Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais

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1 Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais Campus Francisco Beltrão Disciplina: Professor: Jonas Joacir Radtke

2 Um modelo matemático é a descrição matemática de um fenômeno do mundo real, como por exemplo: o tamanho de uma população, a demanda de um produto, a concentração de um produto em uma reação química ou o custo da redução de poluentes.

3 Modelos Lineares Quando dizemos que y é uma função linear de x, queremos dizer que o gráfico da função é uma reta; assim, podemos usar a forma inclinação-intersecção da equação de uma reta para escrever uma fórmula para esta função, ou seja f (x) = mx + b onde m é o coeficiente angular da reta e b é a intersecção com o eixo y.

4 Exemplo: (a) À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for 20 o C e a temperatura a uma altitude de 1 km for de 10 o C, expresse a temperatura T (em o C) como uma função da altitude h (em km), supondo que um modelo linear seja apropriado. (b) Faça um gráfico da função obtida. O que representa a inclinação? (c) Qual a temperatura a 2, 5 km de altura?

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6 Exemplo: A tabela 1 fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, medidos em partes por milhão em um observatório do Havaí, de 1980 a Use os dados da tabela para encontrar um modelo para o nível de dióxido de carbono.

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8 Figura: Modelo linear usando o primeiro e o último ponto.

9 Figura: Modelo linear usando regressão.

10 Polinômios P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 onde n é um inteiro não negativo. a 0, a 1,..., a n são coeficientes do polinômio. Exemplo: P(x) = 2x 6 x x Exemplo: Um polinômio de grau 1 é da forma e, portanto, é uma função linear. P(x) = mx + b

11 Exemplo: Um polinômio de grau 2 é da forma P(x) = ax 2 + bx + c e é chamado função quadrática. O gráfico de P é sempre uma parábola que abre-se para cima se a > 0 e para baixo quando a < 0.

12 Exemplo: Um polinômio de grau 3 tem a forma e é chamado função cúbica. P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

13 Exemplo: Uma bola é solta a partir do posto de observação no topo da Torre CN, 450 m acima do chão, e sua altura h acima do solo é registrada em intervalos de 1 segundo na tabela 2. Encontre um modelo para ajustar os dados e use-o para predizer o tempo após o qual a bola atinge o chão.

14 h = 449, , 96t + 4, 90t 2

15 449, , 96t + 4, 90t 2 = 0 t 9, 67

16 Funções Potências Uma função da forma f (x) = x a onde, a é uma constante, é chamada função potência. (i) a = n, onde n é um inteiro positivo. Se n for par, então f (x) = x n será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola y = x 2. Se n for ímpar, então f (x) = x n será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de y = x 3.

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24 (ii) a = 1 n, onde n é um inteiro positivo. Para n = 2 ela é a raiz quadrada f (x) = x, cujo domínio é [0, ) e cujo gráfico é a parte superior do gráfico da parábola x = y 2. Para n = 3, temos a função raiz cúbica f (x) = 3 x cujo domínio é R e cujo gráfico esta na figura abaixo.

25 (ii) a = 1 O gráfico da função recíproca f (x) = x 1 = 1 x está na figura abaixo. Seu gráfico tem a equação y = 1 x, ou xy = 1, e é uma hiperbolóide com eixos coordenados como suas assíntotas.

26 Exemplo: A função recíproca aparece em física e química em conexão com a Lei de Boyle, que afirma que, sendo constante a temperatura, o volume de um gás é inversamente proporcional à pressão: onde C é uma constante. V = C P

27 Funções Racionais Uma função racional f é a razão de dois polinômios f (x) = P(x) Q(x) em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 0.

28 Exemplo: A função 2x 4 x x 2 4 é uma função racional com domínio {x x ±2}

29 Funções Algébricas Uma função é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz) a partir de polinômios. f (x) = x g(x) = x 4 16x 2 x + x + (x 2) 3 x + 1

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33 Exemplo: Um exemplo de função algébrica ocorre na Teoria da Relatividade. A massa de uma partícula com uma velocidade v é m = f (v) = m 0 1 v 2 c 2 em que m 0 é a massa da partícula em repouso e c = 3, km/s é a velocidade da luz no vácuo.

34 Funções Trigonométricas Em cálculo convenciona-se dar a medida de ângulos em radianos (exceto quando explicitamente mencionado). Observe que tanto para a função seno quanto para a função cosseno o domínio é (, ), e a imagem é o intervalo fechado [ 1, 1]

35 Uma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas, com um período 2π. Isto significa que para todos os valores de x: sen (x + 2π) = sen (x) e cos(x + 2π) = cos(x)

36 A natureza periódica dessas funções torna-se adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos, tais como marés, cordas vibrantes e ondas sonoras. A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação sen (x) tg (x) = cos(x)