1 Séries de números reais

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro - PROFMAT MA 22 - Fundamentos de Cálculo - Professora: Mariana Villapouca Resumo Aula 0 - Profmat - MA22 (07/06/9) Séries de números reais Seja (a n ) n uma sequência de números reais. A partir dela, formamos uma nova sequência (s n ) n cujos os elementos são as somas (s n ) n onde s n = a + a a n para n. Chamamos a n de termo geral da série ou, ainda, o n-ésimo termo da série. Se existir o limite diremos que a série s = lim s n = lim (a + a a n ) n + n + = n é convergente e o limite s será chamado a soma da série. Se a sequência (s n ) n não convergir, diremos que a série a n é divergente. Nosso objetivo nesta seção é estabelecer os critérios para que uma série seja convergente. Proposição. Dado q R {0}, a série geométrica Nesse caso último caso, sua soma é igual a q. q k converge se, e só se, 0 < q <. O próximo resultado nos diz quais operações podemos fazer com séries convergentes. Proposição 2. Se e b k são séries convergentes e c é um número real qualquer, então: (a) a série c converge e c = c. (b) a série ( + b k ) converge e ( + b k ) = + b k.

2 Exemplo. Mostre que a série ( k + 2 k + 3 k ) converge e calcule a sua soma. 4 k Veremos a seguir uma condição necessária, mas não suficiente, para a convergência de uma série. Proposição 3. Se a série é convergente, então lim a n = 0. n + Exercício. Dê um exemplo de uma série divergente cujo o termo geral tende para zero. Vejamos agora um critério para convergência de séries de termos positivos. Proposição 4. Se (a n ) n é uma sequência de termos não negativos, então e só se, a sequência (s n ) n de suas somas parciais é limitada. Exemplo 2. Prove que a série harmônica k r converge. k converge se, diverge e que para todo real r >, a série Observação. No exemplo anterior, apesar de termos garantido que a série k r converge quando r >, não sabemos nada sobre o valor numérico exato de sua soma. Essa situação é uma situação comum quando trabalhamos com séries, mas é muitas situações saber a convergência da série é suficiente. Agora vejamos o teste da integral para convergência de séries. Teorema (Teste da integral). Sejam dados n 0 N e uma função monótona e decrescente f : [n 0, + ] R, tal que 0. Então, lim x + + n 0 f(t) dt converge k=n 0 f(k) converge Exemplo 3. Analise novamente a convergência das séries do exemplo 2 usando agora o teste da integral acima. Exemplo 4. Analise a convergência da série Definição. Uma série é convergente. k=2 k ln(k). é absolutamente convergente se a série 2

3 Proposição 5. Toda série absolutamente convergente é convergente. Proposição 6 (Critério de Leibniz). Se (a n ) n é uma sequência não crescente de reais positivos, tal que lim a n = 0, então a série n + ( ) k é convergente. Exemplo 5. A recíproca do teorema 5 não é válida. Verifique, pelo critério de Leibniz, que a ( ) k série converge. Por outro lado, a série ( ) k k k = + é a série harmônica k que já verificamos anteriormente que é divergente. Agora vamos ver o teste da comparação. Proposição 7 (Teste da comparação). Sejam (a n ) n e (b n ) n sequências de números reais tais que a n b n, para todo n. Se e tal que b k converge, então b k é absolutamente convergente Exemplo 6. Existe uma sequência (a n ) n de números reais positivos tal que ambas as séries e k 2 convirjam? Agora vamos ver o critério da razão. Proposição 8. Seja (a n ) n uma sequência de termos não nulos, tal que l <, a série é absolutamente convergente; se l >, a série Exemplo 7. Dados um natural m e um real q >, a série Justifique sua resposta. ( ) k km q k lim n + é divergente. a n+ a n = l. Se converge ou diverge?. Exercícios Exercício 2. A sequência (a n ) n é uma PA não constante de reais não nulos. Prove que a série + converge e calcule a sua soma. 3

4 Exercício 3. Seja (a n ) n a sequência de números reais positivos definida por a = 2 e a n = a 2 n + a n, para todo n N. Prove que a série Exercício 4. Decida se a série k + k converge, com + = 2. converge ou diverge. Exercício 5. Seja (a n ) n uma sequência de números reais positivos, tal que a série converge. Prove que a série ak + também converge. Exercício 6. Examine a convergência da série Exercício 7. Examine a convergência da série Exercício 8. Prove que a série n= n(n + ) Exercício 9. Analise a convergência da série Exercício 0. Dado r >, prove que a série Exercício. Analise a convergência da série Exercício 2. Analise a convergência da série k=2 k=2 para α > 0 real. (lnk) α para α > 0 real. k(lnk) α é convergente e calcule a sua soma. n= n= n= n= ( ) n+. n r é convergente. na n. x n n!..2 Algumas aplicações Teorema 2. Teorema 3. O número e é irracional. Exercício 3. Prove que e = ( ) k. e = 4

5 2 Séries de Taylor Teorema 4 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Sejam I um intervalo e f : I R uma função n vezes derivável em I. Para x 0, x I distintos, existe c entre x 0 e x tal que n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n) (c) (x x 0 ) n n! Seja f : I R uma função infinitamente derivável. Para x 0 I, dizemos que a série é a série de Taylor de f em x 0. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k O próximo resultado nos dá uma condição suficiente para que a série de Taylor de f em x 0 convirja para f em I. Proposição 9. Sejam I um intervalo e f : I R uma função infinitamente derivável. Se existe uma constante C 0 tal que f (n) (x) C n, para todos n e x I, então, fixado x 0 I, temos f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, para todo x I. Exemplo 8. Encontre as séries de Taylor da funções sen(x) e cos(x) e verifique que são convergentes para suas respectivas funções. Teorema 5. Para x R, temos e x = xk. Exemplo 9. Seja f : R R uma função dada por { e /x, se x > 0 0, se x 0 Prove que f é infinitamente derivável, com f (k) (0) = 0, k 0 e que a série de Taylor de f centrada em 0 é identicamente nula. Exercício 4. Sejam I um intervalo aberto e f : I R uma função convexa, duas vezes derivável em I. Se x 0 I e r denota a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )), mostre que nenhum ponto do gráfico de f está abaixo de r. 5

6 Exercício 5. Sejam I um intervalo aberto, f : I R uma função n vezes derivável com f (n) contínua e x 0 I um ponto tal que f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0. Se n é par e f (n) (x 0 ) > 0 (resp. f (n) (x 0 ) < 0), mostre que x 0 é um ponto de mínimo (resp. máximo) local estrito para f. Exercício 6. Prove que a série de Taylor de centrada em 0 converge, se x <, + x2 para f(x) e diverge para x. Exercício 7. Seja I = (a δ, a + δ). Dada f : I R, de classe C, suponha que existam constantes a 0, a,..., a n,... tais que, para todo x I se tenha n=0 a n (x a) n. Prove que a n (x a) n é a série de Taylor de f em torno de a, isto é, que a n = f (n) (a) para todo n! n=0 n = 0,, 2,.... Exemplo 0. Seja f : R R uma função dada por { e /x 2, se x 0 0, se x = 0 Prove que f é infinitamente derivável, com f (k) (0) = 0, k 0 e que a série de Taylor de f centrada em 0 é identicamente nula e portanto converge para zero, seja qual for x. E ainda, prove que esta série de Taylor não converge para o valor da função. 6