velocidade média = distância tempo = s(t 0 + t) s(t 0 )

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Cálculo I e Cálculo Diferencial I - Professora: Mariana G. Villapouca Aula 3 - Derivada Taxa de variação: Sejam f : I R e x 0 I. f(x) r x0 rx f = f(x) f(x) = = f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0 ) x 0 θ x t(θ) = f(x) = coeficiente anular da reta r x Taxa de variação média: f(x) Coeficiente anular da reta tanente: Quando x x 0 (x, f(x)) (x 0, f(x 0 )) coeficiente anular de r x tende ao coeficiente anular de r x0, isto é, f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x) o coeficiente anular de r x0 0 0 Equação da reta tanente r x0 : y f(x 0 ) = (coef. an. de r x0 ) ( ) Velocidade média e instantânea: Seja s(t) a função posição de uma partícula no instante t. velocidade média = distância tempo = s(t 0 + t) s(t 0 ) t Observe que se t for bem pequeno a velocidade média se aproxima da velocidade no instante t 0, isto é, Derivada de uma função s(t 0 + t) s(t 0 ) velocidade em t 0 t 0 t Definição. Sejam f uma função e x 0 Dom(f). Definimos a derivada de f em x 0 como sendo f f(x) (x 0 ) 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h quando o limite acima existe e é finito. Se f admite derivada em x 0, então dizemos que f é derivável ou diferenciável em x 0. Dizemos apenas que f é derivável ou diferenciável quando admite derivada em todos os pontos do seu domínio.

2 Observação. Como f (x 0 ) (quando existe) é o coeficiente anular da reta tanente ao ráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )), então a equação de tal reta será y f(x 0 ) = f (x 0 )( ) Definição 2 (Derivada nos extremos do intervalo). Seja uma função f : [a, b] R derivável, então f (a) = f +(a) f(x) f(a) f(a + h) f(a) x a + x a + h f (b) = f (b) f(x) f(b) f(b + h) f(b) x b x b + h Observação 2 (Outras notações). f (x) = df dx (x) = D x(f(x)) Se y = f(x), f (x) = dy dx Observação 3. Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de uma função f são aqueles onde a curva y = f(x) tem uma reta tanente, e os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tanente. Intuitivamente, os pontos de não-diferenciabilidade mais comuns são: Pico Pico Pontos de tanência vertical Pontos de descontinuidade Teorema (Relação entre diferenciabilidade e continuidade). Se f é diferenciável em x 0, então f é contínua em x 0. 2

3 demonstração: Se f é diferenciável em x 0, então existe Assim, f (x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) h lim 0 + h) f(x 0 )] [f(x 0 + h) f(x 0 )] h h Loo, isto é, f é contínua em x 0. lim f(x 0 + h) = f(x 0 ) lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 [f(x 0 + h) f(x 0 )] h h = f (x 0 ) 0 = 0 Observação 4. Nem toda função contínua é diferenciável!!! Por exemplo, a função f(x) = x é contínua em x = 0, mas não é diferenciável em x = 0. (Verifique!) Derivada das funções loaritmo e exponencial. D x (e x ) = e x 2. D x (ln(x)) = x Propriedades da Derivada: Sejam f e duas funções diferenciáveis em x 0 e K R uma constante.. (f + ) (x 0 ) = f (x 0 ) + (x 0 ) 2. (K f) (x 0 ) = K f (x 0 ) 3. Rera do Produto: (f ) (x 0 ) = f(x 0 ) (x 0 ) + f (x 0 ) (x 0 ) 4. Rera do quociente: ( ) f (x 0 ) = (x 0) f (x 0 ) (x 0 ) f(x 0 ) ((x 0 )) 2 se (x 0 ) 0 demonstração:. (f + ) (f + )(x) (f + )(x 0 ) f(x) + (x) f(x 0 ) (x 0 ) (x 0 ) (x) (x 0 ) + lim = f (x 0 ) + (x 0 ) 2. (K f) (Kf)(x) (Kf)(x 0 ) (x 0 ) f (x 0 ) Kf(x) Kf(x 0 ) = K lim = K 3. (f ) (f)(x) (f)(x 0 ) f(x)(x) f(x 0 )(x 0 ) (x 0 ) f(x)(x) f(x 0 )(x 0 ) f(x)(x) (x)f(x 0 ) + (x)f(x 0 ) f(x 0 )(x 0 ) (x)[] + f(x 0 )[(x) (x 0 )] (x) f(x) f(x 0) + lim f(x 0 ) (x) (x 0) = (x 0 ) f (x 0 ) + f(x 0 ) (x 0 ) 3

4 4. Primeiramente, usando a rera do produto, temos que ( ) f ( (x 0 ) = f ) ( ) (x 0 ) = f(x 0 ) (x 0 ) + f (x 0 ) Aora, vamos calcular ( ) (x 0 ) x x 0 ( ) (x 0 ): (x) (x 0 ) x x 0 (x 0 ) (x) (x) (x 0 ) (x 0 ) (x) (x 0) (x) (x 0 ) = (x 0 ) ((x 0 )) 2 Portanto, ( ) f ( ) (x 0 ) = f(x 0 ) (x 0 )+f (x 0 ) (x 0 ) = f(x (x 0 ) (x 0 ) 0) ((x 0 )) 2 +f (x 0 ) = (x 0) f (x 0 ) (x 0 ) f(x 0 ) ((x 0 )) 2 Derivada das funções trionométricas. D x (sen(x)) = cos(x) 2. D x (cos(x)) = sen(x) 3. D x (t(x)) = sec 2 (x) 4. D x (sec(x)) = sec(x) t(x) 5. D x (cossec(x)) = cossec(x) cot(x) 6. D x (cot(x)) = cossec 2 (x) Derivadas laterais Para que uma função f seja diferenciável em x 0 devemos ter que as derivadas laterais abaixo existem e assumem o mesmo valor que será o valor de f (x 0 ) f +(x 0 ) x x + 0 f (x 0 ) x x 0 Observação 5. Note que se uma das derivadas laterais não existir ou se as derivadas laterais assumem valores distintos, temos que a função não será diferenciável no ponto onde isso acontece. Para calcular a derivada das funções que são definidas por partes devemos usar as derivadas laterais. Rera da Cadeia (derivada de uma composição de funções): Sejam y = f(x) e x = (t) duas funções diferenciáveis, com Im() Dom(f). Então h(t) = f (t) = f((t)) é diferenciável e sua derivada é h (t) = f ((t)) (t) Observação 6 (Rera da Cadeia com a notação de Leibniz). Seja y = f(x) e x = (t), então dy dt = dy dx dx dt 4

5 Função derivada e derivadas de ordem superior: Seja f uma função e A = {x Dom(f) f (x)}. Função derivada de f (derivada de primeira ordem de f) f : A R x f (x) A derivada da função f, f, é a derivada de seunda ordem de f. E assim, f (n) é a derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f. 5