(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção

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1 Portaria MEC 7, de D.O.U.... (Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção Módulo de Pesquisa: Práticas de ensino em matemática, contextos e metodologias Disciplina: Fundamentos de Matemática II / Matemática Instrumental no/semestre: 5/ Unidade de prendizagem: Da realidade às funções e sequências numéricas Quest(iii) Par ordenado e Produto Cartesiano. Relações e Funções: conceito e representação. Função sobrejetora, injetora e bijetora. tenção: os conteúdos aqui abordados estão resumidos para que você possa tê-los como um norteador para os estudos. Estes conteúdos podem ser encontrados em qualquer livro de matemática do ensino médio (volume único ou da º série do ensino médio). É importante compreender que o estudo que se faz individual, através da pesquisa, a partir da leitura e de exercícios, contribuem muito para o seu crescimento como aluno! O famoso René Descartes e o seu plano, o plano cartesiano Penso, logo existo! ) Observe a máquina abaixo que descreve uma relação entre alguns valores que entram nela com os valores que saem dela. Para organizar o pensamento, chamaremos os valores de entrada de valores x e os valores de saída de valores y. O número x (que pode ser qualquer número) entra na máquina, sobre uma transformação matemática e sai como um valor y: de entrada (x) Dobra o x e soma de saída (y) Mas costumamos estudar o plano cartesiano junto a um conceito muito importante na matemática, o conceito de função! O que é função na matemática? Qual a relação entre funções, par ordenado e plano cartesiano? representação geral de uma equação de primeiro grau é: ax + b = Sendo que: a,b R e a. Lembrando que o coeficiente a que está na equação é o coeficiente angular e o coeficiente b da equação é o coeficiente linear. De maneira respectiva, seus valores representam a tangente do ângulo de inclinação e o ponto numérico no qual a reta passa pelo eixo das ordenadas, o eixo y. a) De acordo com a maquininha, complete a tabela: x - - y b) Se x = 5, quanto vale o y? y = 5 Vamos fazer o seguinte, complete as questões abaixo e somente depois responda as questões acima! c) Se y =, quanto vale o x? x = 9,5 d) Vamos escrever, numa equação matemática, que, em relação a x, y é igual a..., ou seja, y = x + Rua Silvério Manoel da Silva, 6 airro Colinas Cep.: 99- Cachoeirinha RS Tel/Fax. (5) 96 cesuca@cesuca.edu.br

2 Portaria MEC 7, de D.O.U.... Vamos refletir sobre este exercício, que é simples, mas carregado de conceitos importantes. Você compreende que existem pares de valores na tabela? Tipo, cada x está associado a um único valor de y. Se você percebeu isso, será que não poderíamos associar estes pontos no tal plano cartesiano? Construa um plano cartesiano em seu caderno e marque os pares indicados na tabela. pós marcar os pontos corretamente, descreva o que você percebe de regularidade nos pontos marcados? Enquanto x cresce de em y cresce de em. pós fazer a atividade você consegue perceber que marcar os pares de valores x e y, ou seja, os pares ordenados (x, y), nos permite enxergar graficamente como estes pares de valores se expressam? SIM O que você acabou de ver na verdade trata da correspondência entre duas variáveis, pois vimos que, por exemplo, um valor y é igual a um valor x multiplicado por e somado a, e que ao mudarmos (variarmos) o valor de x, o de y também muda (varia). Esta relação entre duas variáveis, da maneira como foi apresentada, chama-se função na matemática! Vamos definir função e compreender por que é importante representá-la no plano cartesiano. final, o que é uma função na matemática? É possível perceber que diferentes situações decorrentes de fenômenos naturais ou de situações do dia-a-dia, consequentemente, configuram-se como funções matemáticas, como, abastecer o carro, onde temos o valor a ser pago em função da quantidade de litros, ou ainda a velocidade do carro, que descreve a distância em função do tempo. Chamamos de função, na matemática, uma relação entre grandezas, expressa por conjuntos numéricos que obedecem a uma lei (equação, expressão algébrica, fórmula) matemática ao se relacionarem. Definição de função Sejam x e y duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x existe um único valor correspondente atribuído a y. Dizemos que y está em função de x e representamos y por f (x). Nesse caso, y é a variável dependente, e seu valor é chamado de imagem de x, pois seus valores dependem dos valores de x. O conjunto dos valores que podem ser atribuídos a x é chamado de domínio. D Im domínio imagem Funções na matemática Leia atentamente e faça o que é pedido: O viandante na floresta põe um pé diante do outro e a cada passada o caminho por ele vencido se acresce de uma nova porção. O trajeto guarda com o número de passos uma relação fixa e determinada; e com esta simples constatação já esboçamos propriamente o caráter duma função: existe uma interdependência entre duas grandezas no caso, o número de passos e o trajeto e essa interdependência obedece a uma lei determinada. Matematicamente expressamo-la dizendo que: o trajeto é uma função do número de passos. Levando-se em conta que cada passo do viandante percorre um trajeto de 8 centímetros, complete a tabela abaixo: Lei de uma função Lei de uma função é a fórmula (equação) que associa cada número real x ao seu correspondente y. Para exemplificar, considere a função f : R R (vamos nos lembrar dos conjuntos numéricos, f : R R significa que a função tem como domínio e imagem o conjunto dos números reais), conforme o diagrama de flechas abaixo: D = R - Im = R -6 Passos x Trajeto (metros),8,6,,,8.x ) Responda: a) Qual é a lei da função? y = x b) Para x =, qual é o valor de y? c) imagem de x = -, ou seja, f(-) é? -6 Rua Silvério Manoel da Silva, 6 airro Colinas Cep.: 99- Cachoeirinha RS Tel/Fax. (5) 96 cesuca@cesuca.edu.br

3 d) Se x =,5, qual é o valor de y? Recredenciamento Portaria MEC 7, de D.O.U.... Funções Injetoras, Sobrejetora e ijetoras. Uma função de em é injetora se cada elemento de tem imagem distinta em. Exercícios ) Observe a máquina abaixo que descreve uma função: x y de entrada (x) Triplica x e subtrai de saída (y) Uma função f: é sobrejetora se todo elemento de é a imagem de pelo menos um elemento de. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual ao contradomínio da função =, ou seja, para todo y em existe x em tal que y = f(x). a) De acordo com a maquininha, complete a tabela: b) Qual é a variável dependente e qual é a variável independente (pesquise estes conceitos)? O x é a variável independente e y é a variável dependente. c) Se x =, quanto vale o y? 89 ) Para as funções abaixo, dê o domínio, o contradomínio e a imagem: a) b) Uma função f: é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora D(f): {-,, } D(f): {,, 6} CD(f): {,, 9} CD(f): {,, 5, 7} Im (f): {, 9} Im (f): {,, 5} Exemplo: função f:r R dada por f(x)=x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora. ) Determine x e y para que cada uma das igualdades seja verdadeira: Rua Silvério Manoel da Silva, 6 airro Colinas Cep.: 99- Cachoeirinha RS Tel/Fax. (5) 96 cesuca@cesuca.edu.br

4 Portaria MEC 7, de D.O.U.... a) (x, y) = (, -) x = y = - c) (9, 6y) = (-x, -) 9 = -x x = 9/- x = - 6y = - y = -/6 y = -/ b) (x +, y - ) = (, -) x + = x = - x = d) (x, y - 5) = (8, 7) x = 8 x = 8/ x = y - = - y = - + y = - y - 5 = 7 y =7 + 5 y = y = / y = 6 ) Seja a função definida por y x 5 que também pode se escrita assim f x x 5. Calcule: a) f () =.+5 = d) f () =.+5 = 9 6) Seja h uma relação de = {-,,, 5, 6} em x = {-,,,, } expressa pela fórmula h( x). Faça o diagrama de flechas, marque os pares ordenados no plano cartesiano e verifique se é uma função de em. Se for uma função, dê o domínio, o contradomínio e a imagem. b) f () =.+5 = 5 e) f ( ) =.(-)+5 = Não é uma função porque x = 5 do conjunto não tem um correspondente (imagem) em. c) f ( ) =.(-)+5 = f) f (5) =.5+5 = 5 5) Seja f uma relação de = {-, -,,, } em = {-, -,,,,, } expressa pela fórmula f ( x) x. Faça o diagrama de flechas, marque os pares ordenados no plano cartesiano e verifique se é uma função de em. Se for uma função, dê o domínio, o contradomínio e a imagem É uma função D(f): {-, -,,, } CD(f): {-, -,,,,, } Im (f): {-,,,, } Rua Silvério Manoel da Silva, 6 airro Colinas Cep.: 99- Cachoeirinha RS Tel/Fax. (5) 96 cesuca@cesuca.edu.br

5 Portaria MEC 7, de D.O.U.... 7) Indique, circulando, quais pares ordenados estão dentro da mancha sobre o plano cartesiano: 9) tabela abaixo indica o preço do serviço executado por um pintor que tem uma taxa fixa de R$ 5, e mais uma quantia que depende da área pintada: Área pintada (em m²) Total a pagar (em R$) Observando a tabela, responda: a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar pela pintura de x metros quadrados? S = serviço x = metros quadrados S = x + 5 b) Qual o preço cobrado pela pintura de uma área de 5m²? S = S = 5 8) Um motorista de táxi cobra R$ 5,5 de bandeirada (valor fixo) mais R$,5 por quilômetro rodado. a) Qual é a lei que define a corrida (C) a ser paga em função dos quilômetros x rodados? C = 5,5 +,5x b) Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de quilômetros. c) Qual é a área máxima que pode ser pintada, dispondo-se de R$ 65,? 65 = x = x 6 = x 6/ = x x = metros quadrados. C = 5,5 +,5. C = 5,5 c) se a corrida deu R$,5, quantos quilômetros foram rodados C = 5,5 +,5x,5 = 5,5 +,5x,5-5,5 =,5x 9 =,5x 9/,5 = x x = 9, 9, Km. Rua Silvério Manoel da Silva, 6 airro Colinas Cep.: 99- Cachoeirinha RS Tel/Fax. (5) 96 cesuca@cesuca.edu.br

6 Portaria MEC 7, de D.O.U.... ) Os calçados são medidos por números: 5, 6 e 7 para a maioria das mulheres e 9, e para a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula para calcular y é: y = (5x + 8) /. Com base nessa relação, responda: a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede,8 cm? y = (5.,8 + 8) / y = ( + 8) / y = 5 / y = 8 Calça 8. b) Quanto mede o comprimento de um pé que calça? y = (5x + 8) / = (5x + 8) /. = 5x = 5x = 5x = 5x /5 = x x = 8 Mede 8 cm. c) Usando a fórmula acima, calcule quanto você calça. y = ( ) / y = (5 + 8) / y = 5 / y = 8,5 Na real eu calço nº 8. Rua Silvério Manoel da Silva, 6 airro Colinas Cep.: 99- Cachoeirinha RS Tel/Fax. (5) 96 cesuca@cesuca.edu.br