MAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas

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1 MAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas Aula 10/Quarta 02/04/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP)

2 Resumo Aula 8 1 Informações gerais: Site: o link do MAT 0143 na pagina seguinte Monitoria: quarta-feira, 14:00 as 16:00, na sala Lilás do predio dos Queijinhos. Novo no site:lista 3, com respostas + Lista de tópicos para Prova 1. Prova 1: Lembra que : A prova P1 é no dia Quarta 09/04, horario habitual, sala habitual (isto é: 16:00 até 18:00, Bloco 16- Sala de Aula) 2 Limites no infinito: leis do limite 3 Leis do limite 4 Assíntotas 2

3 Leis do limite no caso infinito: somas e produtos Somas: 1 (+ ) + (+ ) = + 2 ( ) + ( ) = 3 L + (+ ) = +, se L R 4 L + ( ) =, se L R Produtos: 1 (+ ).(+ ) = + 2 ( ).( ) = + 3 ( ).(+ ) = 4 L.(+ ) = +, se L > 0 5 L.(+ ) =, se L < 0 6 L.( ) =, se L > 0 7 L.( ) = +, se L < 0 Indeterminações: nos casos seguintes, a gente tem que trabalhar mais: + (+ ), ( ), 0.,, 0 0, 1, 0 0, 0. 3

4 Formas indeterminadas: que fazer? Lembra: forma indeterminada não significa que não podemos calcular o limite! Exemplos do tipo : somente (3) e (4) Exemplos do tipo 0 0 : lim x 0 senx, ou por exemplo lim 3x x (1/x) + (3/x 2 ) (5/x) + (senx/x 3 ) 4

5 Assíntotas horizontais Assíntota horizontal: Definição A reta horizontal y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se ou lim f (x) = L ou lim f (x) = L x + x 5

6 Assíntotas verticais Assíntota vertical: Definição A reta vertical x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita lim x a lim x a f (x) = lim f (x) = lim f (x) = x a x a + f (x) = lim x a f (x) = lim f (x) = + x a 6

7 Exemplos de assintotas Encontre as assíntotas horizontais de cada curva. 7

8 Como trabalhar com limites infinitos: quocientes Teorema Suponha que lim x p + = 0 e que existe r > 0 tal que f (x) > 0 para p < x < p + r. Então: 1 lim x p + f (x) = +. Exemplo (importante): Para qualquer numero real r > 0 temos: lim x 2 4 x+2 1 lim x 0 + x r = + lim x 4 3 (4 x) 3 e lim x 3 2x (x 3) 8

9 Exemplos de assintotas verticais Agora, encontre as assíntotas verticais de cada curva. 9

10 10 Tangentes Ideia: tangente, do latim tangere = tocar. Posição limite de uma reta passando pelo ponto P:

11 Reta tangente a uma curva Definição A reta tangente a uma curva y = f (x) em um ponto P(a, f (a)) é a reta passando pelo ponto P e com inclinação desde que esse limite exista. Exemplo: f (x) f (a) m = lim, x a x a tangente na curva y = x 3 no ponto (1, 1). Exemplo onde a tangente não existe: Estudar as tangentes para a curva y = x, em qualquer ponto P da curva. 11

12 12 Derivada Definição A derivada de uma função f em um número a, denotada por f (a) ( f linha de a ) é f f (a + h) f (a) (a) = lim, h 0 h se o limite existe. Definição equivalente: podemos fazer x = a + h, então h = x a e h 0 implica x a: f (a) = lim x a f (x) f (a) x a a)encontre uma equação da reta tangente à curva y = (x 1)/(x 2) no ponto (3, 2).b)Se G(x) = x/(1 + 2x), encontre G (a)

13 Interpretações da derivada Velocidade: A variavel t é o tempo, e t f (t) é a função posição de um objeto. Entre t = a e t = a + h, a variação na posição é de f (a + h) f (a), e velocidade média = deslocamento tempo = f (a + h) f (a). h Conseqüência: a derivada f (a) pode ser interpretada como uma velocidade instantânea (isto é, como um limite de velocidades médias). Exemplo: queda livre, sem velocidade initial: Posição vertical: y = 1 2 gt2 + y 0, e velocidade v = gt, onde g é aceleração causada pela gravidade (g 9, 81m/s 2 ). Notação: f (a) (notação de Lagrange), df dx (a) (de Leibniz), ḟ (a) (de Newton) Newton apoś a morte de Leibniz declarou: me sinto muito feliz por ter desfeito o coração de Leibniz. 13

14 14 Mais uma interpretação da reta tangente Ideia: a reta tangente é o que você vai obter depois de fazer um zoom infinito perto do ponto (a, f (a)). (= olhar com um microscópio o gráfico) Exemplo: vamos considerar f (x) = x(x 1(x + 1) Demonstração: vamos fazer um zoom (isto é, um esticamento horizontal e vertical, com o mesmo fator c ) y = c.f ( x c ) y = c.x c.(x c 1).(x + 1) x c

15 15 Interpretação da derivada Taxa de variação instantânea: Para uma função y = f (x), no intervalo [x 1, x 2 ], a variação em x é x = x 2 x 1, a variação correspondante em y é y = f (x 2 ) f (x 1 ). Finalmente: y taxa de variação instantânea = lim x 0 x = lim f (x 2 ) f (x 1 ) = f (a) x 2 x 1 x 2 x 1 Economia: seja C o custo total de um produto, e Q a quantidade produzida. Então o custo marginal Cmg é: Cmg = dc dq. A ideia é que quando x = 1, mas Q muito grande (i.e muito maior que 1) temos que C (n) C(n + 1) C(n), isto é, o custo marginal de produção é mais o menos igual ao custo de produção de mais uma unidade.

16 16 Derivadas na Química Concentração: é a razão da quantidade de matéria do soluto (mol) pelo volume de solução (em litros) M = n V, onde o mol é a unidade do Sistema SI de unidades. Isto é um mol é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas elementos quanto são os átomos contidos em 0, 012 quilograma de carbono-12. Por exemplo, 1 mol de moléculas de um gás tem mais o menos 6, moléculas deste gás ( constante de Avogadro ). Outro exemplo: Uma colher de chá tem mais o menos 0, 3 mol de água. Notação: concentração do reagente A é denotada com colchete, por [A].

17 17 Derivadas na Química II Equação química: uma representação de uma reação química (Reagentes) (Produtos) Por causa da Lei de conservação da massa, tem que equilibrar (i.e colocar coeficientes) Metano + oxigénio dióxido de carbono + agua + muito calor

18 Reações Concentrações:dado A + B C, [A], [B], [C] são funções do tempo t. A taxa média da reação do produto C no intervalo [t 1, t 2 ] é [C] t. Taxa de reação instantânea: taxa de reação = d[c] dt Caso mais geral: (condições: V constante) dada: a taxa de reação é: v = 1 a d[a] dt aa + bb pp + qq = 1 b d[b] dt = 1 d[p] = 1 d[q] p dt q dt Cinética química: a determinação experimental da taxa de reação r vai dar r = k[a] m [B] n (k constante de taxa de reação, mas pode depender por exemplo de T). 18

19 19 Química e equações diferenciais Exemplo:aA Produtos no caso de uma reação de ordem 1 (i.e: = k[a]). 1 a d[a] dt Resolver (podemos supor: det dt = e t e f (t) = 0 para todos t implica f constante). (Resposta: [A] = [A] 0.e akt )

20 Derivadas como funções Definição Uma função f é diferenciável em a se f (a) existir. É diferenciável em um intervalo aberto (a, b) se for diferenciável em cada número do intervalo. Mostrar que x x 2 é diferenciável em R. Mostrar que x x 3 é diferenciável em R. Mostrar que f (x) = x n (onde n N) é diferenciável em R e tal que f (x) = n.x n 1. Mostrar que g(x) = x é diferenciável em (0, ) e tal que g (x) = 1 2 x. 20

21 21 Exercicios com derivadas Encontre a derivada da função usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.

22 Lista de tópicos para Prova 1 1 Funções: transformações de gráficos (por exemplo: translações,... ) 2 Funções quadraticas, completamento de quadrado. 3 Desigualdades, valor absoluto: não vai ter exercícios com desigualdades, mas a gente precisa da definição de x. 4 Funções exponenciais e potênciais: propriedades basicas. 5 Limites: definição rigorosa de lim x a f (x) = L e de lim x f (x) = +. 6 Limites: leis do limite, formas indeterminadas. 7 Exemplos de limites: funções continuas, polinômios, frações racionais 8 Limites e funções compostas 9 Limites no : polinômios, frações racionais, funções com raizes, etc Limites e funções trigonometricas do tipo lim x 0 senx x. 11 Assíntotas 12 Exemplos de limites do tipo : exemplo lim x x 2 + bx x 2 + ax 13 Derivadas: definição de f (a), determinação da equação da reta tangente 22