MATEMÁTICA Prof.: Alexsandro de Sousa

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1 E. E. DONA ANTÔNIA VALADARES MATEMÁTICA Prof.: Alexsandro de Sousa Introdução ao conceito de funções

2 FERNANDO FAVORETTO/CID A ideia de função no cotidiano Relação entre duas grandezas Quantidade de pães de queijo Preço (R$) 1 1,50 2 3,00 3 4,50 4 6,00 5 7,50... n 1,50n

3 Noção intuitiva de funções Quando existe uma função? Quando uma grandeza variável depende de outra. O que é a função? A regra que associa essas duas grandezas. Exemplo: O perímetro (P) do quadrado é função da medida do seu lado (l ). l é a medida do lado Perímetro: P = l + l + l + l Perímetro: P = 4l P DEPENDE DE l

4 Lei e variáveis da função O perímetro (P) é FUNÇÃO da medida (l ) do lado. LEI DA FUNÇÃO P = 4 l VARIÁVEL DEPENDENTE VARIÁVEL INDEPENDENTE

5 Por que dependente e independente? P = 4 l l = 1 cm l = 1,5 cm l = 2 cm P E R Í M E T R O ( P ) D E P E N D E D A M E D I D A ( l ) D O L A D O. P = 4 cm P = 6 cm P = 8 cm

6 Definição de função Dados dois conjuntos, A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x ϵ A a um único elemento y ϵ B. NOTAÇÃO f: A B Lê-se: f é uma função de A em B. SIGNIFICADO A função f transforma um elemento x de A em um elemento y de B. Representação comum: y = f(x) Lê-se: y é igual a f de x.

7 Voltando ao exemplo do perímetro A Entra B A contém as possíveis medidas para o lado (l) do quadrado. l = 1 l = 1,5 l = 2 l = 5 l = 9, etc. variável INDEPENDENTE P = 4 l Sai P = 4 P = 6 P = 8 P = 20 P = 36, etc. B contém, entre outros, valores do perímetro (P) do quadrado. variável DEPENDENTE As variáveis independentes são representadas pela letra x. Portanto, a função perímetro pode ser reescrita como: y = 4x ou f(x) = 4x As variáveis dependentes são representadas pela letra y.

8 Domínio Contradomínio Imagem O conjunto A, que contém os valores de x, é chamado de DOMÍNIO (D) da função f A EXEMPLOS: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} LEI DA FUNÇÃO: y = 2x O conjunto imagem Im(f) é composto somente pelos valores de CD que foram obtidos pela lei da função: O conjunto B, que contém os valores de y, é chamado de CONTRADOMÍNIO (CD) da função f B

9 Domínio e contradomínio igual a IR D = IR e CD = IR f: IR IR Exemplo: Seja a função f: IR IR Definida pela lei: y = x 2 Mas os valores de y obtidos pela lei da função são todos POSITIVOS. IR Os valores de x ϵ D = IR podem ser positivos ou negativos. Portanto: D = IR CD = IR Im = IR + CD = IR, mas somente os positivos pertencem à imagem (Im). IR + IR

10 Domínio de uma função real CUIDADO: Nem sempre o domínio D é o conjunto IR. Quando não está especificado, o domínio de uma função real será o subconjunto mais amplo de IR para o qual são possíveis as operações indicadas pela lei da função. f() x EXEMPLO: O domínio D dessa função será o conjunto IR com exceção do número 3, pois x = 3 torna nulo o denominador da fração. x 1 3 Portanto: D(f) = IR {3} ou D(f) = {x ϵ IR x 3}

11 Domínio de uma função real EXEMPLO: f ( x) x 3 O domínio D será o conjunto IR com exceção dos valores de x menores que 3, pois em IR não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto: D(f) = {x ϵ IR x 3}

12 Domínio de uma função real REGRAS GERAIS PARA DETERMINAR O DOMÍNIO: - A expressão do denominador deve ser DIFERENTE DE ZERO: DENOMINADOR 0 - O radicando de uma raiz de índice n (com n par) deve ser MAIOR OU IGUAL A ZERO: RADICANDO 0

13 Domínio de uma função real a) f(x) = 3x+ 1 Solução: Como esta função não apresenta nenhuma restrição para os valores de x, temos D(f) R b) f(x)= 2x²+ 1 3 Solução: Como esta função não apresenta nenhuma restrição para os valores de x, temos D(f) R

14 Domínio de uma função real a) 3 f(x) = x + 5 D(f) R b) 2x- 2x- f(x)= 3 6 2x 6 0 2x 6 D(f) R {3} ou D(f) {xr x 3} x 3

15 Domínio de uma função real c) d) f(x)= 18 6x 6x x 1 x 6x x x 3 f(x) = x 0 3x 1 (x 1) x. ( 1) D(f) D(f) {xr x {xr x 1} 3}

16 f(x) u(x) v(x) v(x) 0 Determine o DOMÍNIO da função f(x) 3x 2 x 6 4

17 f(x) n u(x) u(x) onden é par. 0 Determine o DOMÍNIO da função f(x) 6 4 2x

18 u(x) f(x) n v(x) onden é par. v(x) 0 Determine o DOMÍNIO da função f(x) x 1 2x 10

19 ... um único valor y... existem DOIS valores de y Como saber se o gráfico é de uma função? Condição para ser função: Para cada valor x ϵ D, existe um ÚNICO valor y ϵ CD. CONSEQUÊNCIAS: É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando qualquer reta perpendicular ao eixo x intersecta o gráfico em um único ponto. NÃO É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando existe pelo menos uma reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico em mais de um ponto. É FUNÇÃO, POIS para cada valor de x... NÃO É FUNÇÃO, POIS para este valor de x...

20 Reconhecendo gráficos que representam funções Estes gráficos representam uma função? 2 Gráfico de uma função

21 Reconhecendo gráficos que representam funções Estes gráficos representam uma função? 2 Gráfico de uma função

22 Domínio e imagem no gráfico O conjunto domínio e o conjunto imagem podem ser obtidos pela projeção do gráfico nos eixos. Imagem: Im(f) = {y ϵ IR 1 y 5} = [1, 5] Domínio: D(f) = {x ϵ IR 2 x 4} = [2, 4]

23 Função crescente Quanto MAIOR o valor de x, MAIOR o valor de y. Exemplo: y = 2x + 1 x: cresce y: cresce x = 2 y = 5 x = 1 y = 3 x = -1 y = -1 x = -2 y = -3

24 Função decrescente Quanto MAIOR o valor de x, menor o valor de y. Exemplo: y = -2x + 4 x: cresce y: decresce x = 4 y = -4 x = 3 y = -2 x = 2 y = 0 x = 1 y = 2

25 Construção de Gráficos Para construir o gráfico de uma função dada no plano cartesiano devemos: Construir uma tabela com valores. A cada par ordenado associar um ponto do plano cartesiano. Esboçar o gráfico.

26 Construção de Gráficos 2 Gráfico de uma função

27 Valor máximo e valor mínimo x

28 Valor máximo e valor mínimo x

29 Estudo do sinal da função Positiva para x > 2 Negativa para x < 2 Nula para x = 2

30 Estudo do sinal

31 Análise gráfica CRESCENTE Função é positiva: f(x) > 0 ou y > 0 ZEROS DA FUNÇÃO MÁXIMO CONSTANTE Função é negativa: f(x) < 0 ou y < 0 MÍNIMO DECRESCENTE DECRESCENTE

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