Campos dos Goytacazes/RJ Maio 2015

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1 Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo Em relação à função polinomial do 1. grau, espera-se, com esta apostila, levar o aluno a: o Identificar o zero da função; o Classificar a função em o crescente ou decrescente; Desenvolver o estudo do sinal da função. Campos dos Goytacazes/RJ Maio 2015

2 Sumário P á g i n a 2 1. Zero da Função Polinomial do 1. Grau Crescimento e Decrescimento da Função do 1. Grau Estudo do sinal... 8 Exercícios Gabarito Referência... 19

3 1. Zero da Função Polinomial do 1. Grau P á g i n a 3 O valor de x para o qual uma função se anula, ou seja, o valor de x quando y = 0 (f(x) = 0), chama-se zero da função. Para determiná-lo, na função polinomial do 1. grau 1, basta resolver a equação ax + b = 0. O zero da função y = x 8, por exemplo, é 8 uma vez que: x 8 = 0 x = 8 O zero da função também é a abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo x. Daí, o ponto que determina essa interseção é (x, 0). A função do 1. grau possui um único zero, sendo assim, a reta intersecta o eixo x apenas uma vez. Exemplos: Figura 1 Gráfico de y = x + 2 Para y = x + 2, quando y = 0, temos que: x + 2 = 0 x = 0 2 x = 2 Sendo assim, -2 é o zero dessa função. Observe na figura 1 que o ponto de interseção da reta com o eixo x é (-2, 0). Para y = 2x + 4, quando y = 0, temos que: 2x + 4 = 0 2x = 0 4 2x = 4 Figura 2 Gráfico de y = 2x + 4 x = 4 2 = 2 Sendo assim, 2 é o zero dessa função. O ponto de interseção da reta com o eixo x é o ponto (2, 0), como mostra a figura 2. 1 Ao longo do texto, utilizaremos a expressão função do 1. grau como equivalente à função polinomial do 1. grau.

4 P á g i n a 4 Exemplo Resolvido 1: O zero de uma função do 1. grau é -5 e a reta que a representa possui coeficiente linear igual a 15. Expresse a lei dessa função. Solução: Para determinar a lei da função y = ax + b, é necessário encontrar os valores de a e b. O zero da função é -5, assim sabemos que quando x = 5, y = 0. Além disso, o coeficiente linear é igual a 15, sendo assim b = 15. Substituindo esses valores na lei, temos: a. ( 5) + 15 = 0 a. ( 5) = 15 a = 15 5 = 15 5 = 3 Encontrados a e b, a lei da função é: y = 3x Caso você não se recorde do conteúdo coeficiente linear, retorne à apostila Estudos dos Parâmetros da Função Afim e dos Coeficientes da Reta. Exemplo Resolvido 2: Figura 3 Ângulo de inclinação β=135 A figura 3 apresenta uma reta cujo ângulo de inclinação é 135, a qual pertence o ponto (-3, 0). Sabendo que esta representa a função do 1. grau f, determine: a) o zero da função f; b) f(25); c) o valor de x para que f(x) = 7. Solução: a) O zero da função é dado pela abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo x. Na figura temos que a reta intersecta o eixo x no ponto (-3, 0), então, o zero da função é -3. b) Para determinar f(25), precisamos encontrar a lei da função. Sabe-se que a taxa de variação (a) de uma função do 1. grau tem o mesmo valor que a tangente do ângulo de inclinação da reta, logo a = tg135, temos, então, que a = 1. Se o ponto (-3, 0) pertence ao gráfico da função, basta substituirmos este ponto e a = 1 na equação f(x) = ax + b: 0 = 1. ( 3) + b 0 = 3 + b b = 3 Caso você não se recorde do que é ângulo de inclinação e taxa de variação, retorne à apostila Estudos dos Parâmetros da Função Afim e dos Coeficientes da Reta.

5 P á g i n a 5 Tendo os valores de a e b, determinamos a lei da função: f(x) = x 3 Calculando f(25): f(25) = 25 3 = 28 c) No item anterior, determinamos a lei da função f, então, para determinarmos f(x) = 7, basta substituir o valor de f(x) por 7 na função f(x) = x 3, assim temos: f(x) = x 3 7 = x 3 x = 7 3 = Crescimento e Decrescimento da Função do 1. Grau Vamos considerar a função y = 2x + 1 (Figura 4). Atribuindo valores crescentes a x na função, observemos o que ocorre a y (Tabela 1): Tabela 1 Função y = 2x + 1 Figura 4 Gráfico de y = 2x + 1 x y Quando aumentamos os valores de x, os valores correspondentes de y também aumentam. Perceba que a taxa de variação desta função é positiva e equivale a duas unidades. Cada aumento de uma unidade em x gera um aumento de duas unidades em y (como discutido anteriormente 2 ), ou seja, quanto maior o valor de x, maior será o valor de y. Dizemos, então, que esta é uma função crescente. Vamos considerar agora a função y = 2x + 1 (Figura 5) e atribuir valores crescentes a x para observar o que ocorrerá a y (Tabela 2): Figura 5 Gráfico de y = 2x + 1 Tabela 2 Função y = 2x + 1 x y Esse conteúdo foi abordado na apostila Estudos dos Parâmetros da Função Afim e dos Coeficientes da Reta.

6 P á g i n a 6 Vemos que quanto maior é o valor de x, menor é o valor correspondente de y. Quanto à taxa de variação da função, temos que esta é negativa e equivale a -2 unidades. Isso significa que a cada aumento de uma unidade em x haverá a diminuição de duas unidades em y, ou seja, quanto maior o valor de x, menor o valor de y. Dizemos, então, que esta é uma função decrescente. Em resumo: Uma função do 1. grau é considerada crescente quando possui taxa de variação positiva e decrescente quando essa taxa é negativa. Exemplo Resolvido 1: Classifique as funções do 1. grau abaixo em crescente ou decrescente. a) f(x) = πx + 3 b) g(x) = x + 4 c) l(c) = 4 + 3c d) k(m) = 8 m Solução: Para determinar se uma função do 1. grau é crescente ou decrescente, partindo apenas de sua lei de formação, basta observar a taxa de variação da função. Se a taxa for negativa, a função será decrescente; se a taxa for positiva, a função será crescente. a) A taxa de variação dessa função é π, que é um número positivo, logo, a função é crescente. b) A taxa de variação é -1, portanto, negativa, logo, a função é decrescente. c) A taxa de variação é 3, pois é o termo que acompanha a variável independente c. Como 3 é um número positivo, essa função é crescente. d) A taxa de variação é -1, que é o termo que acompanha a variável independente m, sendo assim, essa função é decrescente. Exemplo Resolvido 2: Dados que os pontos (-7, 3) e (4, -1) satisfazem a uma função do 1. grau, determine se essa função é crescente ou decrescente.

7 P á g i n a 7 Solução: Para determinarmos se esta função é crescente ou decrescente basta descobrirmos o valor da taxa de variação dessa função. Para tanto, utilizaremos a = y x = y 2 y 1 x 2 x 1. a = y 2 y 1 = 1 3 x 2 x 1 4 ( 7) = 4 11 Como o valor da taxa de variação dessa função é negativo, essa função é decrescente. Outra forma de resolvermos: Também poderíamos ter notado, por meio dos pontos (-7, 3) e (4, -1), que a variação de x não possui o mesmo comportamento que a variação de y, como mostrado na tabela 3. Tabela 3 Função decrescente x y aumenta diminui Sendo assim, a função é decrescente. Exemplo Resolvido 3: Dados que os pontos (8, -3) e (3, -7) satisfazem a uma função do 1. grau, determine se essa função é crescente ou decrescente. Solução: Analisando os pontos (8, -3) e (3, -7), verificamos que a variação de x possui o mesmo comportamento que a variação de y, como mostra a tabela 4. Tabela 4 Função crescente x y diminui diminui Dessa forma, a função é crescente.

8 3. Estudo do sinal P á g i n a 8 Estudar o sinal de uma função significa determinar os valores de x para os quais a função: se anula, é positiva ou é negativa. Sendo f uma função de domínio D, dizemos que: f é positiva para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) > 0; f é negativa para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) < 0; f se anula para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) = 0. Nesse caso, x é o zero da função. Este estudo pode ser feito de forma algébrica ou por meio de gráfico. No caso de funções que têm como domínio o conjunto R e são sempre contínuas, como as funções polinomiais, é possível, ainda, utilizar um dispositivo prático, por meio do quadro de sinal. Podemos proceder de tal forma em funções contínuas, pois as imagens dessas funções só mudam de sinal em suas raízes reais. Como exemplo do estudo do sinal da função do 1. f(x) = 3x 9 (função crescente), utilizando os três métodos. Algebricamente Determinamos o valor de x para qual a função se anula: grau, vamos analisar a função Vimos, anteriormente, que esse valor é denominado zero da função e é determinado igualando f(x) a 0. Assim: f(x) = 3x 9 0 = 3x 9 3x = 9 x = 9 3 = 3 Determinamos os valores de x para os quais a função é positiva: Determinar os valores de x para os quais a função é positiva é o mesmo que determinar os valores de x para os quais a função é maior que 0, logo: f(x) = 3x 9 3x 9 > 0 x > 3 Informalmente, uma função é dita contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções.

9 P á g i n a 9 Determinamos os valores de x para os quais a função é negativa: Determinar os valores de x para os quais a função é negativa é o mesmo que determinar os valores de x para os quais a função é menor que 0, logo: f(x) = 3x 9 3x 9 < 0 x < 3 Então, o estudo de sinal para a função f(x) = 3x 9 é: f(x) = 0 x = 3 f(x) > 0 x > 3 f(x) < 0 x < 3 Graficamente Para tal método é necessário representar graficamente a função f(x) = 3x 9 (Figura 6) e, então, promover o estudo do sinal, como mostra a figura 7. Figura 6 Gráfico de f Observando o gráfico (Figura 7), verificamos que: Figura 7 Estudo de sinal para f(x) = 3x 9 a função é crescente; o zero da função, ou seja, o valor de x para o qual a função se anula (f(x) = 0, ou seja, y = 0) é 3; a função é positiva (f(x) > 0, ou seja, y > 0) quando x > 3; a função é negativa (f(x) < 0, ou seja, y < 0) quando x < 3.

10 P á g i n a 10 Por meio do quadro de sinal Esse método, para funções do 1. grau, segue as seguintes etapas: Encontrar o zero da função; Escolher um valor de x maior que o zero da função e substituir na lei de formação; Escolher um valor de x menor que o zero da função e substituir na lei de formação. Se, ao substituir o valor de x escolhido na função, o resultado for positivo, teremos que a função é positiva naquele intervalo, já se o resultado for negativo, teremos que a função é negativa naquele intervalo. Representamos essa análise Para realizar o estudo de sinal da função f(x) = 3x 9, por meio desse método, temos que: Encontrar o zero de f: 3x 9 = 0 3x = 9 x = 3 Escolher um valor de x menor que o zero da função, por exemplo, x = 1, e determinar o valor de y correspondente: 3x 9 = y y = = 6 (negativo) Escolher um valor de x maior que o zero da função, por exemplo, x = 4, e determinar o valor de y correspondente: 3x 9 = y = 3 (positivo) Representando o estudo do sinal da função no quadro abaixo: Assim, a função é nula para x = 3, positiva para x > 3 e negativa para x < 3. Vamos estudar mais um exemplo do estudo do sinal da função do 1. grau, analisando a função f(x) = 2x + 6 (função decrescente), utilizando, também, os três métodos.

11 P á g i n a 11 Algebricamente Determinamos o valor de x para qual a função se anula: f(x) = 2x = 2x + 6 2x = 6 x = 6 2 = 3 Determinamos os valores de x para os quais a função é positiva: f(x) = 2x + 6 2x + 6 > 0 6 > 2x ou 2x > 6. (-1) 3 > x 2x < 6 x < 3 x < 3 Determinamos os valores de x para os quais a função é negativa: f(x) = 2x + 6 2x + 6 < 0 6 < 2x ou 2x < 6. (-1) 3 < x 2x > 6 x > 3 x > 3 Então, o estudo de sinal para a função f(x) = 3x 9 é: f(x) = 0 x = 3 f(x) > 0 x < 3 f(x) < 0 x > 3 Graficamente Representando graficamente f(x) = 2x + 6 (Figura 8) e promovendo o estudo do sinal, como mostrado na figura 9, temos: Figura 8 Gráfico de f

12 Observando o gráfico (Figura 9), verificamos que: P á g i n a 12 a função é decrescente; Figura 9 Estudo de sinal para f(x) = 2x + 6 o zero da função, ou seja, o valor de x para o qual a função se anula (f(x) = 0) é 3; a função é positiva (f(x) > 0) quando x < 3; a função é negativa (f(x) < 0) quando x > 3. Por meio do quadro de sinal Encontramos o zero de f: 2x + 6 = 0 2x = 6 x = 3 Escolhemos um valor de x menor que o zero da função, por exemplo, x = 1, e determinamos o valor de y correspondente: y = 2x = 4 (positivo) Escolhemos um valor de x maior que o zero da função, por exemplo, x = 4, e determinamos o valor de y correspondente: y = 2x = 2 (negativo) Representamos o estudo do sinal da função no quadro abaixo: Assim, a função é nula para x = 3, positiva para x < 3 e negativa para x > 3.

13 P á g i n a 13 Exemplo Resolvido 1 Estude o sinal da função g(x) = 7x + 3. Solução: Pelo método do quadro de sinais, temos: 7x + 3 = 0 7x = 3 x = 3 7 Escolhendo um número maior que 3, encontramos g(x) < 0. Escolhendo um número menor que 7 3 7, encontramos g(x) > 0. Dessa forma obtemos o seguinte quadro de sinais: Assim, o estudo de sinal de g é: g(x) = 0 x = 3 7 g(x) > 0 x < 3 7 g(x) < 0 x > 3 7 Exemplo Resolvido 2 (Paiva 2010, p. 145; adaptada) Em um dia de inverno, a temperatura y de uma região do Rio Grande do Sul, em graus Celsius, em função do horário x, no período das 5 às 11 h, pôde ser descrita pelo gráfico (Figura 10): Figura 10 Gráfico do exemplo 2 a) Em que horário desse período a temperatura atingiu 0 C? b) Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve negativa? c) Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve positiva?

14 P á g i n a 14 Solução: a) O gráfico é um segmento de reta contido na reta que passa pelos pontos (5, -2) e (11, 10). A lei da função representada por essa reta é: y = ax + b (lei de formação da função afim). Como (5, 2) e (11, 10) pertencem à função, temos: a = y x a = 10 ( 2) 11 5 = 12 6 = 2 Como a = 2 e (5, -2) pertence à função, temos: 2 = b b = 12 Logo, o segmento de reta representado corresponde à função afim y = 2x 12, para 5 x 11. Assim, para encontrar o instante em que a temperatura atingiu 0 C, basta fazer y = 0: Portanto, a temperatura 0 C ocorreu às 6 h. 0 = 2x 12 x = 6 b) Pelo item anterior, sabemos que o gráfico intersecta o eixo x no ponto de abscissa 6. A leitura do gráfico permite observar que, durante o período considerado, a temperatura esteve negativa para 5 x < 6, ou seja, durante uma hora. c) Pela análise do gráfico observa-se que, durante o período considerado, a temperatura esteve positiva para 6 < x 11, ou seja, durante 5 horas.

15 P á g i n a As figuras a seguir representam, no plano cartesiano, gráficos de funções do 1. grau. Para cada uma delas, i) determine o zero, e ii) diga se a função é crescente ou decrescente. a) b) 2. A reta que representa a função afim h intersecta os eixos nos pontos ( 4, 0) e (0, 2). Essa função é crescente ou decrescente? 3. Sabendo que para a função afim f, f(2) = 5 e f( 1) = 4, determine: a) a lei dessa função; b) o valor de x para o qual a função se anula; c) o intervalo de x para o qual a função é positiva; d) o intervalo de x para o qual a função é negativa A função f(x) = ax + b é tal que f( 2) < 0 e f( 3) = 0. a) Qual é o zero da função f? b) f é crescente ou decrescente? c) Dê os sinais de: f(0) f (500) f( 100)

16 P á g i n a (Paiva 2010, p. 146; adaptada) Considere o metro como unidade em um eixo real vertical Oy, orientado para cima, tal que a origem O seja um ponto do nível médio das águas do mar. Chama-se altitude de um ponto a ordenada desse ponto no eixo Oy. Por exemplo, na figura abaixo, a altitude do ponto A é 200m, e a altitude de B é de -300m. Uma perfuratriz inicia uma cavidade no ponto A com o objetivo de atingir um ponto a m de altitude. Uma previsão da altitude atingida pela broca, em metro, em função do tempo, em hora, é apresentada pelo gráfico a seguir. a) Escreva a lei de associação y em função de x. b) Em quantas horas, depois de iniciada a perfuração, a broca atingirá o nível médio do mar? c) Quantas horas serão necessárias para a broca atingir o objetivo? d) Por quanto tempo, durante a perfuração, a broca estará em pontos de altitude positiva? e) Por quanto tempo, durante a perfuração, a broca estará em pontos de altitude negativa?

17 P á g i n a Determine os intervalos de x para os quais as funções h e g são positivas e negativas sabendo que: a) h ( 5) = 0 e que a taxa de variação da função h é 4. b) O valor inicial da função g é 6 e sua taxa de variação é O quadro abaixo se refere ao estudo de sinais de uma função g polinomial do 1 grau: a) Qual o zero de g? b) g é crescente ou decrescente? c) Dê o sinal de f ( 10) f ( 500). 1. a) i) x = 1; ii) crescente b) i) x = 10 ; ii) decrescente 3 2. crescente. 3. a) f(x) = 1 13 x b) x = 13 c) x > 13 d) x < a) 3 b) crescente c) f (0) < 0 ; f (500) > 0 ; f ( 100) < 0

18 5. a) y = 25x b) 8 horas c) 20 horas d) 8 horas e) 12 horas P á g i n a a) h é positiva para x > 5 e negativa para x < 5. b) g é positiva para x < 6 e negativa para x > a) 20 b) decrescente c) f(15) > 0, f( 5) > 0, então, f(15) x f ( 5) > 0

19 Referência P á g i n a 19 PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: Paiva. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2010.