Explorando a ideia de função

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1 Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira Explorando a ideia de função 1. Elaborando uma ideia inicial De acordo com a metodologia da resolução de problemas uma boa situação inicial pode desencadear um novo assunto a ser investigado pelos alunos quando este for devidamente contextualizado. Seja então a seguinte situação: Saindo da escola Roberto e sua mãe pararam no posto para abastecer o carro. O garoto percebeu que na bomba de combustível o preço por litro de gasolina era R$ 2,20. No final o frentista devolveu as chaves para a mãe de Roberto e disse que o preço a pagar era de R$ 88,00. Quais maneiras Roberto poderia pensar para determinar a quantidade de litros que sua mãe abasteceu o carro? Mostrar diferentes modos para a resolução de um mesmo problema é extremamente vantajoso na aprendizagem de matemática, pois amplia o repertório de estratégias do aluno e favorece novas abordagens de pensamento. No caso da ideia de função existem três aspectos que devem ser levados em conta pelo professor: elaboração de tabelas, construção de gráficos e formulações algébricas das leis de formação. 1.1 Elaborando uma tabela No caso da situação inicial o aluno pode estipular valores para a quantidade de combustível e determinar o valor a ser pago, procurando uma regularidade entre tais grandezas. Desta forma temos: Número de litros Cálculos Valor a pagar (R$) 1 2,20 x 1 2,20 2 2,20 x 2 4,40 3 2,20 x 3 6,60 4 2,20 x 4 8, ,20 x 40 88,00 Como as tabelas apresentam os resultados de uma forma ordenada elas possuem um caráter de fácil visualização das regularidades por parte do aluno. 1.2 Construção de um gráfico (ponto a ponto) De posse dos resultados obtidos na tabela o aluno pode associar pontos do plano cartesiano que representam a relação entre as diferentes quantidades de combustível com seus respectivos valores a serem pagos. No caso da situação inicial temos:

2 O caráter visual intrínseco aos gráficos propicia analisar o fenômeno globalmente e, quando necessário, destacar pontos importantes no comportamento da função. Contudo um cuidado deve ser tomado por parte do professor. Caso o ensino de funções seja calcado fortemente na construção de gráficos o aluno pode realizar uma associação indevida: a de que os gráficos SÃO as funções propriamente ditas. Na realidade o gráfico é apenas uma das maneiras de REPRESENTAR uma função. 1.3 Lei de formação de uma função Com o intuito de generalizar o fenômeno que está ocorrendo pode-se utilizar a linguagem simbólica da matemática para representar a situação expressa. Neste momento deve-se fazer uma distinção entre variável dependente e variável independente da lei de formação de uma função. No caso da situação inicial o aluno deve ser questionado sobre: O valor a ser pago depende da quantidade de litros que será colocada ou a quantidade de litros colocada é que depende do valor a ser pago? Supondo que o tanque do automóvel comporta a quantidade de combustível o aluno conclui que o valor a ser pago é que depende da quantidade de litros que será colocada. Neste caso o valor a ser pago é a variável dependente enquanto que a quantidade de litros de combustível que será colocada é a variável independente, pois pode-se colocar quantos litros desejarmos no tanque de combustível. A relação entre a variável dependente e a variável independente pode ser expressa por uma lei de formação da função. No caso em questão chamando de x a quantidade de litros a ser abastecida e de y o valor a ser pago pelo consumidor, temos que: y = 2,20 x 2. A questão da unicidade Em todos as situações de resolução expostas anteriormente o professor deve destacar um ponto extremamente importante para o desenvolvimento adequado da ideia de função, a questão da unicidade dos valores obtidos. Em outras palavras o professor deve enfatizar que para cada quantidade de combustível abastecida existe um único valor a ser pago. Isto ocorre pois de acordo com a definição de função (vide IEZZI, F.M.E. Vol. 1) temos que uma função é uma relação entre duas grandezas (conjuntos) em que para cada valor do primeiro conjunto (domínio) existe um ÚNICO valor do segundo conjunto (contra-domínio). 3. Utilizando a geometria no ensino de funções Um dos preceitos da Educação Matemática é a exploração de conteúdos inter-blocos conceituais, ou seja, vincular assuntos de diferentes blocos de conteúdos entre si com o intuito de favorecer a aprendizagem de um tema. Neste caso o estudo de áreas e perímetros (bloco conceitual Grandezas e Medidas) pode ser associado ao estudo das funções (bloco conceitual Números e Operações / Álgebra) facilmente.

3 Seja a seguinte situação: Considere a função que relaciona o lado l de um quadrado e seu perímetro P. Elabore três maneiras de representar tal função. Lado (cm) 1 1, ,5 3, Perímetro (cm) , P = 4 l 4. A proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa e situações que não envolvem proporcionalidade Inicialmente sugere-se que sejam apresentadas aos alunos situações que envolvam proporcionalidade direta, ou seja, quando uma das grandezas varia a outra grandeza associada a esta varia na mesma proporção. Na situação anterior verifica-se que ao dobrarmos o lado do quadrado seu perímetro também dobra, ou quando reduzimos o lado do quadrado à sua terça parte, seu perímetro também fica dividido por 3. Pode-se, inclusive, solicitar aos alunos que elaborem situações que envolvam proporcionalidade direta e, depois, socializar com seus pares. Num segundo momento podem ser exploradas situações que envolvem proporcionalidade inversa como, por exemplo, aquela que envolve o tempo e a velocidade média para percorrer um determinado percurso. Seja a seguinte situação: Uma obra é construída totalmente em 40 dias contando com 2 operários. Complete adequadamente a tabela que relaciona o número de operários e o tempo necessário para construir a mesma obra. Dias Números de operários Para finalizar tais explorações são sugeridas situações que não apresentam proporcionalidade como, por exemplo, aquelas relacionadas a idade e a altura de uma pessoa (dobrando a idade de uma pessoa sua altura não aumenta na mesma proporção). Associar a relação entre o lado e a área de um quadrado é um bom exemplo para contribuir neste tipo de situações. Lado (cm) 1 2 2,5 3 3, Área (cm 2 ) 1 4 6, ,

4 5. Gráficos contínuos e não contínuos A tabela a seguir associa o número de peças produzidas por uma fábrica e seus respectivos custos de produção: Número de peças Custo (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60 Tal situação pode ser explorada de diversas formas: trata-se de uma situação diretamente proporcional, para cada quantidade de peças existe um único valor de custo, etc. Contudo ao elaborar um gráfico que representa tais valores o aluno se depara com o fato de que o número de peças trata-se de uma grandeza discreta e, portanto, não pode considerar determinados valores (não existe 1,5 peça). Desta forma o professor deve destacar qual tipo de conjunto domínio (naturais) está sendo utilizado para que a situação possa ser considerada uma função. Gráfico utilizando grandezas contínuas (ERRADO) Gráfico utilizando grandezas discretas (CORRETO) 6. A ideia de máquina de transformar Uma ideia muito forte no desenvolvimento da ideia de função é a ideia de máquina de transformar. Trata-se de uma criação didática que favorece o entendimento de que para cada número de entrada na máquina existe um único número de saída. Tal ideia é importante pois além de envolver a questão da unicidade citada anteriormente, permite ao aluno a elaborar o que mais adiante constituirá a imagem da função num determinado ponto. Seja a situação a seguir: A máquina ao lado está programada para dobrar o número de entrada e subtrair uma unidade do resultado. Por exemplo, se entrar o número 8, sairá o número 15 (2 x 8 1 = 15). Se entrar o 20, sairá o 39. Note que os números de saída são obtidos em função dos números de entrada, isto é, os números que saem dependem dos números que entram.

5 A ideia de máquina de transformar está associada ao valor numérico de uma expressão algébrica pois, para cada valor que atribuirmos à entrada existirá um determinado valor de saída. Trabalhar a ideia de reversibilidade neste caso é uma forma de revistar conteúdos anteriormente vistos como, por exemplo, as equações. Por exemplo: a) Se o número de entrada for 10, qual deverá ser o número de saída? b) Se o número de saída for 29, qual deverá ser o número de entrada? 7. Um pouco mais sobre as máquinas de transformar As chamadas máquinas de transformar podem favorecer tanto o estudo da unicidade necessária à definição de função, quanto preparar o aluno para a noção de função inversa. Observe os seguintes exemplos: A máquina de transformar ao lado está programada para elevar o número de entrada ao quadrado e, depois, somar 2 ao resultado. Complete adequadamente a tabela a seguir e redija uma conclusão sobre os valores obtidos. Número de entrada Número de saída Neste caso existem diferentes valores de entradas que geram o mesmo número de saída. Contudo para cada valor de entrada ainda existe um único valor de saída, ou seja, trata-se de uma função. Caso o número de entrada seja x o número de saída y será dado pela lei de formação y = x Observe esta outra situação: A máquina de transformar ao lado está programada para dividir o número de entrada por 2 e, depois, somar 1 ao resultado. Como representar a lei de formação desta máquina? Caso o número de entrada seja x o número de saída y será dado por y = x + 1. Caso tenhamos o número de 2 saída como determinar o respectivo número de entrada? Uma forma para obter tal expressão é através das operações inversas, ou seja, devemos subtrair do número de saída 1 e, depois, multiplicar o resultado por 2. Seja, neste caso o novo número de entrada x e o novo número de saída y. Desta forma temos a seguinte lei de formação y = 2 (x 1), ou seja, a lei de formação da função inversa dada.

6 8. A função como relação entre dois conjuntos Consideremos um quadrado cujo lado mede x. Representemos por y a medida do perímetro desse quadrado. Estabelecendo uma relação entre x e y, definimos a expressão y = 4x. 1 cm 1,3 cm 1,6 cm 2 cm 2,5 cm Cada quadrado acima tem a medida do seu lado determinada. Sabemos que a medida y do perímetro depende da medida x (lado do quadrado). Montando a tabela, temos: Medida do lado (x) 1 1,3 1,6 2 2,5 Medida do perímetro (y) 4 5,2 6, Uma outra forma de representar uma função relacionando dois conjuntos de valores para x e y é por meio de diagramas ligados por flechas. Veja como: Dados os conjuntos A e B em que: A é o conjunto de medidas dos lados de um quadrado e B é o conjunto formado pelos perímetros desses quadrados: A = {1; 1,3; 1,6; 2; 2,5} e B = {4; 5,2; 6,4; 8; 10} Podemos indicar: Pelo diagrama, temos: Todos os elementos do conjunto A estão ligados ou associados a um valor do conjunto B. Cada elemento do conjunto A está associado a um único valor no conjunto B. A relação definida por y = 4x é uma função de A em B, na qual y é o perímetro e x é a medida do lado do quadrado. Indica-se: f: A B y = 4x Generalizando: Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre A e B é chamada função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um único elemento y do conjunto B.

7 Observe os diagramas: O elemento 1 A está associado a mais de um correspondente em B Portanto, esses diagramas não representam funções. O elemento 6 C não possui correspondente no conjunto D 9. Domínio e imagem de uma função Dada a função f(x) que associa cada número x [x A, A = {1,2,3}] ao seu dobro y [y B, B = {0,1,2,3,4,5,6}], responda: a) Qual é a fórmula que define a função? b) Quais são as imagens de 1, 2 e 3 que podem ser indicadas por f(1); f(2) e f(3)? c) Determine o domínio e a imagem da função. Solução a) y = 2x ou f(x) = 2x. b) f(1) = 2 1 = 2 2 é a imagem do número 1 pela função f(2) = 2 2 = 4 4 é a imagem do número 2 pela função f(3) = 2 3 = 6 6 é a imagem do número 3 pela função c) O domínio da função é o conjunto A; os valores que x pode assumir são 1, 2 e 3. D(f) = {1, 2, 3} A imagem da função é o valor da variável y dependente dos valores assumidos por x. Im(f) = {2, 4, 6} [Im B] Podemos, então, definir: Conjunto Domínio de uma função Conjunto de valores que a variável x pode assumir. Indica-se por D(f). Imagem de uma função O valor da variável y correspondente a um determinado valor de x é chamado imagem do número x pela função. Conjunto Imagem de uma função O conjunto formado por todos os valores de y é chamado conjunto-imagem da função. Indica-se Im(f). Observações: o O conjunto-imagem é formado por elementos de B, dizemos que Im B. o O conjunto B é também denominado de contradomínio da função.