] Resposta da questão : 5 Resposta da questão 3: [C] Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 5: [A] Resposta da questão 6: [B] Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [A] Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 30: [E] Resposta da questão 3: [E] Resposta da questão 3: [D] Resposta da questão 33: [B] Página 9 de

20 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: //07 às 0:37 Nome do arquivo: lista ita eponecial e modulo Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo Elevada... Matemática... Ita/07... Analítica Elevada... Matemática... Ita/07... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/07... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/06... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/06... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/06... Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/06... Analítica Elevada... Matemática... Ita/05... Analítica Elevada... Matemática... Ita/05... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/04... Analítica Elevada... Matemática... Ita/04... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/03... Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/03... Analítica Média... Matemática... Ita/03... Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/0... Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/00... Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/00... Analítica Página 0 de

21 Não definida.. Matemática... Ita/00... Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/00... Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Página de