Plotar Gráficos com Recursos Computacionais

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1 Plotar 1 Gráficos com Recursos Computacionais Plotar (esboçar) o gráfico de uma função nem sempre é uma tarefa fácil. Para facilitar nosso trabalho, podemos utilizar softwares matemáticos especialmente elaborados com este propósito. Como exemplos de softwares matemáticos, podemos citar o Graphmatica, o Winplot, o Origin, o Maple, o Mathematica, o MATLAB e o Derive. Além desses, podemos contar também com a ajuda das calculadoras gráficas. Em nosso estudo, vamos utilizar apenas gráficos gerados pelo Graphmatica, pois este programa oferece uma facilidade muito grande no seu uso. Buscamos aqui retratar alguns dos problemas encontrados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 1, relacionados ao traçado de gráficos. Nosso objetivo não é apontar os problemas do Graphmatica, em particular, ou de qualquer outro software, mas sim mostrar que o conhecimento teórico, sobre o traçado de gráficos, é fundamental para decidir quando um software apresenta resultados confiáveis ou não. Queremos com isso, mostrar que nem tudo que é obtido através de um software pode servir para uma análise adequada. Escolha da Janela de Observação Um aspecto importante para o traçado de gráficos é a escolha do intervalo em que o gráfico será feito. Para que tenhamos uma imagem correta do comportamento da função, precisamos analisá-la no "melhor" intervalo possível. A escolha de tal intervalo deve ser feita de modo que os aspectos importantes da função apareçam no gráfico, e isso será determinante na qualidade da análise que faremos. Esse domínio, onde enxergamos o desenho da função, é chamado de janela de observação. A seguir, mostraremos exemplos de três diferentes escolhas da janela de observação para uma mesma função: 1 Plotar - Mapear ou diagramar. Conectar ponto a ponto valores coordenados. Graphmatica não é um programa gratuito, mas seus responsáveis disponibilizam uma versão avaliativa, totalmente funcional. 1

2 Janela: -8 x 8 e -8 y 8 Janela: -3 x 3 e -8 y 8 Janela: -3 x 0 e -18 y Os três gráficos acima representam a mesma função f(x) x3 5x 3, apesar de não ser essa a impressão que temos. O que muda de um para outro é a janela de observação, dando-nos a falsa idéia de que são gráficos de funções diferentes. Observe que se considerarmos os gráficos apresentados nas duas primeiras janelas de observação, para estudarmos o comportamento da função, estaremos cometendo erros na análise, ainda que o programa tenha esboçado corretamente estes dois gráficos. Dessa forma, ao fazermos um gráfico, utilizando uma ferramenta gráfica 3, devemos levar em conta que janelas de observação diferentes podem produzir imagens muito diferentes de um gráfico. Portanto, a escolha de uma janela de observação adequada, baseada em uma análise teórica da função, é fundamental para que possamos confiar no gráfico produzido pelo software. Gráficos com Escalas Diferentes Outro cuidado que devemos ter para com a elaboração de gráficos, utilizando uma ferramenta gráfica, está relacionado com a escolha de escalas adequadas. Os exemplos a seguir apontam para a importância de conhecermos o funcionamento do software, bem como para a necessidade de contarmos com recursos teóricos que nos permitam fornecer os dados necessários para que o programa produza um gráfico correto. Como primeiro exemplo, vamos considerar os dois gráficos, descritos a seguir, referentes à equação x y 4: 3 O termo ferramenta gráfica refere-se tanto a uma calculadora gráfica quanto a um programa gráfico para computador.

3 Observe que no gráfico à esquerda usamos escalas diferentes para os dois eixos, dando-nos a falsa impressão de que a curva produzida pelo software é uma elipse. Já no gráfico à direita, utilizamos escalas iguais nos dois eixos e com isso, observamos que a curva é uma circunferência e não uma elipse. Como outro exemplo, para entendermos a importância de se escolher escalas adequadas, x y vamos considerar os dois gráficos descritos abaixo, referentes à equação O gráfico à esquerda foi elaborado utilizando escalas diferentes para os dois eixos, ficando a x y impressão de que a curva traçada é uma circunferência. Analisando a equação 1, 9 16 podemos observar que esta se refere a uma elipse e não a uma circunferência. Assim, considerando escalas iguais para os dos eixos, o gráfico à direita nos mostra que se trata de uma elipse (como já havíamos concluído através da análise da equação). 3

4 Consideremos outro exemplo para entender como a escolha de escalas adequadas, para os eixos coordenados, tem um papel importante na análise de gráficos elaborados por uma ferramenta gráfica. 1 Observe os gráficos das retas f(x) 3x e g(x) x descritos na ilustração abaixo: 3 A escala no eixo x é igual a escala no eixo y. A escala no eixo x não é igual a escala no eixo y. Como essas retas têm coeficientes angulares que são recíprocos negativos, então elas são perpendiculares. Observe que na figura à direita, as retas não parecem ser perpendiculares porque as escalas nos eixos x e y são diferentes. Fica claro que o uso de escalas diferentes, no traçado de uma curva, pode nos dar uma idéia errada da curva em questão. Nos exemplos acima, conseguimos evitar esse erro, pois o traçado dessas curvas é bem conhecido. Assim, de modo geral, para confiarmos no gráfico produzido pelo programa gráfico é necessário observar se ele foi esboçado usando-se escalas iguais para os dois eixos coordenados ou não. Problemas Frequentes no Traçado de Gráficos Apresentamos aqui alguns exemplos de problemas que são freqüentes na elaboração de curvas utilizando uma ferramenta gráfica. 3 O primeiro exemplo representa o gráfico da função f(x) x 3x x 1. 4

5 Observe que, olhando para o gráfico você poderia deduzir que se trata de uma reta, o que não é verdade. Analisando a equação dada, notamos que se trata de um polinômio de grau 3 que não tem como representação gráfica uma reta. Segue daí a importância de se ter um conhecimento teórico prévio, para utilizarmos uma ferramenta gráfica de maneira adequada. A imagem correta da curva está descrita na ilustração abaixo. O segundo exemplo representa o gráfico da função f(x) x 3x x. Gráfico incorreto de f(x) Gráfico correto de f(x) Observe que, como o denominador da função é zero em x =, então o gráfico de f tem uma assíntota vertical em x = que não aparece no gráfico (à esquerda) feito pelo programa. Assim, quando usar uma ferramenta gráfica, tenha cuidado para interpretar corretamente o gráfico de uma função com uma assíntota vertical. O terceiro exemplo representa o gráfico da função f(x) x x 1 : x 1 5

6 Gráfico incorreto de f(x) Gráfico correto de f(x) Observe que para todos os valores de x diferentes de x = 1, o gráfico de f coincide com o gráfico x 1 da função g(x). Assim, o gráfico de f tem uma assíntota vertical em x = -1 que não aparece x 1 no gráfico (à esquerda) feito pelo programa. Além disso, a função não está definida para x = 1 e, portanto, o gráfico de f tem um ponto de descontinuidade em x = 1 que também não aparece no gráfico feito pelo programa. O quarto exemplo representa o gráfico da função 1 f(x) cos x. Quando você utiliza uma ferramenta gráfica para estudar o comportamento de uma função, próximo de um valor de x, nem sempre poderá confiar nas imagens produzidas por ela. Para determinar 1 lim cos x 0 x, a partir da imagem fornecida por uma ferramenta gráfica, provavelmente você poderá obter uma resposta incorreta uma vez que o gráfico tem infinitas oscilações em qualquer intervalo que contenha 0. 6