MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

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1 MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Considere a função f x : R R tal que y = f(x). Então: Derivada: Mede a taxa de variação de f em relação a variável x que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f. Notação: f x, f x ou df x dx A derivada f a é o coeficiente angular da reta tangente à função f x no ponto (a, f a ). Diferencial: df x dx = f x df x = f x dx Vamos usar o diferencial como na definição acima. O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de variáveis (como regra da cadeia e integração) com facilidade.

3 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO A integração é a operação que nos dá a função quando conhecemos sua diferencial. Considere: Note que as funções acima: Função Derivada Diferencial y = x 2 4 dy dx = 2x dy = 2x dx y = x 2 dy dx = 2x dy = 2x dx y = x dy dx = 2x dy = 2x dx y = x 2 + C dy dx = 2x dy = 2x dx diferem entre si apenas no termo constante; possuem a mesma diferencial.

4 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO Dada diferencial dy = 2x dx podemos encontrar as infinitas funções que a produziram, através da relação inversa. A integral indefinida de dy = 2x dx é dada por: dy = 2x dx y = x 2 + C

5 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO Considere: d a relação que leva a função à sua derivada; d ;1 a relação inversa de d. então d ;1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes. x x 2 x x x 2 + C : Conjunto de todas as funções com derivadas contínuas em [a, b] : Conjunto de todas as funções contínuas em [a, b]

6 INTEGRAL INDEFINIDA f x dx = F x + C Integrando Constante de integração (pode assumir infinitos valores) Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial. F x F x + C é a solução geral; + 10 é uma solução particular C = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.

7 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C Problema: Determine a equação da família de curvas sabendo-se que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. O declive a da tangente à curva é a derivada da função (curva) no ponto considerado, logo: De acordo com o problema: a = 2x dy dx = 2x dy = 2x dx a = dy dx Integrando: dy = 2x dx. Assim, y = x 2 + C.

8 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C Uma vez que y = x 2 + C Representação gráfica y y = x y = x y = x 2 + C y = x 2 4 Para C = 4, y = x 2 4. Para C = 0, y = x 2. Para C = 2, y = x x

9 A CONSTANTE C A constante C de integração é a altura onde a curva intercepta o eixo das ordenadas. Considerando o problema anterior, pede-se: Determine a curva da família que passa pelo ponto 1, 3. A equação da família de curvas é: y = x 2 + C. Da condição fixada, y = 3 e x = 1, então: 3 = C C = 2. y y = x Portanto a curva é a parábola: 1, 3 y = x x

10 PROPRIEDADES P1: Considere k uma constante fixa, assim sempre que u x = k w(x) então: u x dx = k w x dx = k w x dx Exemplo. Reescreva 4x dx. Note que, neste caso, temos u x w x = x, então: = 4 x, assim k = 4 e 4x dx = 4 x dx ou 4x dx = 2 2x dx = 2x 2 + C

11 PROPRIEDADES P2: A integral da soma é igual a soma das integrais. u x + w x + v x dx = u x dx + w x dx + v x dx Exemplo: Reescreva 3x 2 4x 3 6 dx Note que, neste caso, temos u x = 3x 2, w x = 4x 3 e v x = 6x 0, então: 3x 2 4x dx = 3x 2 dx 4x 3 dx + 6dx

12 INTEGRAIS IMEDIATAS 1. u n du = un+1 n:1 + C, n 1 Exemplos. Determine: a) x 3 dx. Note que u n = x 3, assim u = x e n = 3, então: x 3 dx = x3:1 x4 + C = C b) dx. Note que u n = 1 = x 0, assim u = x e n = 0, então: dx = 1 dx = x 0 dx = x0:1 + C = x + C c) k dx. Note que u n = x 0, assim u = x e n = 0, então: k dx = k dx = k x 0 dx = k x + C

13 INTEGRAIS IMEDIATAS 2. u du u = ln u + C Exemplo. Determine 1 x dx Note que u = x e u = x 1;1 = x 0 = 1, então: 1 dx x = ln x + C 3. a u du = au ln a Exemplos. Determine: + C, sendo a uma constante real fixa. a) 4 x dx. Note que a = 4 e u = x, então: 4 x dx = 4x ln 4 + C b) e x dx. Note que a = e e u = x, então: e x dx = ex ln e + C = ex + C

14 INTEGRAIS IMEDIATAS 4. sen u du = cos u + C Exemplos. Determine: a) sen(x) dx. Note que u = x, então: sen(x) dx = cos x + C b) sen(2x) dx. Neste caso, u = 2x então precisamos conhecer d 2x para utilizarmos a integral imediata sen u du = cos u + C. Note que: d 2x dx = 2 d 2x = 2 dx então: sen(2x) dx = 1 sen(2x) dx = = 1 2 sen(2x) 2dx = sen(2x) dx = 2 sen(2x) d 2x 2 sen(2x) dx = 2 sen(2x) dx = 1 2 sen(2x) d 2x = 1 2 cos 2x + C = 1 cos 2x + C 2

15 INTEGRAIS IMEDIATAS 5. cos u du = sen u + C 6. sec 2 (u) du = tg(u) + C 7. cossec 2 u du = cotg u + C 8. sec u tg u du = sec u + C 9. cossec u cotg u du = cossec u + C u 2 :a 2 du = 1 a tg;1 u a + C a 2 ;u 2 du = sen;1 u a + C

16 EXERCÍCIOS Determine: a) 2x 9 dx b) 3x dx c) 8x 3 6x 2 + 5x 1 x3 + x x 2 dx d) 3 x 2 3 x + 2 dx e) 2x dx x 2 :1

17 SOLUÇÃO EXERCÍCIO A) a) 2x 9 dx Note que utilizaremos a regra u n du = un+1 Uma vez que u = 2x, então n:1 + C, com u = 2x e n = 9 então d 2x dx = 2 d 2x = 2dx 2x 9 dx = 2x 9 dx 2 2 = 1 2 2x 9 2dx 2x 9 dx = 1 2 2x 9 d 2x = 1 2 d 2x 2x 9:1 (9 + 1) + C 2x 9 dx = 2x C.

18 SOLUÇÃO EXERCÍCIO B) b) 3x dx Note que utilizaremos a regra u n du = un+1 + C, com u = 3x + 1 e n:1 n = 7 Uma vez que u = 3x + 1, então: assim, d 3x + 1 dx = 3 d 3x + 1 = 3dx 3x dx = 3x dx 3 3 = 1 3 3x dx d 3x + 1 3x dx = 1 3 3x d 3x + 1 = 1 3 3x + 1 7: C 3x dx = 3x C.

19 SOLUÇÃO EXERCÍCIO C) c) 8x 3 6x 2 + 5x 1 x3 + x x 2 dx 8x 3 6x 2 + 5x 1 x 3 + x x 2 dx= = 8x 3 dx 6x 2 dx + 5x dx x ;3 dx + x 3 2 dx 2 dx = = 8 x 3 dx 6 x 2 dx + 5 x dx x ;3 dx + x 3 2 dx 2 dx = = 8 x3+1 6 x x1+1 x x(3 2) x0+1 + C = 3:1 2:1 1:1 ;3:1 2 :1 0:1 = 8 x4 6 x3 + 5 x2 x 2 + x x + C ;2 2 8x 3 6x 2 + 5x 1 x 3 + x x 2 dx = 2x4 2x x x 2 + 2x2 5 x 2x + C.

20 SOLUÇÃO EXERCÍCIO D) d) 3 x 2 3 x + 2 dx 3 x 2 3 x + 2 dx = 9x 4 dx = 9x dx 4 dx = 9 x dx 4 dx = 9 x1: x0: C 3 x 2 3 x + 2 dx = 9 2 x2 4x + C.

21 SOLUÇÃO EXERCÍCIO E) e) 2x dx x 2 :1 Note que utilizaremos a regra u du u = ln u + C, com u = x e u = 2x, então: 2x dx x = ln x C.

22 EXEMPLO 2. INTEGRE I = e 3x dx. Note que utilizaremos a regra a u du = au a = e e u = 3x. Uma vez que u = 3x, então: ln u + C, com du dx = d 3x dx = 3dx d 3x = 3dx. assim: e 3x dx = 3 3 e3x dx = d 3x 1 3 e3x 3dx = = 1 3 e 3x 3d x = 1 3 e 3x d 3x = 1 3 e3x + C I = 1 3 e3x + C

23 EXEMPLO 3. INTEGRE I = x sen 3x 2 dx. Note que utilizaremos a regra sen u du = cos u + C, com u = 3x 2 Uma vez que u = 3x 2, então: du dx = d 3x2 dx = 3 2x 2;1 = 6x d 3x 2 = 6x dx assim, utilizando as Regra de Integração Imediata 8, temos que x sen 3x 2 dx = 6 6 x sen 3x2 d x = d 3x 2 6x x sen 3x2 d x = = 1 6 sen 3x 2 6x d x = 1 6 sen 3x 2 6x d x = 1 6 sen 3x 2 d 3x 2 = = 1 6 cos 3x2 + C = 1 6 cos 3x2 + C