Derivada : definições e exemplos

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1 Derivada : definições e exemplos Retome-se o problema Dada uma curva y f ( x curva ( =, determinar em cada ponto x f ( x, a tangente à e analise-se este problema numa situação simples: Considere-se a parábola y = f ( x = x y + y + Se sofre um acréscimo, y f ( x y = passa para ( x + = ( x + = x + x + ( Δ + = f x e assim, Δ y = + ( O declive da recta (a amarelo que passa pelos pontos ( x, y e ( x + y + x ( + = = x +, é Quando tende para zero, este declive aproxima-se do declive da recta tangente (a azul à parábola no ponto ( x y,

2 y + y + Como quando tende para zero é neste caso: tende para, a resposta à questão proposta O declive da recta tangente à parábola de equação y = x é, em cada ponto ( x, y do seu gráfico, dado por e a equação da recta tangente à parábola no ponto ( x y, é y = y + x ( x x Seja f uma função definida num intervalo aberto I IR e I O declive da recta que passa pelos pontos ( x f ( e ( x f ( x +, ( x + f ( x = f Δ y A este declive chama-se razão incremental de f entre e x + +, é f ( x + f( x +

3 Quando tende para zero, as sucessivas rectas passando pelo ponto de abcissas e x + Δ x aproximam-se da recta tangente ao gráfico de f nesse ponto (caso essa tangente exista Diz-se que a função f tem derivada no ponto se existe (em incremental de f entre e x + Δ x quando tende para zero x + _ IR o limite da razão Ao valor deste limite chama-se derivada de f em e escreve-se f ( ( f ( f + Como x + Δ x tende para quando tende para zero, pode-se escrever f ( x ( f ( f x x Diz-se que f é diferenciável em I se existe e é finita a derivada no ponto A função f é diferenciável em I se for diferenciável em todos os pontos de I Exemplos: 1 A função f : IR IR definida por f (x = k, k IR é diferenciável em IR e, para cada x IR, tem-se f ( x ( f ( x f x + k k =

4 A função f : IR IR definida por f ( x = x é diferenciável em IR e, para cada x IR, tem-se f ( x ( f ( x f x + ( x + x =1 3 A função f : IR IR definida por f x sin( x para cada x IR, tem-se f ( x ( f ( x f x + sin ( x + x ( = é diferenciável em IR e, ( sin( x sin x + cos ( x + + x sin cos x + = cos x Se a função f é diferenciável no ponto, a recta tangente ao gráfico de f em ( x f ( x, tem por declive f ( ( IR e a tem a equação ( = ( + ( ( t x f x f x x x Exemplo: 1 Seja f : IR IR definida por Para cada x IR tem-se f ( x = x f ( x ( f ( x f x + ( + x = x ( x + x ( x + ( + x x Assim, a função é diferenciável em IR e a equação da tangente num ponto ( t ( x = x + x ( x x, é

5 Obviamente que o declive da tangente varia com : se = a tangente coincide com o eixo Ox; se > o declive da tangente é positivo; se < o declive da tangente é negativo Por exemplo, no ponto ( 1, 1 a tangente é a recta de equação Graficamente ( x = 1 ( x + 1 = x 1 t Se a função tem derivada infinita no ponto a tangente ao seu gráfico no ponto de abcissa é uma recta vertical e tem a equação x = x Exemplo: Seja f : IR IR definida por f ( x = 3 x e calcule-se f ( Tem-se f ( ( f ( f + 3 = + Graficamente, a tangente no ponto (, é uma recta vertical (com declive infinito

6 Se f é diferenciável em I tem sentido definir uma nova função f : I IR que a cada ponto x I associa a derivada de f nesse ponto, f ( x Essa função f é denominada função derivada de f Exemplo: A função f : IR IR definida por f x sin( x derivada é f : IR IR definida por f ( x = sin( x ( = é diferenciável em IR e a função Chama-se derivada de f à direita em ao limite da razão incremental quando tende para zero por valores maiores do que zero (ou quando x tende para por valores maiores do que e escreve-se, f d ( + ( f ( f + ou f d ( + x ( f ( f x x Analogamente, chama-se derivada de f à esquerda em ao limite da razão incremental quando Δ x tende para zero por valores menores do que zero (ou quando x tende para por valores menores do que e escreve-se, f e ( Se f ( x = f ( d e ( f ( f + ou f e ( x é imediato que f é diferenciável em ( f ( f x x Exemplos: 1 A função definida em IR por f ( x = x não tem derivada em uma vez e d : que f (? f ( ( x f e ( x x = 1 e f d A função definida em IR por g(x = x se x 1 se x = em = Tem-se f e ( x ( x 1 x = + e f d ( x + x x =1 = tem derivadas laterais infinitas ( x + x 1 x =

7 Graficamente 1 x sin 1 x se x 3 A função definida em IR por h(x = se x = derivadas laterais em = De facto, h e ( x existem x sin 1 x x, h d ( x + x sin 1 x x não tem derivada nem e estes limites não