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1 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: MATEMÁTICA APLICADA APOSTILA de FUNÇÃO 03 Visite nosso sítio Nele estão os resumos e trabalho de sala de aula Obrigado pela preferência de nossa FACULDADE!

2 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 2 Sumário Teoria dos Conjuntos Numéricos Símbolos 01 Símbolos sobre Operações 01 Noções sobre Conjuntos Conjuntos Vazios 01 Subconjuntos 02 União de Conjuntos 02 Intersecção de Conjuntos 02 Diferença de Conjuntos 02 Produto Cartesiano 02 Conjuntos numéricos Naturais 03 Conjuntos numéricos Inteiros 03 Conjuntos numéricos Racionais 04 Conjuntos numéricos Irracionais 05 Conjuntos numéricos Reais 05 Intervalos Intervalo Aberto 06 Intervalo Fechado 06 Função Conceito 07 Domínio de uma Função - D(f) 09 Conjunto Imagem de uma Função - Im(f) 10 Gráfico de uma Função 11 Estudo do Gráfico no Plano Cartesiano 12 Função Crescente e Decrescente 14 Função Inversa 15 Função Constante 16 Função Polinomial do 1º Grau Conceito 17 Estudo do Sinal 19 Sistema de Inequações do 1º Grau Definição 20 Função Polinomial do 2º Grau - (Função Quadrática) Definição 21 Gráfico 21 Zero da Função ou Raízes 22 Vértice 23 Estudo do Sinal 24 Sistema de Inequação do 2º Grau 27 Equações Eponenciais 28 Função Eponencial 30 Gráfico Cartesiano da Função Eponencial 30 Inequações Eponenciais 32 Função Logarítmica Conceito 33 Gráfico da Função Logarítmica 33 Equações Logarítmicas 35 Inequações Logarítmicas 37

3 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 3 Função Modular Módulo (ou valor absoluto) de um Número 38 Equações Modulares 39 Inequações Modulares 41 Módulo ou Raiz Quadrada 41 Função Modular 42 Gráfico 43 Trigonometria Aplicações da Trigonometria 43 Triângulo Retângulo 44 Lados do Triângulo Retângulo 44 Nomenclatura dos Catetos 45 Propriedades do Triângulo Retângulo Ângulos 45 Lados 45 Altura 45 A Hipotenusa com Base de um Triângulo Retângulo 46 Projeções de Segmento 47 Projeções no Triângulo Retângulo 47 Relações Métricas no Triângulo Retângulo 47 Funções Trigonométricas Básicas 49 Referência Bibliográfica 51

4 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Teoria dos Conjuntos Numéricos Símbolos : pertence : eiste : não pertence : não eiste : está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio : contém N: conjunto dos números naturais : não contém Z : conjunto dos números inteiros / : tal que Q: conjunto dos números racionais : implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais Símbolos sobre Operações : A intersecção B a > b: a maior que b : A união B : a maior ou igual a b a - b: diferença de a com b : a e b a < b: a menor que b : a ou b : a menor ou igual a b Noções sobre Conjuntos Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por ou { }. Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Obs.:- Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; - O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AB, formado por todos os pares ordenados (,y), onde é elemento de A e y é elemento de B, ou seja

5 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 2 Obs.: Se um conjunto A possuir n elementos, então eistirão 2 n subconjuntos de A. Conjunto dos Números Naturais (IN) IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*: IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi ecluído do conjunto IN. Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaio: Conjunto dos Números Inteiros (Z) O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=IN. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaio: Conjunto dos Números Racionais (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Então :-2, 5, 4 1, 3,1, 5 3, 2 por eemplo, são números racionais. Eemplos: Assim, podemos escrever: a Q {, com a Z, b Z e b 0} b

6 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET a) b) É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a por b. 1 2 a b 0,5 Eemplos referentes às decimais eatas ou finitas: 5 4 1, ,75 Eemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: , , , Toda decimal eata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. Conjunto dos Números Irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como eemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: Um número irracional bastante conhecido é o número =3, , , Conjunto dos Números Reais (IR) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como: IR=Q {irracionais} = { é racional ou é irracional} O diagrama abaio mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

7 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 4 Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros eistem infinitos números reais. Por eemplo: Entre os números 1 e 2 eistem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, Entre os números 5 e 6 eistem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5, Intervalos a) Intervalo Aberto (a,b): Subconjunto formado por todos os números reais, tais que: b) Intervalo Fechado (a,b): Subconjunto formado por todos os números reais, tais que: Função Conceito Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A e com valores em B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é simbolizado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f. Representação: : A () Eemplos: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} a) : A, representado no diagrama abaio, é uma função de A em B ( para cada elemento de A só há um elemento de B):

8 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 5 b) representação no diagrama abaio, também é uma função de A em B: g: A + 2 Contra-Eemplos: Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2} a) : A, representado no diagrama abaio, não é uma função de A em B (o elemento 4 de A tem dois correspondentes em B): b) g: A -2 Não é uma função de A em B, pois o elemento 5 A não tem correspondente em B.

9 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 6 Domínio de uma Função - D(f) Quando definimos uma função y=f(), o domínio D(f) é o conjunto dos possíveis valores reais assumidos por. Esses possíveis valores podem estar implícitos ou eplícitos: - Se é dado apenas f()=3 + 2, sem esclarecer qual é o domínio, está implícito que pode ser qualquer número real, ou seja, D(f)=R - Se é dado f()=3 + 2, com 5 < < 20, está eplícito que o domínio da função dada pertence ao conjunto dos número reais entre 5 e 20, ou seja, D(f) = {R 5 < < 20}. - Se é dado apenas vejamos: - O domínio D(f) não está eplícito; - Há valores variáveis no divisor; - Divisão por zero não é definida em R. Logo, o domínio D(f)={ R 4 }, ou seja, será qualquer número real, com eceção de 4, pois se = 4, teremos uma divisão por 0. Note que quando = 4, o divisor ficará ((2. 4)-8). - Se é dado apenas f()=, sem eplicitar D(f), está implícito que (-5) pode ser qualquer número real não negativo, ou seja, -5 0 ou 5. Logo, D(f)={ R 5} Conjunto Imagem de uma Função - Im(f) O conjunto imagem, ou simplesmente imagem de uma função y=f(), é o conjunto dos valores de y que estão associados a algum valor de do domínio da função. A letra pode assumir qualquer valor do primeiro conjunto e é por isso que é chamada variável independente. A letra y é a variável dependente, pois depende do valor de. Eemplos: Procurando D(f) e Im(f), sendo f()= 2+3, função de A em B, onde: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 5, 7, 9,11, 13, 15} A função f() multiplica por 2 e adiciona 3. Observe a tabela abaio:

10 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 7 Veja os diagramas: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5} Im(f) = {5, 7, 9, 11, 13} Conjunto B é o contradomínio Im(f) B No eemplo acima: 5 é a imagem de 1 e pela função, indica-se f(1)=5; 7 é a imagem de 2 e pela função, indica-se f(2)=7; 9 é a imagem de 3 e pela função, indica-se f(3)=9; 11 é a imagem de 4 e pela função, indica-se f(4)=11; 13 é a imagem de 5 e pela função, indica-se f(5)=13. Gráfico de uma Função Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (, f()) de um plano coordenado, onde pertence ao domínio de f. Eemplos: O gráfico da função f()= 2+3, consiste em todos os pares (, y) ou (, f()) R tais que y=2+3. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares ordenados (, 2+3) do plano y. Vamos utilizar uma tabela de valores para traçarmos o gráfico:

11 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 8 Estudo do Gráfico no Plano Cartesiano: Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano, podemos determinar o seu domínio e a sua imagem da seguinte forma: No gráfico abaio temos: D(f) = R Im(f) = {y R y -1} O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eio das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eio das ordenadas. Para cada do domínio deve eistir em correspondência um único y na imagem.

12 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 9 Este gráfico não representa uma função, pois ao ser projetada uma reta sobre o eio das abscissas encontra-se o gráfico em dois pontos diferentes. Ou seja, há para o mesmo dois y correspondestes. Eemplo: f(-3)=4 e f(-3)=-4 Quando =-3, temos y=-4 e y=4 Função Crescente e Decrescente a) Função Crescente : Se A B f é crescente em A [2 > 1 = f ( 2 ) > f ( 1 ), 1, 2 A] Isto é, a um maior valor de corresponde um maior valor de f(). b) Função Decrescente : Se A B f é decrescente em [A 2 > 1 = f ( 2 ) < f ( 1 ), 1, 2 A]

13 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 10 Função Inversa Denomina-se função inversa da função bijetora f : A B a função f-1: B A que se obtém trocando de posição os elementos de todos os pares ordenados da função f. f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, 3)} Observação: Para se obter a inversa de uma função, devemos proceder da seguinte forma: - isola-se o - troca-se por y e y por O gráfico abaio, representa uma função e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f -1, são simétricas em relação à reta y =, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

14 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 11 Eemplo: Dar a inversa da função: Resolução: ( 5 + 1)y = 2-3 5y + y = 2-3 5y - 2 = - y - 3 (5y - 2) = - y 3 = = Assim: Função Constante Uma função é dita constante quando é do tipo f() = k, onde k não depende de. Eemplos: a) f() = 5 b) b) f() = -3 Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eio dos. Veja o gráfico a seguir: Função Polinomial do 1º Grau Conceito É a função f : R R tal que y = a + b Raiz: y = a + b = 0 O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = a + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eios O e Oy. y

15 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 12 Vimos que o gráfico da função afim y = a + b é uma reta. O coeficiente de, a, é chamado coeficiente angular da reta e, está ligado à inclinação da reta em relação ao eio O. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eio Oy. Propriedades da função do 1º grau : 1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. 2) na função f() = a + b, se b = 0, f é dita função linear e se b = 0 f é dita função afim. 3) o gráfico intercepta o eio dos na raiz da equação f() = 0 e, portanto, no ponto de abcissa = - b/a. 4) o gráfico intercepta o eio dos y no ponto (0, b), onde b é chamado coeficiente linear. 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 6) se a < 0, então f é crescente. 7) se a > 0, então f é decrescente. 8) quando a função é linear, ou seja, y = f() = a, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Estudo do sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f() é determinar os valor de para os quais y é positivo, os valores de para os quais y é zero e os valores de para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f() = a + b vamos estudar seu sinal. 1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 a + b > 0 > y > 0 a + b < 0 < Conclusão: y é positivo para valores de maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz

16 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 13 2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 a + b > 0 < y > 0 a + b < 0 < Conclusão: y é positivo para valores de menores que a raiz; y é negativo para valores de maiores que a raiz. Sistema de Inequações do 1ºgrau Definição Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:,,,, como a e b reais. Eemplos: Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Função Polinomial do 2º Grau ( Função Quadrática) Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f() = a 2 + b + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns eemplos de função quadráticas: 1- f() = , onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2- f() = 2-1, onde a = 1, b = 0 e c = f() = , onde a = 2, b = 3 e c = 5 4- f() = , onde a = 1, b = 8 e c = 0 5- f() = -4 2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

17 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 14 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = a 2 + b + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Eemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 2 + :. Primeiro atribuímos a alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. y Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = a 2 + b + c, notaremos sempre que: - se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; - se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baio; Zero da função ou raízes Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f() = a 2 + b + c, a 0, os números reais tais que f() = 0. Então as raízes da função f() = a 2 + b + c são as soluções da equação do 2º grau a 2 + b + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: Temos: Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando - quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; - quando é zero, há só uma raiz real; - quando é negativo, não há raiz real.

18 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 15 Vértice Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baio e um ponto de máimo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são Veja os gráficos: Estudo do Sinal Consideramos uma função quadrática y = f() = a 2 + b + c e determinemos os valores de para os quais y é negativo e os valores de para os quais y é positivo. Conforme o sinal do discriminante = b 2-4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º) > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (1 2). a parábola intercepta o eio O em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaio: quando a > 0 y > 0 ( < 1 ou > 2 ) y < 0 1 < < 2

19 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 16 quando a < 0 y > 0 1 < < 2 y < 0 ( < 1 ou > 2) 2º ) = 0 quando a > 0 quando a < 0

20 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 17 3º) < 0 quando a > 0 Quando a < 0 Sistema de Inequação do 2º grau Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações do 2º grau. São inequações do 2º grau, por eemplo: a) b) c) d) Resolver uma inequação do 2º grau, significa determinar os valores reais de satisfazem a inequação dada. Eemplo: Resolver a inequação Resolução: Como devemos ter Resposta: Equações Eponenciais

21 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 18 Chamamos de equações eponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em epoente. Eemplos de equações eponenciais: 1) 3 =81 (a solução é =4) 2) 2-5 =16 (a solução é =9) 3) =2 2-1 (a solução é =1) 4) =0 (as soluções são =0 e =1) Para resolver equações eponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a m a n m n ( a 1 e a 0) Eemplos: 1) 3 =81 Resolução: Como 81=3 4, podemos escrever 3 = 3 4 E daí, =4. 2) 9 = 1 Resolução: 9 = 1 9 = 9 0 ; logo =0. 3 3) Resolução : ; então 4. 4) Resolução : ; logo 5) = 32 2 Resolução: = = (2 5 ) = 2 10 ; daí 3-1=10, de onde =-1/7. 6) Resolva a equação =0. Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: =0 (3 ) =0 Fazendo 3 =y, obtemos: y 2-6y 27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y =-3 e y =9 Para achar o, devemos voltar os valores para a equação auiliar 3 =y: y =-3 3 = -3 não eiste, pois potência de base positiva é positiva y =9 3 = 9 3 = 3 2 =

22 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 19 Portanto a solução é =2 Função Eponencial Chamamos de funções eponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em epoente. A função f:ir IR + definida por f()=a, com a IR + e a 1, é chamada função eponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR + (reais positivos, maiores que zero). Gráfico Cartesiano Da Função Eponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os eemplos seguintes: 1) y=2 (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: y 1/4 1/ ) y=(1/2) (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: y /2 1/4

23 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 20 Nos dois eemplos, podemos observar que: a) o gráfico nunca intercepta o eio horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eio vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR +. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f() é crescente e Im=IR + Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) Inequações Eponenciais f() é decrescente e Im=IR + Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Chamamos de inequações eponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em epoente. Eemplos de inequações eponenciais: 1) 3 81 (a solução é 4) ) 2 2 (que é satisfeita para todo real) ) (que é satisfeita para -3) 5 5 4) (que é satisfeita para 2 3) Para resolver inequações eponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

24 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 21 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 a m > a n m>n a m > a n m<n (as desigualdades têm mesmo sentido) (as desigualdades têm sentidos diferentes) Função Logarítmica Conceito A função f:ir + IR definida por f()=loga, com a 1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR + (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). Gráfico Cartesiano Da Função Logarítmica Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe nos eemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: 3) y=log2 (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: 1/4 1/ y ) y=log(1/2) (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: 1/4 1/ y

25 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 22 Nos dois eemplos, podemos observar que d) o gráfico nunca intercepta o eio vertical; e) o gráfico corta o eio horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é =1; f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f() é crescente e Im=IR Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f() é decrescente e Im=IR Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Módulo e raiz quadrada Consideremos os números reais e y. Temos por definição, que se e somente se, y 2 = e y 0. Daí podemos concluir que só é verdadeiro se 0.Se tivermos <0, não podemos afirmar que pois isso contradiz a definição. Por eemplo, se =-3, teríamos: 2 ( 3) 3 O que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever: 2 O que é verdadeiro para todo real. Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: 4 4, 6 6, 2n 2n, com IR e n IN* Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever: 3 3, 5 5, 2n 1 2n 1, com IR e n IN Função modular

26 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 23 Chamamos de função modular a função f()= definida por:, se 0 f ( ), se 0 Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Eemplo 1: Determinar o domínio da função 1 f ( ) Resolução: 3 1 Sabemos que sóé possívelem IR se Então : ou 3 Resposta: D { IR 3 ou 3} Eemplo 2: Determinar o domínio da função f ( ) 2 1 Sabemos que 2 1 sóé possívelem IR se Então : Resposta: D { IR 1 3} Resolução: Gráfico Vamos construir o gráfico da função f()= : y=f()