O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO

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1 O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO

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8 DEFINIÇÃO As funções explicitam relações matemáticas especiais entre duas grandezas. As grandezas envolvidas nessas relações são conhecidas como variável dependente (y) e variável independente (x). O estudo das funções foi motivado pela observação dos fenômenos naturais e a identificação de padrões e regularidades e promover generalizações. Em nosso curso o foco será a aplicação das funções matemáticas na modelagem de fenômenos e processos e suas aplicações.

9 Dados dois conjuntos A e B contendo números reais consideramos uma função f de A em B ao conjunto de pares ordenados (x,y), x A e y B de modo que: x A, y B tal que (x,y) f. Se (x,y) f e (x,y ) f, então y=y x A f B y Nota: O par ordenado (x,y) denota que y B é a imagem de x A pela função f. Domínio D(f) Contradomínio CD(f)

10 EXEMPLOS

11 DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO O conjunto A (partida) é chamado de domínio da função f e o conjunto B (chegada) é chamado de contradomínio da função f. A B x f y ou f(x) Nota: O par ordenado (x,y) denota que y B é a imagem de x A pela função f. Domínio D(f) Contradomínio CD(f)

12 IMAGEM Chamamos de imagem ao conjunto formado por todos os valores assumidos por y pela função f. f x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Nota: y 4 Im(f) e CD(f) Im(f) y 4 Domínio D(f)={x 1, x 2, x 3 } Contradomínio CD(f)={y 1, y 2, y 3, y 4 } Imagem Im(f)={y 1, y 2, y 3 }

13 FUNÇÃO INJETORA Uma função será injetora quando elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas ou em linguagem matemática x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )

14 FUNÇÃO SOBREJETORA Uma função será sobrejetora quando o contradomínio e o conjunto imagem forem o mesmo conjunto ou CD(f) = Im(f)

15 FUNÇÃO BIJETORA Uma função será bijetora quando for injetora e sobrejetora.

16 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Podemos construir o gráfico de uma função lançando os pares ordenados (x,y) no plano cartesiano ortogonal e traçando uma curva média. y y 4 Im(f)=[y 1,y 4 ] D(f)=[x 1,x 4 ] = y 2 y 3 y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x

17 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO y y=f(x) + x 1 x 2 x 3 + x x 1, x 2 e x 3 são raízes ou zeros da função

18 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO Função crescente: x 1 <x 2 f(x 1 )<f(x 2 ) Função decrescente: x 1 <x 2 f(x 1 )>f(x 2 ) f(x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 )

19 FUNÇÃO INVERSA A inversa da função f: A B, denotada f -1 existirá se, e somente se, a função f for bijetora. Assim, f -1 será a função de B em A tal que f -1 (y) =x.

20 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES O domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f. O o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f. Os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x, ou seja, à bissetriz do primeiro quadrante.

21 EXEMPLOS 1. Com relação ao gráfico a seguir, determine a) D(f) [40,100] b) Im(f) [7,10] c) f(60) 10 d) x tal que f(x)=7 x=40 ou x=100 e) f(80) 9

22 2. Com relação ao gráfico abaixo, é correto afirmar: h g f Nota: f, g e h são imagens de e e a) Representa uma função f: [a, b] R. b) Não representa uma função de [a,b] em R porque existe y R que não é imagem de qualquer x [a,b]. c) Não representa uma função de [a,b] em R porque existe elemento x [a,b] com mais de uma imagem. d) Representa uma função f: [a,b] [c,d]. e) Representa uma função bijetora.

23 3. Somente uma afirmação feita sobre a função f: [-5,5] em R, representada abaixo, é verdadeira. Assinale-a. a) f(x) 0, para todo x [1,5; 4]. b) f é crescente no intervalo [0,5]. c) f(4) > f (1,5). d) f tem apenas duas raízes reais. e) f(x) > 0, para todo x [ 5;0]. 1,5 5 1,5 4 5

24 FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU OU AFIM É toda função real do tipo y=a.x+b (a R*; b R) Gráfico característico: reta Coeficientes: a coeficiente angular (taxa de variação) b coeficiente linear Exemplos: y=2.x+3 (a=2; b=3) y= 5.x+1 (a= 5; b=1) y=x/2 (a=1/2; b=0)

25 TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO y DO PRIMEIRO GRAU y 2 y 1 y x x 1 x 2 x a y y y tan x x x Obs: é a inclinação da reta

26 CRESCIMENTO DA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Se a>0 A função é crescente Se a<0 A função é decrescente y Se a=0 A função é constante x

27 ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU A raiz da função do primeiro grau é o valor de x que anula a função. Em outras palavras, se x é raiz de uma função, então f(x)=0. Para obter a raiz de uma função do primeiro grau devemos igualar a função a zero.

28 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Função crescente (a>0) Função decrescente (a<0)

29 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU São expressões do tipo a.x+b=0 A solução da equação do primeiro grau deve ser obtida isolando-se a incógnita respeitando-se os princípios aditivo/multiplicativo e da equivalência.

30 EXEMPLOS 1. O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ ,00, calcule o valor de seu salário. Seja y o salário do vendedor e x a receita com vendas. Então y=0,12.x+800 Para x=45.000, temos: y=0, y= y=6.200

31 2. Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se: a) a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada. b) o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada. c) quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da bomba? a) De acordo com o enunciado a partir de um volume inicial de L a bomba retira água da piscina a uma taxa constante de 100L/min. Desse modo, o volume de água na piscina varia em função do tempo de acordo com a função V= t b) A piscina vazia não possui água, logo fazendo V=0, temos: 0= t 100.t= t=30.000/100 t=300min ou t=5h

32 c) Note que 3h=180min, logo fazendo t=180, temos: V= V= V=12.000L

33 3. O gráfico representa a função y = f(x) = ax + b a) Calcule a e b. b) Determine as coordenadas dos pontos x e y, em que a reta corta os eixos coordenados. y 50 (70,50) x 20 (10,20) y x

34 a) O gráfico é uma reta,logo trata-se de uma função do tipo y=a.x+b. Os pontos (10,20) e (50,70) pertencem à função. 20=a.10+b 10.a+b=20 (1) 70=a.50+b 50.a+b=70 (2) Fazendo (2) (1), temos: 40.a=50 a=50/40 a=5/4 Substituindo a=5/4 em (1), temos: 10.5/4+b=20 50/4+b= b=80 4.b= b=30.4 b=30/4 b=15/2

35 b) Com os valores de a e b obtemos a função representada graficamente. y x 4 2 Note que os pontos x e y são pontos de interseção da reta com os eixos coordenados, logo são pontos do tipo (x,0) e (0,y) x,0 0. x x x 30 x x , y y y 2

36 INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Inequações do primeiro grau são expressões do tipo: a.x+b>0 a.x+b 0 a.x+b<0 a.x+b 0 Para obtermos a solução de uma inequação do primeiro grau devemos determinar o zero (ou raiz) e estudar o sinal da função. A solução da inequação do primeiro grau será o intervalo real que satisfaz a inequação.

37 EXEMPLOS 1. Sejam as funções f(x)=3.x 5 e g(x)= 2.x+5, determine os valores de x tais que f(x)>g(x). Se f(x)>g(x) 3.x 5> 2.x+5 5.x>10 5.x 10>0 Raiz: 5.x 10=0 x=2 Estudo do sinal: f(x)> Nota: os valores 0 e 5 foram escolhidos arbitrariamente f(0)=5.0 10= 10<0 f(5)=5.5 10= 25 10=15>0 Solução: V=]2,+ )

38 2. Resolva as inequações a) x 1 Note que o sinal da expressão depende apenas do denominador 3.x 1, pois 4>0. Assim, devemos estudar o sinal da função f(x)= 3.x 1. Raiz: 3.x 1=0 x=1/3 Estudo do sinal /3 f(0)=3.0 1= 1<0 f(1)=3.1 1= 2>0 Solução: V=]1/3, )

39 b) 3 x 2. x 1 0 Nesse caso, devemos analisar o sinal das duas funções. f(x)=3 x g(x)=2.x 1 Raiz: 3 x=0 x=3 Raiz: 2.x 1=0 x=1/2 Estudo do sinal Estudo do sinal /2 f(0)=3 0=3>0 f(4)=3 4= 1<0 f(0)=2.0 1= 1<0 f(1)=2.2 1=3>0

40 3 x O sinal da expressão 2. x 1 as funções f e g. será obtido a partir dos sinais f g /2 Lembrete: f/g 0 f/g + 1/2 3 Resposta: V= ]1/2,3]