Função polinomial do 1 grau ou função afim

Transcrição

1 Curso Matemática do Zero Professor Rodrigo Sacramento Matemática Função polinomial do 1 grau ou função afim Plano cartesiano O Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares (dois eixos que formam 4 ângulos de 90 ) : um horizontal (abscissa) e outro vertical (ordenada). Definição de uma função polinomial do 1 grau ou função afim É qualquer função f de IR em IR dada por uma lei de formação do tipo f(x) = ax+b ou y = ax+b, em que a e b são números reais dados e a 0.Sabendo que a é o coeficiente angular ou taxa de variação e o b é o coeficiente linear ou termo independente. EX.: 1) y = 7x - 4 ( a = 7 e b = - 4 ) y = ax + b

2 2) y = - 5x + 3 ( a = -5 e b = 3 ) Gráfico de uma função polinomial de 1 grau ou função afim O gráfico de uma função afim é uma reta Observação: Toda função afim é uma reta, mas nem toda reta é uma função afim, pois as funções do tipo y = b, ou seja, as funções que o coeficiente angular é igual a zero. Como achar o valor de b (coeficiente linear) no gráfico da função y=ax+b? O valor de b é onde a reta toca ou intercepta o eixo y (eixo das ordenadas).

3 Como achar o valor de a (Taxa de variação) no gráfico da função y=ax+b? O a é tangente do ângulo de inclinação da reta ( o ângulo de inclinação é o ângulo da direita na parte superior formado pela reta da função e o eixo x ). Com esses dois pares ordenados c(x c, y c )e D(x d, y d ) podemos achar o a,pois ele é: a = tgθ = y x = y c y d x c x d Ex.: 1) O gráfico da função y=ax+b, onde a e b são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2).Qual é taxa de variação ou coeficiente angular da função? Resolução: Com dois pares ordenados da função afim, você consegue achar o valor do a e o valor do b. Para achar o a, só precisamos de dois pares ordenados da função afim, pois podemos utilizar esse recurso: a = y x Com utilizar na prática esse recurso? Temos dois pares ordenados A(1,6) e B (3,2). Com isso:

4 a = = 2 Se você pegou o primeiro y do ponto A e subtraiu do y do ponto B, então quando fizer o x, tem que ser obrigatoriamente na mesma ordem de A para B, porém se pegar o y de B e subtrair do y de A, então deve pegar o x de B e subtrair do x do A,fazendo isso sempre dará o mesmo resultado. a = = 2 Achando o coeficiente angular acabou a questão, pois essa era a pergunta, logo a=-2. Comentário... Como eu faço para achar o coeficiente linear? Nós já achamos o coeficiente angular. Então: y = 2x + b Agora é só utilizar um par ordenado qualquer que faça parte dessa função. Utilizaremos A(1,6), lembrando que esse par ordenado está dizendo que x=1 e y=6,então substituindo: A função é: 6 = b 8 = b b = 8 y = 2x + 8

5 Casos importantes: a) Função linear É uma função afim em que b=0, ou seja, y = ax, a 0, o gráfico passa pela origem (0,0). b) Função identidade É uma função afim que apresenta a=1 e b=0, ela fica reduzida a y=x. (A função identidade é a bissetriz do 1 e 3 quadrantes)

6 c) Função constante Na função constante, como a=0, a expressão y=ax+b fica reduzida a y=b. d) Translação f:ir IR definida por f(x)=x+b para todo x Є IR com a=1 e b 0( Simplificando você estará pegando a função identidade y=x e movimentando ela para cima ou para baixo ). EX.: 1) y = x + 4 2) y = x 6 Valor de uma função afim Lembrando... f(x) = ax + b ou y = ax + b y = f(x) y está em função de x y depende de x Se y está em função de x, quer dizer que y ficará em um lado da igualdade sozinho e o x do outro lado se relacionando com números. Por exemplo.: a) C está em função de R C = R 3 + 7

7 b) G está em função de P G = p 4 Ex.: f(x) = 3x + 5 a) f(2) = 3. (2) + 5 = 1 b) f( 2) = 3. ( 2) + 5 = 11 Zero da função afim ou Raiz da função afim Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Detalhe... f(x) = 0 ax + b = 0 x = b a Então a solução da equação do 1 grau é x = b a. Ex.: Qual a raiz da função y = 4x + 10? Quando pedir o valor da raiz é só zerar o y e achar o valor de x 0 = 4x = 4x 2,5 = x = 2,5 S = { 2,5}

8 Comentário... Qual é a função desse gráfico? Resolução: y = ax + b y = ax + 2, pois a reta está interceptando o eixo y no ponto 2. O 4 onde a reta está tocando o eixo x é a raiz. Lembrando que raiz é o valor de x quando y = 0. Então: 0 = a a = 2 a = 2 4 = 1 2 y = 1 2 x + 2 Dica para o Enem: Um motorista de táxi cobra uma taxa de R$ 3,00 pela bandeirada mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Assim, o preço de uma corrida por quilômetros ficará:

9 0 Km - Preço: = 3 1 Km - Preço: = 5 4 km - Preço: = 11 X km - Preço: 2.X+3 P = 2x+3 ou y = 2x+3 Observe que o coeficiente linear é um valor fixo, então em um problema de função afim o coeficiente linear é aquele valor que não sofre alteração, porém o coeficiente angular sofre alteração, por exemplo, na questão acima conforme aumenta à quilometragem, o coeficiente angular é multiplicado por ela. Fique atento que nos exercícios do Enem deste material teremos questões que utilizarão essa dica. No dia a dia... Ao abastecer um carro de corrida, os mecânicos perceberam que o tanque continha 8 litros de combustível. A bomba injetava 3 litros de gasolina por segundo. Observe:

10 0 segundo - Volume: = 8 1 segundo - Volume: = 11 2 segundos -Volume: = 14 t segundos - Volume: 3.t+8 Lembrando que teremos um limite, pois o tanque tem uma determinada capacidade e outras limitações também para essa função, mas a intenção é mostrar como surge uma função naturalmente. Importante para o Enem: As variações da função afim são proporcionais, possibilitando ser resolvida por regra de três. Na prática para o Enem: 1) Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10 C foi aquecida até 30 C. O gráfico anterior representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0 C.

11 a) 1 min b) 1 min 5 seg c) 1 min e 10 seg d) 1 min e 15 seg e) 1 min e 20 seg 2) ( Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ ,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ ,00, enquanto a segunda cobrou R$ ,00 por km construído (n),acrescidos de um valor fixo de R$ ,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n = 120n b) 100n = 120n c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n ) = 120(n ) e) 350(n ) = 150(n ) 3)(Enem 2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja,sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar,leva sempre R$ 6,00

12 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era: a) R$ 166,00. b) R$ 156,00. c) R$ 84,00. d) R$ 46,00. e) R$ 24,00. 4) (Enem 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as da janeiro deste ano, houve incremento de vagas no setor, totalizando trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: Acesso em: 26 abr (adaptado) Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é: a) y = 4 300x b) y = x c) y = x d) y = x e) y = x Gabarito: 1) D 2) A 3) B 4) C