MATEMÁTICA. Conceito de Funções. Professor : Dêner Rocha

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1 MATEMÁTICA Conceito de Funções Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1

2 Noção de Função 1º) Dados A = {-, -1, 0, 1, } e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = 3x, com x A e y B, temos: Note que: * Todos os elementos de A têm correspondente em B; * A cada elemento de A corresponde um único elemento de B Nesse caso, temos uma função de A em B ) Dados A = {0, 4} e B = {, 3, 5} e a correspondência entre A e B dada pela desigualdade y > x, com x A e y B, temos: Note que: * Todos os elementos de A têm correspondente em B; * Ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B e não a um único Nesse caso, NÃO temos uma função de A em B 3º) Dados A = {-4, -, 0,, 4} e B = {0,, 4, 6, 8} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x, com x A e y B, temos: Note que: * Há elementos de A (os números -4 e -) que não têm correspondente em B Nesse caso, NÃO temos uma função de A em B Monster Concursos

3 4º) Dados A = {-, -1, 0, 1, } e B = {0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x, com x A e y B, temos: 4 Note que: * Todos os elementos de A têm correspondente em B; * A cada elemento de A corresponde um único elemento de B Nesse caso, temos uma função de A em B Definição e Notação Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x A a um único elemento y B Usamos a seguinte notação: que se lê: f é uma função de A em B f: A B ou A f B A função f transforma x de A em y de B 1) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? a) b) Monster Concursos 3

4 c) d) ) Dados A = {0, 1,, 3}, B = {-1, 0, 1} e a correspondência entre A e B dada por y = x, com x A e y B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem 1º) Dados os conjuntos A = {0, 1,, 3} e B = {0, 1,, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A B que transforma x A em y B Em toda função f de A em B, Im(f) B Nesse caso, a função f: A B está definida por y = x ou por f(x) = x Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = f(x) de B Nesse exemplo, o domínio é A = {0, 1,, 3}, o contradomínio é B = {0, 1,, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y = x e o conjunto imagem é dado por Im(f): {0,, 4, 6} definida por g(x) = x² Nesse caso a função g transforma todo º) Consideremos a função g: número inteiro x em outro número inteiro y que é o quadrado de x * A imagem de x = - é g(-) = (-)² = 4 * A imagem de x = -1 é g(-1) = (-1)² = 1 * A imagem de x = 0 é g(0) = (0)² = 0 * A imagem de x = 1 é g(1) = (1)² = 1 * A imagem de x = é g() = ()² = 4 Portanto, o domínio é, o contradomínio é, a regra é y = x² e o conjunto imagem é, isto é, Im(g) = Monster Concursos 4

5 Generalizando: Dada uma função h de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função Para cada x A, o elemento y B chama-se imagem de x pela função h ou o valor assumido pela função h para x A e o representamos por h(x) Assim, y = h(x) O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função h e é indicado por Im(h) 1) Considere a função A f B dada pelo diagrama e determine: a) D(f) b) CD(f) c) Im(f) d)f(4) e) y, quando x = 6 f) x, quando y = 7 g) f(x), quando x = 5 h) x, quando f(x) = 1 g ) Considere A B a função para a qual A = {0, 1,, 3, 4} e B = {-, -1, 0, 1, 4, 7, 10} e g(x) é o triplo de x diminuído de para todo x A a) Considere o diagrama de flechas da função: b) Determine D(g), CD(g) e Im(g): c) Determine g(3): d) Determine x para o qual g(x) = -: Estudo do Domínio de uma Função Real Vimos que uma função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei de correspondência Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B) No entanto, às vezes é dada somente a lei da função f sem que A e B sejam citados Nesses casos consideramos o contradomínio B = e o domínio A como o maior subconjunto de (A ) tal que a lei dada defina uma função f: A Observe os seguintes exemplos: Monster Concursos 5

6 1º) f(x) = x Sabemos que o denominador de uma fração tem que ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero Nesse caso, temos que ter 0 para que Para cada 0, o valor x Logo, D(f) = - {0} = * º) f(x) = 4 x sempre existe e é único Sabemos que no conjunto dos números reais ( Portanto, temos que ter x 4 0 para que 4 seja possível em ), não existe raiz quadrada de número negativo seja possível em Para cada 4, f(x) = Logo, D(f) = {x x 4 0 existe e é único 4} = [4, + [ 4 4 3º) f(x) = 7 x Nesse caso, devemos ter: (I) e (II) x > 0 x > Ou seja, x ], 7] Para cada x ], 7], f(x) existe e é único Logo, D(f) = ], 7] 1) Explicite o domínio das funções reais definidas por: a) f(x) = x² - 7x + 6 c) f(x) = x² 3x 3 4 b) f(x) = d) f(x) = 6 x 3 1 Monster Concursos 6

7 Construção de Gráficos de Funções Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com x D(f), no plano cartesiano, devemos: * Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com valores correspondentes para y = f(x); * A cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano; * Marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função Exemplos: 1º) Vamos construir o gráfico da função f: dada por f(x) = x + 1 Como, neste caso, D =, vamos escolher alguns valores arbitrários de x: x y = f(x) = x O gráfico da função dada é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x + 1, resultando na reta da figura abaixo º) Vamos construir o gráfico da função f dada por f(x) = -x² x Y = f(x) = -x² (x, y) - -4 (-, -4) -1,5 -,5 (-1,5; -,5) -1-1 (-1, -1) 0 0 (0, 0) 1-1 (1, -1) 1,5 -,5 (1,5; -,5) -4 (, -4) Monster Concursos 7

8 A curva que contém todos os pontos obtidos com y = -x² é o gráfico da função dada Essa curva se chama parábola 3º) Vamos construir o gráfico das função f dada por f(x) = x, se 3 3, se x > 3 Nesse caso, a função está definida por duas sentenças: f(x) = x, se 3 f(x) = 3, se x > 3 3 x y = f(x) = x (x, y) -1-1 (-1, -1) 1 1 (1, 1) 3 3 (3, 3) x > 3 x y = f(x) = x (x, y) 4 3 (4, 3) 5 3 (5, 3) 6 3 (6, 3) Monster Concursos 8

9 1) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções y = f(x), f: : a) y = x + 3 b) f(x) = x² + 3 c) f(x) = 4x, se 0 0, se x < 0 Como determinar o domínio e a imagem de uma função a partir do seu gráfico? Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, às vezes, determinar o domínio D e o conjunto Im da função, projetando o gráfico nos eixos: D(f) = { x 4} = [, 4] D(f) = { x 4} = [, 4] Im(f) = { 1 5} = [1, 5] Im(f) = { 1 5} = [1, 5] 1) Os seguintes gráficos representam funções; determine o domínio D e o conjunto imagem Im de cada uma delas: a) b) c) Monster Concursos 9

10 Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função Já vimos que, para ter uma função de A em B, a cada x A deve corresponder um único y B Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo uma única vez Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função Por exemplo: O gráfico acima é de uma função O gráfico acima não é de uma função 1) Determine se cada um dos gráficos abaixo representa uma função: a) b) c) d) Monster Concursos 10

11 Analisando o gráfico de uma função De modo geral, analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades importantes dela, tais como: 1º) Onde ela é positiva (f(x) > 0), onde ela é negativa (f(x) < 0) e onde ela se anula (f(x) = 0) Os valores x 0 nos quais ela se anula (f(x 0 ) = 0) são chamados zeros ou raízes da função f º) Onde ela é crescente (se x 1< x, então f(x 1) < f(x )), onde ela é decrescente (se x 1 < x, então f(x 1) > f(x )), onde ela é constante (se x 1< x, então f(x 1) = f(x )) e onde ela assume um valor máximo ou um valor mínimo, se existirem Exemplo: Considere o gráfico abaixo de uma função definida no intervalo ]-6, 6[: * f é positiva em ]-5, -1[ e em ]5, 6[ * f é negativa em ]-6, -5[ e em ]-1, 5[ * f é nula em x = -5, x = -1 e x = 5 Esses são os zeros ou raízes da função * f é crescente em ]-6, -3] e em [, 6] * f é decrescente em [-3, ] * O ponto com x = -3 é um ponto de máximo e f(x) = é o valor máximo de f * O ponto com x = é um ponto de mínimo e f(x) = -3 é o valor mínimo de f 1) Considerando o gráfico a seguir, que representa uma função, responda: a) Qual o domínio e a imagem da função? b) Em que intervalos a função é crescente? c) Em que intervalo a função é decrescente? d) f (1) é maior, menor ou igual a f(4)? f (5) e) Qual o valor de? f ( 3) f () f) Quais são os zeros ou raízes da função? g) Qual é o valor mínimo de f? #umavagaéminha Monster Concursos 11