Limites. Entretanto, os gregos não usaram explicitamente os limites.

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1 30 Limites O problema da área As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos anos atrás, quando áreas eram calculadas utilizando o chamado método da exaustão. Naquela época, os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos e, em seguida, somando as áreas obtidas. Para encontrar a área de uma figura curva, o método da exaustão consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados deles. Se An é a área do polígono inscrito com n lados, à medida que aumentamos n, An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos A = lim n A n Entretanto, os gregos não usaram explicitamente os limites. Limite de uma sequência O segundo paradoxo de Zenão (filósofo grego V a.c) diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma posição a1 e a tartaruga em t1, quando ele atingisse o ponto a2 = t1 a tartaruga estaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a tartaruga estaria sempre a frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

2 31 Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3,...) e (t1, t2, t3,...), conhecidas como sequências. Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem definida. A sequência {1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, } pode ser descrita pela fórmula a n = 1 n. Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real. Observe que os termos da sequência an = 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 à medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejarmos, bastando tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limite da sequência é 0 e indicamos isso por: 1 lim n n = 0 Em geral, a notação lim a n = L é usada se os termos an tendem a um número L n quando n torna-se grande. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências {an} e {tn}, em que an < tn para todo n. Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo limite: lim a n = p = lim t n n n É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga. Soma de uma série Outro paradoxo de Zenão diz: Uma pessoa em certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Para tanto ela deveria percorrer metade da distância, depois a metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim por diante, de forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá um fim. Como naturalmente sabemos que, de fato, a pessoa pode chegar até a parede, isso sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vez menores: 1 = n +

3 32 Se sn é a soma dos n primeiros termos da série. Temos: s 1 = 1 2 = 0,5 s 2 = = 0,75 s 3 = = 0,875 s 4 = = 0,9375 s 5 = = 0, s 10 = , s 16 = , À medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1. Logo, é razoável dizer que a soma da série infinita é 1. A razão de a soma da série ser 1 é que lim s n = 1 n Entretanto, Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém, há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notação decimal, o símbolo, 0, 3 = 0,3333 significa O problema da tangente A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando. Assim, uma tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Em outros termos, uma reta tangente deve ter a mesma direção que a curva no ponto de contato. Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única vez. Para as curvas mais complicadas essa definição é inadequada. Na figura a seguir, as retas, l e t, passam pelo mesmo P em uma curva C. A reta l intersecta (cruza) C somente

4 33 uma vez, mas certamente não se parece com uma tangente. A reta t, parece ser uma tangente, mas intercepta C duas vezes. Para compreendermos o problema da tangente, vamos encontrar uma equação da reta tangente à parábola y = x 2 no ponto que P (1, 1). Solução: Podemos encontrar uma equação da reta tangente t se soubermos sua inclinação m. A dificuldade está no fato de conhecermos somente o ponto P, em t, quando precisamos de dois pontos para calcular a inclinação. Para calcular uma aproximação de m escolhemos um ponto próximo Q (x, x 2 ) sobre a parábola e calculamos a inclinação mpq da reta secante PQ. (a palavra secante vem do latim secans, significando corte, é uma linha que corta (intersecta) uma curva mais de uma vez.) Escolhendo x 1 para que Q P, temos m PQ = x2 1 x 1 As tabelas mostram os valores de mpq para vários valores de x próximos a 1. x 2 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001 mpq 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 x 0 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999 mpq 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1 e mpq estará próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente t deve ser m = 2.

5 34 Supondo que a inclinação da reta tangente seja 2, podemos escrever a equação da tangente no ponto (1, 1) como: y 1 = 2(x 1) ou y = 2x 1 Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das retas secantes. Simbolicamente escrevemos: lim m PQ = m e lim x2 1 = 2 Q P x 1 x 1 Graficamente, podemos observar quando Q se aproxima de P pela direita: E pela esquerda: O problema da velocidade Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre, 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos (no instante 5). Solução: Desprezando a resistência do ar, a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda. Se a distância percorrida após t segundos for chamada s(t) e medida em metros, então: s (t) = 4,9t 2 A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo. Se aproximarmos a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, a partir de t = 5 até t = 5,1, temos: Δm = variação da distância variação de tempo s(5,1) s(5) = 4,9(5,1)2 4,9(5) 2 = 49,49 m/s 0,1 0,1

6 35 Resultados de cálculos da velocidade média em períodos de tempo cada vez menores: Intervalo de tempo 5 t 6 5 t 5,1 5 t 5,05 5 t 5,01 5 t 5,001 Velocidade média (m/s) 53,9 49,49 49,245 49,049 49,0049 À medida que encurtamos o período do tempo, a velocidade média fica cada vez mais próxima de 49 m/s. A velocidade instantânea quando t = 5 é definida como o valor limite dessas velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, começando em t = 5. Logo, a velocidade (instantânea) após 5 segundos é v = 49 m/s. Limite de uma função noções intuitivas Seja f (x) = x 2 x + 2. Analisando o comportamento da função para valores de x próximos de 2, temos: x 1 1,5 1,8 1,9 1,95 1,99 1,995 1,999 mpq 2, , , , , , , , x 3,0 2,5 2,2 2,1 2,05 2,01 2,005 2,001 mpq 8, , , , , , , , Pelas tabelas e pelo gráfico de f, vemos que quanto mais pro ximo x estiver de 2 (de qualquer lado de 2, esquerda ou direita), mais pro ximo f(x) estará de 4. Ainda, podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 4, quanto quisermos, ao tornar x suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo que o limite da função f (x) = x 2 x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4, ou seja: lim x 2 (x2 x + 2) = 4

7 36 Intuitivamente, dizemos que o limite de f (x), quando x tende a a, e igual a L, se é possível tornar f (x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x a, porém, suficientemente próximos de a. Então, escrevemos: lim f(x) = L No cálculo de um limite, considerar x a significa que ao procurar o limite de f (x) quando x tende a a, nunca consideramos x = a. Na verdade, f (x) não precisas sequer estar definida quando x = a. A única coisa que importa é como f está definida próximo de a. Exercícios: x 1 1) Estime o valor de lim. x 1 x 2 1 x 1, se x 1 2) Estime o valor do limite de g(x) = { x 2 1 2, se x 1. 3) Estime o valor do limite de g(t) = { 0, se t < 0 1, se t 0.

8 37 Limites laterais Dizemos que o limite à esquerda de ƒ(x) quando x tende a a (ou o limite de ƒ(x) quando x tende a a pela esquerda) é igual a L se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a. Escrevemos: lim f(x) = L Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos o limite à direita de ƒ(x) quando x tende a a é igual a L, e escrevemos: lim f(x) = L + A notação x 0 indica que estamos considerando somente valores de t menores que 0. Da mesma forma, t 0 + indica que estamos considerando somente valores de t maiores que 0. lim f(x) = L lim f(x) = L + lim Considerando os limites laterais, temos que lim f(x) = L se e somente se f(x) = L e lim f(x) = L. + Exercício: Utilize o gráfico da função g(x) para estabelecer os valores (caso existam) dos limites: a) lim x 2 b) lim x 2 + c) lim g(x) x 2 d) lim x 5 e) lim x 5 + f) lim g(x) x 5

9 38 Limites infinitos Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então lim f(x) = significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então lim f(x) = significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Definições similares são dadas no caso de limites laterais: lim f(x) = lim f(x) = lim lim f(x) = + f(x) = +

10 39 Definição: A reta x = a e chamada assíntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim lim f(x) = lim f(x) = + lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = + A função tg (x) possui várias assíntotas verticais. Exercício: Encontre lim 2x x 3 + x 3 e lim 2x x 3 x 3. Verifique se existe assíntota vertical. Propriedades operatórias Cálculo dos Limites Seja c uma constante e suponha que lim f ( x ) e lim gx ( ) x a x a a) lim f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) ] x a x a x a b) lim cf ( x) clim f ( x) x a x a c) d) lim f ( x). g( x) lim f ( x).lim g( x) x a x a x a f( x) lim f( x) x a lim, desde que lim gx ( ) 0 x a g( x) lim g( x) x a x a existem. Então:

11 40 e) lim c = c f) lim x = a n lim f ( x) lim f ( x) para qualquer inteiro positivo n x a x a g) h) n lim n f ( x) n lim f ( x), se lim f ( x) 0 e n inteiro ou x a x a x a se lim f ( x) 0 e n é um número inteiro positivo ímpar x a i) lim ln f ( x) ln[lim f ( x)], se lim f ( x) 0 x a x a x a lim cos ( ) cos lim( f ( x)) x a x a j) f x lim sen f ( x) sen lim( f ( x)) x a x a k) l) ( ) lim ( ) x a lim e f x e f x x a Propriedade de substituição direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então: lim f(x) = f(a) Exercícios 1) Use as Propriedades dos Limites e os gráficos de f e g para calcular os seguintes limites, se eles existirem. a) lim [f(x) + 5g(x)] x 2 b) lim [f(x)g(x)] x 1 c) lim f(x) x 2 g(x) 2) Encontre os limites: a) lim x 2 (3x 2 5x + 2) b) lim x 5 (2x 2 3x + 4)

12 41 x c) lim 2 +2x 3 x 1 4x 3 3 d) lim 3x 2 4x + 9 x 5 Expressões Indeterminadas São expressões que, a priori, nada pode-se afirmar sobre o valor de seus limites. Neste caso, é necessário um trabalho algébrico para transformar a expressão em uma equivalente a ela e, para a qual, seja possível o cálculo do limite. Forma indeterminada do tipo 0 : ocorre se tivermos um limite da forma lim 0 em que f (x) 0 e g (x) 0 quando x a. f(x), g(x) Forma indeterminada do tipo : ocorre quando temos um limite da forma lim f(x) g(x), em que f (x) (ou - ) e g (x) (ou - ) quando x a. Forma indeterminada do tipo 0 : ocorre quando temos um limite da forma lim [f(x)g(x)], em que lim f(x) = 0 e lim g(x) = (ou - ) quando x a. Forma indeterminada do tipo - : ocorre quando temos um limite da forma lim [f(x) g(x)], em que lim f(x) = e lim g(x) = quando x a. Forma indeterminada do tipo 0 0, 0, 1 : essas indeterminações surgem do limite lim [f(x)]g(x), quando x a. Exercícios 1) Encontre os limites: a) lim x2 1 x 1 x 1 b) lim x2 9 x 3 x 3 x 3 c) lim x 9 x 9

13 42 x d) lim 3 3x+2 x 2 x 2 4 (x+h)2 x2 e) lim h 0 h t f) lim t 0 t 2 Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que x n seja definida para todo x, então: Exercício: 1 lim x 0 + xn = e lim 1 Encontre lim e lim 2x2. x 0 + x 2 x 0 x 5 x 0 1 = {, se n é par x n, se n é ímpar Teorema: lim f(x) = L se e somente se lim f(x) = L e lim f(x) = L. + Exercícios 1) Mostre que lim x 0 x = 0

14 43 x 2) Demonstre que lim não existe. x 0 x 3) Se f(x) = { x 4, se x > 4, determine se lim f(x) existe. 8 2x, se x < 4 x 4 x 2 + 1, se x < 2 4) Se f(x) = { 2, se x = 2, determine se lim f(x) existe. 9 x 2 x 2, se x > 2 x 5, se x 5 5) Se f(x) = { x 5, determine se lim f(x) existe. 5, se x = 5 x 5 6) Verifique se o limite lim x 3 (1 + x 3) existe.

15 44 Teorema: Se f (x) g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f e g existem quando x tende a a, então lim f(x) lim g(x) Teorema do confronto: Se f (x) g(x) h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e lim f(x) = lim h(x) = L, então, lim g(x) = L Exercício: Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0. Definição de Limites A definição intuitiva de limite é inadequada para alguns propósitos, pois, frases como x está próximo de a e f (x) aproxima-se cada vez mais de L são vagas. Para chegar à definição precisa de limite, considere a função: f(x) = { 2x 1, se x 3 6, se x = 3

16 45 É intuitivamente claro que quando x está próximo de 3, mas x 3, então f (x) está próximo de 5 e, sendo assim, lim f(x) = 5. x 3 Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deve estar x para que f (x) difira de 5 por menos que 0,1? A distância de x a 3 é x 3 e a distância de f(x) a 5 é f (x) 5, logo, o problema consiste em achar um número tal que f(x) 5 < 0,1 se x 3 < mas x 3 Como x 3 > 0 e x 3, uma formulação equivalente do problema é achar um número tal que f(x) 5 < 0,1 se 0 < x 3 < Se assumirmos = (0,1)/2, então: 0 < x 3 < (0,1)/2 = 0,05, então f (x) 5 = (2x 1) 5 = 2x 6 = 2 x 3 < 2(0,05) = 0,1 Ou seja, f (x) 5 < 0,1 se 0 < x 3 < 0,05. Assim, uma resposta para o problema é = 0,05; isto é, se x estiver a uma distância de no máximo 0,05 de 3, então f ( x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5. f(x) 5 < ε se 0 < x 3 < = ε/2 Observe que 0 < x 3 < pode ser reescrita como 3 < x < 3 + (x 3), assim como f (x) 5 < ε por 5 ε < f (x) < 5 + ε. Definição: Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é L, e escrevemos

17 46 lim f(x) = L se para todo numero ε > 0 houver um número > 0 tal que semm0 < x a < então f(x) L < ε Podemos também reformular esta definição em termos de intervalos, observando que a desigualdade x a < é equivalente a < x a <, que pode ser escrita como a < x < a +. Além disso, 0 < x a é válida se, e somente se, x a 0, isto é, x a. Analogamente, a desigualdade f(x) L < ε é equivalente ao par de desigualdades L ε < f(x) < L + ε. Portanto, em termos de intervalos, a definição pode ser enunciada como: lim f(x) = L se para todo ε > 0 (não importa quão pequeno ε for) podemos achar > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a, a + ) e x a, então f (x) estará no intervalo aberto (L ε, L + ε). Pela definição de limite, se for dado qualquer intervalo pequeno (L ε, L + ε) em torno de L, então podemos achar um intervalo (a, a + ) em torno de a, tal que f leve todos os pontos de (a, a + ) (exceto possivelmente a) para dentro do intervalo (L ε, L + ε). Graficamente, temos: Se lim f(x) = L, então podemos achar um número > 0 tal que, limitando x ao intervalo (a, a + ) e x a, a curva y = f(x) ficará entre as retas y = L ε e y = L + ε. Se um destes tiver sido encontrado, então qualquer outro menor também servirá.

18 47 Exercício 1) Seja f(x) = 2x + 1. Determine o intervalo que x deve pertencer, de modo que f(x) assuma valores com afastamento máximo de 0,001 de L = 3 quando a = 1. 2) Mostre que lim x 3 (4x 5) = 7.

19 48 3) Mostre que lim x 1 (5x + 1) = 6. Definição de Limites Laterais As definições intuitivas de limites laterais podem ser reformuladas com mais precisão da seguinte forma. Definição de limite à esquerda: lim f(x) = L se para todo número ε > 0 houver um número correspondente > 0 tal que Definição de limite à direita: se a < x < a então f (x) L < ε lim f(x) = L + se para todo número ε > 0 houver um número correspondente > 0 tal que se a < x < a + então f (x) L < ε Definição de Limites Infinitos Os limites infinitos podem também ser definidos de maneira precisa. Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então lim f(x) =

20 49 significa que, para todo número positivo M, há um número positivo tal que se 0 < x a < então f (x) > M Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então lim f(x) = significa que, para todo número negativo N, há um número positivo tal que se 0 < x a < então f (x) < N Limites no Infinito Seja f(x) = x2 1. Vamos analisar o comportamento da função f quando x assume x valores arbitrariamente grandes (positivos ou negativos). x ± 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 10 ± 50 ± 100 ± 1000 f(x) , , , , , , , ,999998

21 50 Quanto maior o valor de x, mais próximos de 1 ficam os valores de f(x). De fato, temos a impressão de que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 1 quanto quisermos se tonarmos um x suficientemente grande. Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo x 2 1 lim x x = 1 Em geral, usamos a notação lim f(x) = L, para indicar que os valores de f (x) ficam x cada vez mais próximos de L à medida que x fica maior. Exercício Encontre lim x 1 x e lim x 1 x. Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que x n seja definida para todo x, então: lim x x 1 n = 0 e lim x 1 x n = 0 Exercício Encontre os limites: a) lim x 3x 2 x 2 5x 2 +4x+1

22 51 b) lim x 2x 5 x+8 c) lim x 2x 3 3x+5 4x 5 2 Definição: A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se lim f(x) = L ou lim f(x) = L x x Exercícios 1) Determine a assíntota horizontal da função f(x) = 2x x. 2) Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f(x) = 2x2 +1 3x 5 :

23 52 3) Calcule lim x 0 e 1 x 4) Calcule lim sen x x Limites Infinitos no Infinito Para indicar que os valores de f (x) tornam-se grandes quanto x se torna grande, usamos a notação lim f(x) =. Significados análogos são dados pelos símbolos: x lim f(x) = x Exercícios Encontre os limites: a) lim x x3 lim f(x) = lim x f(x) = x b) lim x x3 c) lim x (x2 x) x d) lim 2 +x x 3 x

24 53 Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ). Então lim f(x) = L x significa que para todo > 0 existe um correspondente número N tal que se x > N MMentãoMM f (x) L < Graficamente: Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (-, a). Então lim f(x) = L x significa que para todo > 0 existe um correspondente número N tal que se x < N MMentãoMM f (x) L < Graficamente: Exercícios Use a definição para mostrar que lim x 1 x = 0. Definição (limite infinito no infinito): Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ). Então lim f(x) = significa que para todo positivo M existe um correspondente x número positivo N tal que se x > N MMentãoMMf (x) > M

25 54 Graficamente: Limites Fundamentais Os limites fundamentais são utilizados para a solução de inúmeros problemas. Exercícios: Encontre os limites: sen 9x a) lim x 0 x sen x lim = 1 x 0 x b) lim x 0 x sen x tg x c) lim x 0 x

26 55 lim (1 + 1 x x ± x ) = e Exercício: Encontre lim x (1 + 1 x )ax+b lim (1 + x 0 x)1 = e Exercício: 1) Utilize limites laterais para mostrar que lim x 0 (1 + x) 1 x = e 2) Determine lim t 0 ln(1 + t) 1 t

27 56 a x 1 lim = ln a (a > 0, a 1) x 0 x Exercícios: Encontre os limites: ax bx a) lim x 0 x b) lim 5x 25 x 2 x 2 c) lim 23x 1 x 0 3x Continuidade O limite de uma função quando x ao tende a a pode muitas vezes ser encontrado simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são chamadas de contínuas em a. Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou mudanças abruptas. Definição: Uma função f é contínua em um número a se lim f(x) = f(a)

28 57 Esta definição requer três verificações para a continuidade de f em a: 1. f (a) está definida (isto é, a está no domínio de f ); 2. lim f(x) existe; 3. lim f(x) = f(a). Geometricamente, podemos pensar em uma função contínua em todo número de um intervalo, como uma função cujo gráfico não se quebra. No gráfico, há uma descontinuidade quando a = 1, pois, nesse ponto, o gráfico tem um buraco, ou seja, em 1 f (1) não está definida. O gráfico também tem uma quebra em a = 3. A razão para a descontinuidade nesse ponto é que f (3) está definida, mas limx 3 f (x) não existe (os limites esquerdo e direito são diferentes). Logo f é descontínua em 3. Em a = 5 a função está definida e limx 5 f (x) existe (pois o limite esquerdo e o direito são iguais), porém, lim x 5 f(x) f(5). Logo f é descontínua em 5. Exercícios Verifique se as funções são contínuas: a) f(x) = x2 x 2 x 2 b) f(x) = { x + 1, se x 1 x 2, se x < 1

29 58 c) f(x) = { x3 5x + 2, se x 0 x 2, se x < 0 d) f(x) = { x3 5x + 2, se x 0 x + 2, se x < 0 e) f(x) = { x + 1, se x < 1 2 x, se x 1

30 59 f) f(x) = x2 1 x 2 +1 Definição: Uma função f e contínua à direita em um número a se e f e contínua à esquerda em a se lim f(x) = f(a) + lim f(x) = f(a) Definição: Uma função f e contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. Teorema: Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em a: 1. f + g 3. cf 5. f se g(a) 0 g 2. f g 4. fg Teorema: (a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em R = (-, ). (b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é contínua em seu domínio. Exercício Encontre lim x 2 x 3 +2x x.

31 60 Teorema: Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f g dada por (f g)(x) = f (g(x)) é contínua em a. Exercício Verifique se a função sen(x 2 ) é contínua. Teorema do valor intermediário: Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) f (b). Então existe um número c em (a, b) tal que f (c) = N. O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores da função f (a) e f (b). Nos gráficos podemos observar que o valor N pode ser assumido uma ou mais vezes. Exercício Mostre que existe uma raiz da equação 4x 3-6x 2 + 3x 2 = 0 entre 1 e 2.